《正切函数的图像与性质》 讲义

《正切函数的图像与性质》讲义
一、正切函数的定义
在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。

用数学语言表示为：对于一个锐角α，tanα ＝对边／邻边。

在单位圆中，正切函数可以定义为：tanα ＝ y ／ x ，其中（x，y）是角α终边上的一点，且x ≠ 0 。

二、正切函数的定义域
正切函数的定义域为{x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k ∈ Z} 。

这是因为当 x ＝kπ ＋π/2 时，角α的终边在 y 轴上，此时邻边 x ＝
0 ，正切函数的定义式tanα ＝ y ／ x 无意义。

三、正切函数的周期
正切函数是周期函数，其最小正周期为π。

即tan(α ＋π) ＝tanα ，对于任意α ∈ R 且α ≠ kπ ＋π/2 ，k ∈ Z 都成立。

四、正切函数的奇偶性
正切函数是奇函数，即tan(α) ＝tanα 。

这意味着正切函数的图像关于原点对称。

我们通过分析正切函数的周期性和定义域，可以逐步绘制出正切函数的图像。

首先，在一个周期内，例如在区间（π/2，π/2）内，正切函数是单调递增的。

当α从π/2 趋近于π/2 时，tanα 的值从负无穷大趋近于正无穷大。

然后，考虑整个定义域，由于正切函数的周期为π，我们可以通过将区间（π/2，π/2）的图像向左或向右平移π的整数倍，得到整个定义域内的图像。

正切函数的图像具有以下特点：
1、它是由无数条不连续的曲线组成，这些不连续点就是 x ＝kπ ＋π/2 ，k ∈ Z 。

2、图像在每个周期内都是单调递增的。

3、图像的渐近线为 x ＝kπ ＋π/2 ，k ∈ Z 。

六、正切函数的单调性
正切函数在每个周期内都是单调递增的。

即在区间（kπ π/2，kπ ＋π/2），k ∈ Z 内，正切函数单调递增。

需要注意的是，不能说正切函数在整个定义域内单调递增，因为它的定义域是不连续的。

正切函数的值域是 R ，即正切函数可以取到任意实数。

这是因为在每个周期内，它从负无穷大递增到正无穷大。

八、正切函数的应用
正切函数在数学和实际生活中都有广泛的应用。

在数学中，它常用于解决三角函数的综合问题，如求解三角方程、证明三角恒等式等。

在物理学中，例如在研究波动、振动等问题时，正切函数也常常出现。

在工程学中，对于涉及角度和斜率的计算，正切函数也发挥着重要作用。

例如，在建筑设计中，计算斜坡的坡度时就会用到正切函数。

总之，正切函数作为三角函数中的重要一员，其图像和性质对于我们理解和解决各种与角度、周期相关的问题都具有重要的意义。

通过对正切函数的深入学习，我们能够更好地掌握三角函数的知识体系，为进一步学习数学和解决实际问题打下坚实的基础。