二重积分的计算方法

论二重积分的计算方法
摘要
二重积分在高等数学中占有非常重要的地位，几乎触及到数学的各个范围。

因此学会二重积分的计算方法特别重要。

本文主要讨论了化累次积分法、换元计算法、极坐标计算法。

关键字：二重积分;计算方法;积分法;换元;坐标计算法
Discussion On The Calculation Method Of Double
Integral
Abstract
Double integrals in higher mathematics plays a very important role in mathematics, almost touch each range. So learn to the double integral calculation method is particularly important. This paper mainly discusses the method of repeated integral, change element calculation method, calculation method of polar coordinates.
Keywords: Double integral; Calculation method of ; Integral method
For element; Coordinate ;Calculation method
第一章 重积分的概念
重积分的计算主要是把二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值。

第二章 累次积分法
累次积分法其主要步骤；
累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D 的草图；
第二步：按区域D 和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；
第三步：计算累次积分。

要注意的是，累次积分要选择适当的积分次序积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的。

二次积分在直角坐标系两种不同次序积分：
一是先积y 后积x 的累次积分，即：若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a D ,,⨯=上可积，且对每个[]b a x ,∈，积分其()dy y x f d
c
⎰,存在，则累次积分()dy y x f dx d
c
b
a
⎰⎰,也
存在，且：()=
⎰⎰σd y x f D
,()dy y x f dx d
c
b a
⎰⎰,
其二是先积x 后积y 的累次积分，即：若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a D ,,⨯=上可积，且对每个[]d c y ,∈，积分()dx y x f b
a
⎰,存在，则累次积分()dx y x f dy b
a
d
c
⎰⎰,也
存在，且：()=
⎰⎰σd y x f D
,()dx y x f dy b
a
d
c
⎰⎰
,
特别当),(y x f 在矩形区域[][]d c b a D ,,⨯=上连续时，则有：
()=⎰⎰σd y x f D
,()dy y x f dx d c
b a
⎰⎰,()dy y x f dx d
c
b a
⎰⎰=,
选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积
分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

例题。

1 计算⎰⎰
D
dxdy x
x
sin ，D 是由1,,0===x x y y 围成的区域
解：先画出区域D 的图形，如图2
先对y 后对x 积分，则由⎩⎨⎧≤≤≤≤x
y x D 01
0:知
1cos sin sin sin sin 1010100+-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xdx xdx x x dy dx x x dxdy x x
x D
如果先对x 后对y 积分，由于⎰dx x
x
sin 不能用初等函数表示，
这时重积分“积不出来”。

更换积分次序的理论依据是什么呢？
对于给定一个二重积分()⎰⎰D
d y x f σ,，若分别把它化为积分次序不同的二次
积分而得下列等式：()()()
()
⎰
⎰⎰⎰=x x b
a
D
dy y x f dx d y x f 21,,ϕϕσ ①
()()()
()
⎰
⎰⎰⎰
=y y d
c
D
dx y x f dy d y x f 21,,ψψσ ②
则显然有()()
()
()()
()
⎰
⎰⎰
⎰=y y d
c
x x b
a
dx y x f dy dy y x f dx 2121,,ψψϕϕ③
如果首先给出③式中的一个二次积分（例如左端），而此时又无法计算结果或比较麻烦，则我们可以写出③式中的另一个二次积分（例如右端），这时重积分重要问题则转化为更换积分次序问题。

例题2.2.2．试更换()⎰⎰
-21
1,x x
dy y x f dx 的积分次序
解：把先对y 积分更换为先对x 积分
由原累次积分的上、下限可得
()()⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=-=≤≤=2101:21b x a x x y x x D ϕϕ，即⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-≤≤2101x x y x
由D 的联立双边不等式可画出域D 的图形，如图3
再由图形写出先对x 的积分域的联立双边不等式，为此，作平行于x 轴的箭头穿区域D ，知先对x 后对y 积分必须将D 分为
1
D 和
2
D ，其中
如图4
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤2100:1y y x D ， ⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-≤≤121
10:2y y x D 则()()()⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰--+==12
110
210
1210
,,,y
y x x
dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx I
对上面的例题可得更换积分次序的一般步骤为：
○
1由原累次积分的上、下限列出表示积分域D 的联立双边不等式，例如()()⎩
⎨⎧≤≤≤≤b x a x y x D 21
:ϕϕ ○2根据上列联立双边不等式画出区域D 的图形
○
3按新的累次积分次序，列出与之相应的区域D 的联立双边不等式()()⎩⎨⎧
≤≤≤≤y x y d y c D 21
:ψψ
○
4.按○3中的不等式组写出新的累次积分的表达式。

关于这方面的应用我们再看一个例子。

例题（华中理工大学,2000年）设()x f 在],[b a 上连续，证明
()()()⎰⎰⎰-=b
a
b a
x a
dx x f x b dy y f dx
证：改变积分顺序得：
()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰
-=-==b
a
b a
b y
b a
x a
b
a
dx x f x b dy y f y b dx y f dy dy y f dx
第三章 换元计算法
计算定积分困难在于被积函数的原函数不易求得.适当地利用换元法可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式.下面以定理时间给出.
定理：设()y x f ,在有界闭区域D 上可积，变换()()v u y y v u x x T ,,,:==将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域'D 一一地映成xy 平面上的闭区域D ，且满足：
()1、函数()()v u y y v u x x ,,,==在'D 内分别具有一阶连续偏导数.
()2、在'D 上有雅可比行列式v
x u
y v x
u x
J ∂∂∂∂∂∂∂∂=0≠ 则()()()()dudv v u J v u y v u x f dx y x f D D
,],,,[,'
⎰⎰⎰⎰=.
在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在于积分区域的多样性。

而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

例题．（湖北大学2002年，中南矿治学院）求
⎰⎰+D
y
x y
dxdy
e
，其中
(){}0,0,1|,≥≥≤+=y x y x y x D
解：令⎩⎨⎧==+u y u y x ，即⎩⎨⎧=-=u
y v
u x
则D 变成了()()()1,,,
010|,-=∂∂⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≤≤≤≤='v u y x v u v v u D ()()12
1
11
10
-=
-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'
+e dv e v du e dv dudv e dxdy e
v
v
u D v
u D
y
x y
选择适当的变换这种方法才有效，选择变换的基本要求是：变换后定限简便，求积容易.
第四章 极坐标计算法
当一些二重积分的积分区域D 用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑其计算问题. 例如:
dxdy y x dxdy y x dxdy e a y x a y x a y x y x
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
≤+≤+≤+--++2
222
222222
2
)cos(,)sin(,
2
22
2等. 用极坐标计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域的草图;
(2)将(,)D
f x y dxdy ⎰⎰转化为(cos ,sin )D
f r r rdrd θθθ⎰⎰,根据积分区域的草图确
定r 和θ的积分范围;
(3)将(cos ,sin )D
f r r rdrd θθθ⎰⎰转化为二次定积分,并计算得出结果.
例画出积分区域,把二重积分dxdy y x f D
⎰⎰),(表示为极坐标形式的二次积分,其中
区域D 是:(1)x y x 222≤+;(2)10,10≤≤-≤≤x x y . 解:(1)积分区域D 的草图如图所示:
图15
其边界为半径为1,圆心在)0,1(点的圆周.由θθsin ,cos r y r x ==代入
x y x 222=+ 得它的极坐标方程为2
2
,cos 2π
θπ
θ≤
≤-
=r ,则D 可表示为:
,cos 20θ≤≤r 2
2
π
θπ
≤
≤-
.任意取定)2
,2(π
πθ-
∈,作极角为θ的射线,在这条射线上,
运动变化着的r 从0=r 穿入从θcos 2=r 穿出积分区域,所以[]θcos 2,0为里层积
分即对r 的积分区间.故rdr r r f d dxdy y x f D
⎰
⎰⎰⎰-=θ
π
πθθθcos 20
22
)sin ,cos (),(
(2)D 的草图如图:
图16
由θθsin ,cos r y r x ==代入x y -=1得其极坐标方程为
θ
θsin cos 1+=
r ,0,0==x y 的极坐标分别为2,0π
θθ==,这时D 可以表示为:
20,sin cos 10π
θθθ≤≤+≤≤r ,
故: rdr r r f d dxdy y x f D
⎰
⎰⎰⎰+=θθπ
θθθsin cos 10
2
)sin ,cos (),(.
例.计算下列二重积分:
(1)⎰⎰=D
xydxdy I ,其中D 为:0,,222222≥≥+≤+y a y x ax y x
(2) dxdy y x D
⎰⎰+)(22,其中D 为: 2242x y x x -≤≤-.
解:(1)积分区域D 的草图如图所示:
图17
从草图来看选用极坐标比较方便(若选用直角坐标,则无论选取D 为
-X 型区域还是-Y 型区域都要分块).将θθsin ,cos r y r x ==代入
222222a y x ax y x =+=+与分别得它们的极坐标方程为θcos 2,a r a r ==,它们交
点的极坐标为)3,(πa .D 的夹在3
)0(0π
θθ===与即y 之间,即θ的变化范围为
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡3,0π,由极点O 引射线(其极角)3,0(πθ∈)穿过D 内,它由a r =穿入由θcos 2a r =穿出,则D 可表示为:3
0,cos 2π
θθ≤
≤≤≤a r a 故:
dr r d rdr r r d I a a
a a
⎰⎰
⎰⎰
=⋅⋅=30
cos 233
cos 2sin cos sin cos π
θ
π
θ
θθθθθθ
⎰
⎰
-=-=
30
52
30
44
)(cos cos 4)1cos 16(sin cos 4
π
πθθθθθθd a
d a
4
16
9a =
. (2) 积分区域草图如图所示:
图18
根据积分区域D 边界曲线及被积函数是22y x +的特点,选取极坐标比较方便,D 的边界曲线222,4x x y x y -=-=,将θθsin ,cos r y r x ==代入得极坐标方程分别为θcos 2,2==r r ,D 夹杂0=y 及0=x 之间,即D 在射线
2,0π
θθ=
=之间.由极点引射线(极角)2
,0(π
θ∈),它由边界θcos 2=r 穿入D ,由边界2=r 穿出D ,即D 用极坐标可表示为2
0,2cos 2π
θθ≤
≤≤≤r .故
θθπ
πθd rdr r I )cos 22(4
1
44420202
cos 22
-=⋅=⎰⎰⎰
πππθθπ
4
5
2214324)cos 1(420
4=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-=-=⎰d
例计算下列二重积分
(1)dxdy y x D
⎰⎰+)ln(22其中D 为闭区域:0,4222≥≤+≤y e y x e ;
(2)dxdy y
x y x D
⎰⎰
++--2
2221)
(1其中D 为闭区域:0,122≥≤+x y x . 解:(1)积分区域D 为上半圆域且被积函数中含)(22y x +,用极坐标较简便,D 的极坐标可表示为: πθ≤≤≤≤0,2e r e . 故
222
2
2
2
2
ln 21ln )ln(dr r rdr r d dxdy y x
e e
e e
D
⎰⎰
⎰⎰⎰⋅=⋅=+πθπ
=
[]
)13(2
ln 2
2222
2
2-=
-e e r
r r e e
π
π
.
(2)积分区域D 为半径为1的右半圆域,被积函数是属于)(22y x f +类型
的函数,用极坐标计算比较方便,又2
2222
2
1)
(1)(y x y x y x f ++--=+关于y 是偶函数,
积分区域D 关于x 轴对称,故原积分D 是的第一象限部分1D 上的积分的2倍,其中1D 的极坐标表示为2
0,10π
θ≤
≤≤≤r .故:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+-=++--=++--1022
2
0222222221121)(121)(11
r r d dxdy y x y x dxdy y x y x D D
πθ ()[
]10
4
210
4
221arcsin 2
112r r r
dr r -+=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=⎰π
π
)2(4
-=
ππ
对被积函数为()22y x f +或积分区域为圆域，扇形域，圆环域时，可考虑利
用极坐标系计算.此时可以设广义极坐标变换⎩⎨⎧+=+=θθ
sin cos 00br y y ar x x 将xOy 平面上的
有界闭区域D 一一地变成θr 平面上有界闭区域'D ，()y x f ,在D 上连续，则：
()()⎰⎰⎰⎰++=
D
D
abrdrd br y ar x
f d y x f '
cos ,cos ,00
θθθσ
.
特别当： ()()1,1,0,0,00===b a y x 时，公式变为极坐标公式： ()()θθθσdrd r r f d y x f D D
⎰⎰⎰⎰='
sin ,cos ,
二重积分计算方法总结
计算二重积分应该注意以下几点:
首先,选择坐标系.先要考虑积分区域的形状,看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单,其次要看被积函数的特点,看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分.
其次,化二重积分为二次积分.根据区域形状和类型确定积分次序,从而穿线确定内限,夹线确定外限.
最后,计算二重积分.由内向外逐层计算,内层积分计算时,外层积分变量看做常量.
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致谢
本课题在选题及研究过程中得到陈裕先老师的悉心指导和不懈支持。

陈裕先老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。

陈裕先老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，给以终生受益无穷之道。

陈裕先老师渊博的学术知识、诲人不倦的敬业精神以及宽容的待人风范使我获益颇多。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！
最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授!。