2019年山东省聊城市中考数学试卷

2019 年山东省聊城市中考数学试卷
副标题
题号 得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 22 小题，共 76.0 分）
1. 下列实数中，哪个数是负数（
） A. 0 B. 3 C. 2 D. -1
√ 【答案】D
【解析】解：A 、0 既不是正数也不是负数，故 A 错误； B 、3 是正实数，故 B 错误； C 、√2是正实数，故 C 错误； D 、-1 是负实数，故 D 正确；
故选：D ．
根据小于零的数是负数，可得答案．
本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型．
2. 单项式-5ab 的系数是（
） A. 5 B. -5 C. 2 D. -2 【答案】B
【解析】解：单项式-5ab 的系数是-5， 故选：B ．
根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有 字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案
本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这 个单项式的次数．
3. 怀化位于湖南西南部，区域面积约为 27600 平方公里，将 27600 用科学记数法表示
为（ A. 27.6×103 【答案】D
）
B. 2.76×103
C. 2.76×104
D. 2.76×105
【解析】解：将 27600 用科学记数法表示为：2.76×105． 故选：D ．
科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a |＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原 数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a | ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
4. 抽样调查某班 10 名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，
170，160，165，159．则这组数据的众数是（
） A. 152 B. 160 C. 165 D. 170
【答案】B
【解析】解：数据 160 出现了 4 次为最多， 故众数是 160，
故选：B．
根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知 160 出现的次数最多．此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小．
5. 与 30°的角互为余角的角的度数是（）
A. 30°
B. 60°
C. 70°
D. 90°
【答案】B
【解析】解：与 30°的角互为余角的角的度数是：60°．
故选：B．
直接利用互为余角的定义分析得出答案．
此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键．
6. 一元一次方程x-2=0 的解是（）
A. x=2
B. x=-2
C. x=0
D. x=1
【答案】A
【解析】解：x-2=0，
解得：x=2．
故选：A．
直接利用一元一次方程的解法得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键．
7. 怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色
的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转 180°后与原图重合．
1
8. 已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α=（）
2
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【答案】A
1
【解析】解：∵∠α为锐角，且sinα=，
2
∴∠α=30°．
故选：A．
根据特殊角的三角函数值解答．
此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 9. 一元二次方程 x 2+2x +1=0 的解是（
）
A. x =1，x =-1
B. x =x =1
C. x =x =-1
D. x =-1，x =2
1
2
1 2 1 2 1 2 【答案】C
【解析】解：∵x 2+2x +1=0， ∴（x +1）2=0， 则 x +1=0， 解得 x =x =-1， 1 2 故选：C ．
利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接 开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解 题的关键．
10. 为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质
种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户 1 只；若每户发放母羊 5 只， 则多出 17 只母羊，若每户发放母羊 7 只，则有一户可分得母羊但不足 3 只．这批 种羊共（ ）只．
B. 72 A. 55
C. 83
D. 89
【答案】C
【解析】解：设该村共有 x 户，则母羊共有（5x +17）只， 5푥 + 17 − 7(푥 − 1) > 0
由题意知，{ 5푥 + 17 − 7(푥 − 1) < 3 21
解得： ＜x ＜12，
2 ∵x 为整数， ∴x =11，
则这批种羊共有 11+5×11+17=83（只）， 故选：C ．
设该村共有 x 户，则母羊共有（5x +17）只，根据“每户发放母羊 7 只时有一户可分得 母羊但不足 3 只”列出关于 x 的不等式组，解之求得整数 x 的值，再进一步计算可得． 本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关 系，并据此得出不等式组． 11. -√2的相反数是（
）
√2 A. -
2
√2
B. C. -√2 D. √2
2
【答案】D
【解析】解：-√2的相反数是√2， 故选：D ．
根据相反数的定义，即可解答．
本题考查了实数的性质，解决本题的关键是熟记实数的性质． 12. 如图所示的几何体的左视图是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是．
故选：B．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
|푥|−1
13. 如果分式的值为 0，那么x 的值为（）
푥+1
A. -1
B. 1
C. -1 或 1
D. 1 或 0
【答案】B
【解析】解：根据题意，得
|x|-1=0 且x+1≠0，
解得，x=1．
故选：B．
根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0．这两个条件缺一不可．
14. 在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的 25 名参赛同
学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（）
B. 97 分、98 分
C. 98 分、96 分
D. 97 分、96 分
A. 96 分、98 分
【答案】A
【解析】解：98 出现了 9 次，出现次数最多，所以数据的众数为 98 分； 共有 25 个数，最中间的数为第 13 数，是 96，所以数据的中位数为 96 分． 故选：A ．
利用众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数． 15. 下列计算正确的是（
）
A. a 6+a 6=2a 12
B. 2-2÷20×23=32 1
C. （- ab 2）•（-2a 2b ）3=a 3b 3
D. a 3•（-a ）5•a 12=-a 20
2
【答案】D
【解析】解：A 、a 6+a 6=2a 6，故此选项错误； B 、2-2÷20×23=2，故此选项错误；
1
1
C 、（- ab 2）•（-2a 2b ）3=（- ab 2）•（-8a 6b 3）=4a 7b 5，故此选项错误；
2
2
D 、a 3•（-a ）5•a 12=-a 20，正确．
故选：D ．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得 出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运 算法则是解题关键． 16. 下列各式不成立的是（
）
8
7
2 2
3 A. 18-√ = √2
B. √2 + =2√
√ 9 3 3
√8+√18
2
1
C. = 4+ 9=5
D. =√3-√2 √ √ √3+√2
【答案】C
8
2√2 7√2 【解析】解：√18-√ =3√2-
=
，A 选项成立，不符合题意；
9
3
2
2 8 2 √2 + =√ =2√ ，B 选项成立，不符合题意；
3
3
3
√8+√18 2√2+3√2 5√2
=
=
，C 选项不成立，符合题意；
2 2
2
1
√3−√2
= =√3-√2，D 选项成立，不符合题意； √3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
故选：C ．
根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是 解题的关键．
푥+1
푥
＜ − 1
17. 若不等式组{ 3 2 无解，则 m 的取值范围为（
）
푥＜4푚
A. m ≤2
B. m ＜2
C. m ≥2
D. m ＞2
【答案】A
푥+1푥
【解析】解：解不等式＜-1，得：x＞8，
32
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选：A．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18. 如图，BC 是半圆O 的直径，D，E 是퐵⏜퐶上两点，连接
BD，CE 并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A=70°，
那么∠DOE 的度数为（）
A. 35°
B. 38°
C. 40°
D.
【答案】C
【解析】解：连接CD，如图所示：
∵BC 是半圆O 的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故选：C．
连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．19. 若关于x 的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6 有实数根，则k 的取值范围为（）
3 23
A. k≥0
B. k≥0且k≠2
C. k≥
D. k≥且k≠2
2
【答案】D
【解析】解：（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x 的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6 有实数根，
푘−2≠0
∴{△=(−2푘)2−4(푘−2)(푘−6)≥0，
3
解得：k≥且k≠2．
2
故选：D．
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
20. 某快递公司每天上午 9：00-10：00 为集中揽件和派件时
段，甲仓库用来搅收快件，乙仓库用来派发快件，该时
段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之
间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）
A. 9：15
B. 9：20
C. 9：25
D. 9：30
【答案】B
【解析】解：设甲仓库的快件数量 y （件）与时间 x （分）之间的函数关系式为：y =k x +40， 1 1 根据题意得 60k +40=400，解得 k =6， 1 1 ∴y 1=6x +40；
设乙仓库的快件数量 y （件）与时间 x （分）之间的函数关系式为：y =k x +240，根据题 2 2 意得 60k +240=0，解得 k =-4， 2 2 ∴y 2=-4x +240，
푦 = 6푥 + 40 联立{ 푦 = −4푥 + 240 푥 = 20
푦 = 160
，解得{ ， ∴此刻的时间为 9：20． 故选：B ．
分别求出甲、乙两仓库的快件数量 y （件）与时间 x （分）之间的函数关系式，求出两 条直线的交点坐标即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2） 解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
21. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC =90°，一个三角尺的直角顶点与 BC 边的
中点 O 重合，且两条直角边分别经过点 A 和点 B ，将三角尺绕点 O 按顺时针方向 旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与 AB ，AC 分别交于点 E ，F 时，下列结 论中错误的是（ ）
A. AE +AF =AC
B. ∠BEO +∠OFC =180°
√2 1
C. OE +OF = BC
D. S = S AEOF △ABC
四边形 2
2
【答案】C
【解析】解：连接 AO ，如图所示．
∵△ABC 为等腰直角三角形，点 O 为 BC 的中点，
∴OA =OC ，∠AOC =90°，∠BAO =∠ACO =45°． ∵∠EOA +∠AOF =∠EOF =90°，∠AOF +∠FOC =∠AOC =90°， ∴∠EOA =∠FOC ．
∠퐸푂퐴 =
∠퐹푂퐶 在△EOA 和△FOC 中，{푂퐴 = 푂퐶 ，
∠퐸퐴푂 = ∠퐹퐶푂
∴△EOA ≌△FOC （ASA ）， ∴EA =FC ，
∴AE +AF =AF +FC =AC ，选项 A 正确；
∵∠B +∠BEO +∠EOB =∠FOC +∠C +∠OFC =180°，∠B +∠C =90°， ∠EOB +∠FOC =180°-∠EOF =90°， ∴∠BEO +∠OFC =180°，选项 B 正确； ∵△EOA ≌△FOC ，
∴S △EOA =S △FOC
， 1
∴S AEOF =S △EOA +S △AOF =S △FOC +S △AOF =S △AOC = S △ABC
，选项 D 正确． 四边形 2 故选：C ．
连接 AO ，易证△EOA ≌△FOC （ASA ），利用全等三角形的性质可得出 EA =FC ，进而可 得出 AE +AF =AC ，选项 A 正确；由三角形内角和定理结合∠B +∠C =90°，∠EOB +∠FOC =90° 可得出∠BEO +∠OFC =180°，选 项 B 正确；由△EOA ≌△FOC 可得出 S △EOA =S △FOC ，结合图 1
形可得出 S AEOF =S △EOA +S △AOF =S △FOC +S △AOF =S △AOC = S △ABC ，选项 D 正确．综上，此题 四边形 2 得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和 定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
22. 如图，在 Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4，4），点 C 在边
퐴퐶 1
AB 上，且퐶퐵= ，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点， 3 当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的
坐标为（ ）
A. （2，2） 5
5
B. （ ， ） 2 2 8
8 C. （ ， ） 3 3 D. （3，3）
【答案】C
【解析】解：∵在 Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4，4）， ∴AB =OB =4，∠AOB =45°， 퐴퐶 퐶퐵 1
∵ = ，点 D 为 OB 的中点， 3
∴BC =3，OD =BD =2，
∴D （0，2），C （4，3），
作 D 关于直线 OA 的对称点 E ，连接 EC 交 OA 于 P ， 则此时，四边形 PDBC 周长最小，E （0，2）， ∵直线 OA 的解析式为 y =x ， 设直线 EC 的解析式为 y =kx +b ， 푏 = 2 4푘 + 푏 = 3 ∴{
， 1
4 ， 푏 = 2
푘 =
解得：{
1
∴直线 EC 的解析式为 y = x +2， 4
8
푦 = 푥 푥 = 푦 = 3
8 解{ 得，{ ， 1 푦 = 푥 + 2 4
3
8 8
∴P （ ， ）， 3 3 故选：C ．
根据已知条件得到 AB =OB =4，∠AOB =45°，求得 BC =3，OD =BD =2，得到 D （0，2）， C （4，3），作 D 关于直线 OA 的对称点 E ，连接 EC 交 OA 于 P ，则此时，四边形 PDBC 1
周长最小，E （0，2），求得直线 EC 的解析式为 y = x +2，解方程组即可得到结论． 4 本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到 P 点的位置是 解题的关键．
二、填空题（本大题共 11 小题，共 39.0 分） 23. 合并同类项：4a 2+6a 2-a 2=______． 【答案】9a 2
【解析】解：原式=（4+6-1）a 2=9a 2， 故答案为：9a 2．
根据合并同类项法则计算可得．
本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相 同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项 数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的 字母和字母的指数不变．
24. 因式分解：a 2-b 2=______． 【答案】（a +b ）（a -b ）
【解析】解：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）． 故答案为：（a +b ）（a -b ）．
利用平方差公式直接分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．
푥
1
25. 计算： 【答案】1
- =______． 푥−1 푥−1 푥−1
【解析】解：原式= 푥−1
=1．
故答案为：1．
由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可． 本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 26. 若等腰三角形的一个底角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】36°
【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为 72°， ∴等腰三角形的顶角=180°-72°-72°=36°，
故答案为：36°．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 27. 当 a =-1，b =3 时，代数式 2a -b 的值等于______． 【答案】-5
【解析】解：当 a =-1，b =3 时，2a -b =2×（-1）-3=-5， 故答案为：-5．
把 a 、b 的值代入代数式，即可求出答案即可．
本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键． 28. 探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”
的总面积是______．
【答案】n -1
1
1
1
1
【解析】解：由题意“分数墙”的总面积=2× +3× +4× +…+n × =n -1，
2
3
4
푛
故答案为 n -1．
由题意“分数墙”的总面积=2× +3× +4× +…+n × =n -1．
1
1
1
1
2
3
4
푛
本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所 学知识解决问题．
1 1
5
29. 计算：（- - ）÷ =______． 3 2 4 【答案】-2
3
5 4 2
【解析】解：原式=（- ）× =- ， 6
5 3
2
故答案为：- ．
3
先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序．
30. 如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单
位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为
______．
【答案】120°
【解析】解：∵圆锥的底面半径为 1，
∴圆锥的底面周长为2π，
∵圆锥的高是 2√2，
∴圆锥的母线长为 3，
设扇形的圆心角为n°，
푛휋×3
∴=2π，
180
解得n=120．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为 120°．
故答案为：120°．
根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
31. 在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加 100 米比赛，预赛分A，B，
C，D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是______．
【答案】1
4
【解析】解：如下图所示，
小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有 4 种，共有 16 种等可能的结果，
41
∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是= ，
164
1
故答案为：．
4
根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
32. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，DE 为△ABC
1
的中位线，延长 BC 至 F ，使 CF = BC ，连接 FE 并延 2 长交 AB 于点 M ．若 BC =a ，则△FMB 的周长为______．
9
【答案】 푎
2
【解析】解：在 Rt △ABC 中，∠B =60°， ∴∠A =30°，
∴AB =2a ，AC =√3a ． ∵DE 是中位线，
√3
∴CE = a ．
2
在 Rt △FEC 中，利用勾股定理求出 FE =a ， ∴∠FEC =30°． ∴∠A =∠AEM =30°， ∴EM =AM ．
9
△FMB 周长=BF +FE +EM +BM =BF +FE +AM +MB =BF +FE +AB = 푎． 2 9
故答案为 푎．
2 在Rt △ABC 中，求出AB =2a ，AC =√3a ，在Rt △FEC 中用a 表示出FE 长，并证明∠FEC =30°， 从而 EM 转化到 MA 上，根据△FMB 周长=BF +FE +EM +BM =BF +FE +AM +MB =BF +FE +AB 可求周长．
本题主要考查了 30°直角三角形的性质、勾股定理、中位线定义，解决此题关键是转化 三角形中未知边到已知边长的线段上．
33. 数轴上 O ，A 两点的距离为 4，一动点 P 从点 A 出发，按以下规律跳动：第 1 次跳
动到 AO 的中点 A 处 ，第 2 次从 A 点跳动到 A O 的中点 A 处 ，第 3 次从 A 点跳动 1 1 1 2 2 到 A O 的中点 A 处，按照这样的规律继续跳动到点 A ，A ，A ，…，A ．（n ≥3， 2 3 4 5 6
n n 是整数）处，那么线段 A n A 的长度为______（n ≥3，n 是整数）．
1
2푛
−2
【答案】4- 【解析】解：由于 OA =4，
1 1
所有第一次跳动到 OA 的中点 A 处时，OA = OA = ×4=2， 1 1
2 2
1 同理第二次从 A 点跳动到 A 处，离原点的（ ）2
×
4 处， 1 2 2
1 1
2푛
−2
同理跳动 n 次后，离原点的长度为（ ）n ×4= ， 2
1
2푛−2 故线段 A n A 的长度为 4- （n ≥3，n 是整数）． 1
故答案为：4- ． 2푛
−2
1
根据题意，得第一次跳动到 OA 的中点 A 处，即在离原点的长度为 ×4，第二次从 A 1 1
2
1 点跳动到 A 处，即在离原点的长度为（ ）2
×
4，则跳动 n 次后，即跳到了离原点的长度 2 2
1 1
2푛−2 为（ ）n ×4= ，再根据线段的和差关系可得线段 A n A 的长度． 2
考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找 规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题 意表示出各个点跳动的规律．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分） 34. 计算：（π-2019）0+4sin60°-√12+|-3| √3
【答案】解：原式=1+4× -2√3+3
2 =1+2√3-2√3+
3 =4．
【解析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘 法，最后计算加减可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数 值及二次根式与绝对值的性质．
四、解答题（本大题共 14 小题，共 135.0 分） 푥 + 3푦 = 7,
35. 解二元一次方组：{
푥 − 3푦 = 1. 【答案】解： ，
①+②得： 2x =8，
解得：x =4， 则 4-3y =1， 解得：y =1，
푥 = 4
푦 = 1
故方程组的解为：{
． 【解析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．
此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键． 36. 已知：如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，E ，F 分别为垂足．
（1）求证：△ABE ≌△CDF ；
（2）求证：四边形 AECF 是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，
∠퐵=∠퐷
在△ABE 和△CDF 中，{∠퐴퐸퐵=∠퐶퐹퐷，
퐴퐵=퐶퐷
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF 是矩形．
【解析】（1）由平行四边形的性质得出∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，由已知得出
∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，由AAS 证明△ABE≌△CDF 即可；
（2）证出∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
37. 如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B 处测得对岸A
处一棵柳树位于北偏东 60°方向，他以每秒 1.5 米的速度沿着河岸向东步行 40 秒后到达C 处，此时测得柳树位于北偏东 30°方向，试计算此段河面的宽度．
【答案】解：如图，作AD⊥于BC 于
D．
由题意可知：BC=1.5×40=60 米，
∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=60 米．
在Rt△ACD 中，
√3
AD=AC•sin60°=60×=30√3（米）．
2
答：这条河的宽度为 30√3米．
【解析】如图，作AD⊥于BC于D．由题意得到BC=1.5×40=60米，∠ABD=30°，∠ACD=60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°，求得∠ABC=∠BAC，得到
BC=AC=60 米．在Rt△ACD 中，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．
38. 某射箭队准备从王方、李明二人中选拔 1 人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射
箭 10 次的成绩（单位：环数）如下：
次数王方李明1
7
8
2 3
9
8
4
8
9
5
6
8
6
9
8
7
9
9
8
7
8
9 10
10
8
10
9
10
10
（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：王方 10 次射箭得分情况
环数频数频率6 7 8 9 10
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
李明 10 次射箭得分情况
环数频数频率6 7 8 9 10
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
（2）分别求出两人 10 次射箭得分的平均数；
（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．【答案】（1）
环数频数频率6 7 8 9 10
3 1 2 1 3
0.1 0.2 0.1 0.3 0.3
李明10 次射箭得分情况
环数频数频率6
7
8 9 10
1
6 3
0.6 0.3 0.1
1
（2）王方的平均数= （6+14+8+27+30）=8.5；
10
1
李明的平均数= （48+27+10）=8.5；
10
2
王方1
（3）∵S = [（6-8.5）2+2（7-8.5）2+（8-8.5）2+3（9-8.5）2+3（10-8.5）2]=1.85；
10
2
李明1
S = [6（8-8.5）2+3（9-8.5）2+（10-8.5）2=0.35；
10
2
王方2
李明
∵S ＞S ，
∴应选派李明参加比赛合适．
【解析】解：
（1）根据各组的频数除以 10 即可得到结论；（2）根据加权平均数的定义即可得到结论；（3）根据方差公式即可得到结论．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数 据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布 比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
39. 如图，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的 5 等分点，连接
AC 、CE 、EB 、BD 、DA ，得到一个五角星图形和五 边形 MNFGH ．
（1）计算∠CAD 的度数；
（2）连接 AE ，证明：AE =ME ； （3）求证：ME 2=BM •BE ．
【答案】解：（1）∵A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的 5 等分点， 360°
∴퐶⏜퐷的度数= =72°
5 ∴∠COD =70° ∵∠COD =2∠CAD ∴∠CAD =36° （2）连接 AE
∵A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的 5 等分点， ∴ 퐴⏜퐵 = 퐷⏜퐸 = 퐴⏜퐸 = 퐶⏜퐷 = 퐵⏜퐶 ∴∠CAD =∠DAE =∠AEB =36° ∴∠CAE =72°，且∠AEB =36° ∴∠AME =72° ∴∠AME =∠CAE ∴AE =ME
（3）连接 AB
∵ 퐴⏜퐵 = 퐷⏜퐸 = 퐴⏜퐸 = 퐶⏜퐷 = 퐵⏜퐶 ∴∠ABE =∠DAE ，且∠AEB =∠AEB ∴△AEN ∽△BEA 퐴퐸 퐵퐸 푁퐸
퐴퐸
∴ =
∴AE2=BE•NE，且AE=ME
∴ME2=BE•NE
∵퐴⏜퐵=퐷⏜퐸=퐴⏜퐸=퐶⏜퐷=퐵⏜퐶
∴AE=AB，∠CAB=∠CAD=∠DAE=∠BEA=∠ABE=36°
∴∠BAD=∠BNA=72°
∴BA=BN，且AE=ME
∴BN=ME
∴BM=NE
∴ME2=BE•NE=BM•BE
【解析】（1）由题意可得∠COD=70°，由圆周角的定理可得∠CAD=36°；
（2）由圆周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°，可求∠AME=∠CAE=72°，可得AE=ME；
（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得퐴퐸푁퐸
퐴퐸，可得ME 2=BE•NE，通过证明BM=NE，即
=
퐵퐸
可得结论．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN∽△BEA 是本题的关键．
40. 如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O 为坐标原点，
OB=1，tan∠ABO=3，将此三角形绕原点O 顺时针旋转
90°，得到Rt△COD，二次函数y=-x2+bx+c 的图象刚好
经过A，B，C 三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
（2）过定点Q 的直线l：y=kx-k+3 与二次函数图象相
交于M，N 两点．
①若S△PMN=2，求k 的值；
②证明：无论k 为何值，△PMN 恒为直角三角形；
③当直线l 绕着定点Q 旋转时，△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出
该抛物线的表达式．
【答案】解：（1）OB=1，tan∠ABO=3，则OA=3，OC=3，
即点A、B、C 的坐标分别为（0，3）、（-1，0）、（3，0），
则二次函数表达式为：y=a（x-3）（x+1）=a（x2-2x-3），
即：-3a=3，解得：a=-1，
故函数表达式为：y=-x2+2x+3，
点P（1，4）；
（2）将二次函数与直线l 的表达式联立并整理得：
x2-（2-k）x-k=0，
设点M、N 的坐标为（x ，y ）、（x ，y ），
1 1
2 2
则x +x =2-k，x x =-k，
1 2 1 2
则：y +y =k（x +x ）-2k+6=6-k2，
1 2 1 2
同理：y y =9-4k2，
1 2
①y=kx-k+3，当x=1 时，y=3，即点Q（1，3），
1
S△PMN=2= PQ×（x -x ），则x -x =4，
2 1 2 1
2
|x -x |=√(푥+푥)2−4푥푥，
2 1 1212
解得：k=±2√3；
②点M、N 的坐标为（x ，y ）、（x ，y ）、点P（1，4），
1 1
2 2
则直线 PM 表达式中的 k 1 值为：
푦
1−4
，直线 PN 表达式中的 k 2 值为：
푦
2−4
， 푥1−1
푥2−1
푦 −4 푦 −4 푦 푦 −4(푦
+푦 )+16 2 1 1 2 1 2
为：k k = = =-1，
1 2 푥 −1 푥 −1 푥 푥 −4(푥
푥 )+1
2
1
1 2
1 2
故 PM ⊥PN ，
即：△PMN 恒为直角三角形；
③取 MN 的中点 H ，则点 H 是△PMN 外接圆圆心，
设点 H 坐标为（x ，y ），
푥
1+푥
2
2
1
=1- k
2 则 x =
， 1 1 y = （y +y ）= （6-k 2）， 1 2
2
2
整理得：y =-2x 2+4x +1，
即：该抛物线的表达式为：y =-2x 2+4x +1．
【解析】（1）求出点 A 、B 、C 的坐标分别为（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求 解；
1
푦 −4 푦 −4 푦 푦 −4(푦
+푦 )+16 2
1
1 2
1
2
푥 −1 푥 −1 푥 푥 −4(푥 푥 )+1 2 1 1 2
1 2 （2）①S △PMN = PQ ×（x -x ），则 x -x =4，即可求解；②k k = = =-1，
2 1 2 1 1 2 2
即可求解；③取 MN 的中点 H ，则点 H 是△PMN 外接圆圆心，即可求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定 理处理复杂数据，是本题解题的关键．
1 6 푎+3
푎2−6푎+9 41. 计算：1-（ + ）÷ ． 푎+3 푎2−9 푎+3 (푎−3)2
푎2−9 푎+3
【答案】解：原式=1- • 푎−3
=1- 푎+3 푎+3 푎−3 =
-
푎+3 푎+3 6 = ． 푎+3
【解析】根据分式的混合运算法则计算即可．
本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解 题的关键．
42. 学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效
率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的 预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：
min）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成 5 组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图：
组别课前预习时间t/min 频数（人数）频率
1 2 3 4 5 0≤t＜10
10≤t＜20
20≤t＜30
30≤t＜40
t≥40
2
a 0.10
0.32
c
16
b
3
请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为______，表中的a=______，b=______，c=______；
（2）试计算第 4 组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校九年级共有 1000 名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min 的学生人数．
【答案】50 5 24 0.48
【解析】解：（1）16÷0.32=50，a=50×0.1=5，b=50-2-5-16-3=24，c=24÷50=0.48；
故答案为：50，5，24，0.48；
（2）第 4 组人数所对应的扇形圆心角的度数=360°×0.48=172.8°；
2
（3）每天课前预习时间不少于 20min 的学生人数的频率=1- -0.10=0.86，
50
∴1000×0.86=860，
答：这些学生中每天课前预习时间不少于 20min 的学生人数是 860 人．
（1）根据 3 组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据 2 组的百分比即可得到a 的值，进而得到 2 组的人数，由本次调查的样本容量-其他小组的人数即可得到b，用b÷本次调查的样本容量得到c；
（2）根据 4 组的人数占总人数的百分比乘上 360°，即可得到扇形统计图中“4”区对应的圆心角度数；
（3）根据每天课前预习时间不少于 20min 的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果．
本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数（单位 1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
43. 某商场的运动服装专柜，对A，B 两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，
计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
第一次20 第二次30
A 品牌运动服装数/件
B 品牌运动服装数/件累计采购款/元30 40 10200 14400
（1）问A，B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B 品牌运动服的销量明显好于A 品牌，商家决定采购B 品牌的件数比A 3
品牌件数的倍多 5 件，在采购总价不超过 21300 元的情况下，最多能购进多少件B 2
品牌运动服？。