甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理【含答案】

0)
的一条渐近线的倾斜角为
130°，则
C
的离心率为
（）
1
1
A．2sin40° B．2cos40°
C． sin50
D． cos50
x2 y2
− = 1(a > 0, b > 0)
→→
12. 设F1，F2是双曲线a2 b2
的两个焦点，点P在双曲线上，若PF1 ⋅ PF2 = 0 且
→→
|PF1||PF2| = 2ac(c = a2 + b2)，则双曲线的离心率为（ ）
盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是
“好汉”的(
)
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分条件 D.必要条件
3. 下列说法中，正确的是(
)
A.“x > 0”是“x > 1”充分的条件
B.“x > 1”是“x > 2”成立的充分不必要条件
C.命题“已知x,y是实数，若x + y ≠ 2，则x ≠ 1或y ≠ 1”为真命题
( )π π , C. 6 2
[ )π π , D. 6 2
x2 y2 + =1
7. 已知(1, 1)是直线被椭圆36 9 所截得的线段的中点，则直线的斜率是（ ）
1
1
−
B.
−
D.
A. 2
C. 4
C:y = 1x2 8. 若抛物线 4 上的点P(m−3, n + 2)到其焦点的距离为5，则实数n = （ ）
= | 92 + 122− 52 + 122| = 2，a = 1， 所以b2 = c2−a2 = 3，
x2−y2 = 1 故双曲线C的方程为 3 ． 双曲线C的渐近线方程为y =± 3x．
x2−y2 = 1 (2)设直线的方程为y = x + t，将其代入方程 3 ，
可得2x2−2tx−t2−3 = 0( * )
16. 已知 F 是抛物线 y 2 8x 的焦点，M 是抛物线上的一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，
若 M 为 FN 的中点，则|FN|=_______． 三、 解答题 （本大题共计 6 小题 ，共计 70 分，答案写到答题卡上，解答题步骤要有 必要的文字说明 ） 17.（本题满分 10 分） 设命题p：实数x满足x2−3ax + 2a2 < 0，其中a < 0；命题q：实数x满足
设抛物线方程为y2 = 2px(p > 0)，可得
p
= 1, p = 2
2
，
∴ 抛物线的方程为y2 = 4x，即为点M的轨迹方程.
(2)由直线的斜率为1， 可得直线的方程为y = 1 × (x−1)，即y = x−1.
与y2 = 4x联立，消去x，整理得
y2−4y−4 = 0.来自设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
Δ = 4t2 + 8(t2 + 3) = 12t2 + 24 > 0，若设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1，x2是方程( * )的两个根，
t2 + 3
x1 + x2 = t,x1x2 = − 所以
2
，
→→
又由OA ⊥ OB，可知x1x2 + y1y2 = 0，
即x1x2 + (x1 + t)(x2 + t) = 0，
1. 命题“若x2 ≤ 1，则−1 ≤ x ≤ 1”的逆否命题是（ ）
A.若x2 ≥ 1，则x ≥ 1，或x ≤ −1
B.若−1 < x < 1，则x2 < 1
C.若x ≥ 1或x ≤ −1，则x2 ≥ 1
D.若x > 1或x < −1，则x2 > 1
2. “不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六
2 因为线段AF中点的横坐标为 2 ，
a−c 2 =.
所以 2 2
所以c = 2，则a2 = 8,b2 = a2−c2 = 6. x2 y2 + = 1.
所以椭圆的标准方程为 8 6
(2)因为A(a,0),F(−c,0),
a−c x= . 所以线段AF的中垂线方程为： 2 又因为 △ ABF外接圆的圆心C在直线y = −x上，
y1 + y2 = 4,y1y2 = −4，
∴ |y1−y2| = 16−4 × (−4) = 4 2，
因此 △ ABO的面积
1
S
=
|OF| 2
⋅
|y1−y2|
1 = ×1×4 2
2
=2 2
x2 22.解：(1)因为椭圆a2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
1 ,
的离心率为2
c1 =,
所以a 2 则a = 2c.
( ) a−c a−c
C ,− 所以 2 2 . 因为 A(a,0),B(0,b), 所以线段AB的的中垂线方程为：
( ) b a a
y− = x− 2 b 2.
由C在线段AB的中垂线上，
( ) a−c b a a−c a
− −= −. 得 2 2 b2 2
整理得，b(a−c) + b2 = ac,即(b−c)(a + b) = 0. 因为a + b > 0,所以b = c. 所以椭圆的离心率：
5. 当双曲线 m2 2m + 4
的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（
）
A.y＝ ± 2x
2 ±x B.y＝ 2
C.y＝ ± 2x
1 ±x D.y＝ 2
x2 y2
+
=1
6. 若方程 4 8sinα 表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是（ ）
( )π π , A. 3 2
[ )π π , B. 3 2
1+ 5
1+ 3
C.2
1+ 2
A. 2
B. 2
D. 2
卷 II（非选择题）
二、 填空题 （本大题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ） 13. 命题“∀x ∈ R，3x2−2x + 1 > 0”的否定是________．
x2 y2 − =1
14. 双曲线 9 16 上一点P到它的一个焦点的距离等于9，那么点P到另一个焦点的距离等 于________． 15. 一动圆与圆x2 + y2 + 6x + 5 = 0外切，同时与圆x2 + y2−6x−91 = 0内切，则动圆圆心M的轨 迹方程是________．
x2 + 7x + 6 < 0， (1)当a = −1时，若p ∧ q为真，求x的取值范围； (2)若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
x2−y2 = 1
18.（本题满分 12 分） （1）求过点(2,−2)且与双曲线 2
有公共渐近线的双曲线的方程；
x2 y2 − =1
（2）求双曲线 4 5 的焦点到其渐近线的距离．
cc
2
e= =
=.
a b2 + c2 2
故椭圆方程为 4 3 ，
焦点F1，F2的坐标分别为(−1, 0)和(1, 0). (2)由(1)知A(−2, 0)，B(0, 3)，
3 ∴ kPQ = kAB = 2 ，
3 y = (x−1) ∴ PQ所在直线方程为 2 ，
3
{y = (x−1), 2
x2 y2 + =1
由 43
得 2x2−2x−3 = 0，
D.4
A.
C.
B.2
x2 y2
9.
抛物线y2
=
− 12x的准线与双曲线 9 3
=
1 的两条渐近线所围成的三角形面积等于（
）
A.3 3
B.2 3
C.2
D. 3
10. 方程(x2 + y2−4) x + y + 1 = 0表示的曲线是(
)
A.
B.
C.
D.
11.
双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
20.（本题满分 12 分） 已知双曲线C以F1(−2, 0)，F2(2, 0)为焦点，且过点P(7, 12)．
(1)求双曲线C与其渐近线的方程；
(2)若斜率为1的直线与双曲线C相交于A，B两点，且 OA OB （O为坐标原点），求直线的
方程．
21.（本题满分 12 分）已知点M到点F(1,0)的距离与点M到直线x + 1 = 0的距离相等. (1)求点M的轨迹方程； (2)设点M的轨迹为曲线Q，过点F且斜率为1的直线与曲线Q相交于不同的两点A,B,O为坐标原 点，求 △ OAB的面积.
D.命题“若x,y都是正数，则x + y也是正数”的逆否命题是“若x + y不是正数，则x,y都不是正
数”
4. 命题“设a、b、c ∈ R，若ac2 > bc2，则a > b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共
有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
x2 y2
M: −
= 1(−2 < m < 0)
(2)￢p是￢q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，
∵ p真，有2a < x < a，
{ ∴
2aa≤≥−−16,,
故−3 ≤ a ≤ −1．
x2−y2 = 1
18.解：（1）因为所求双曲线与双曲线 2
有公共渐近线，
x2−y2 = λ(λ ≠ 0)
所以可设所求双曲线的方程为 2
．
因为所求双曲线过点(2,−2)，
可得2x1x2 + t(x1 + x2) + t2 = 0，
故−(t2 + 3) + t2 + t2 = 0，解得t =± 3，
所以直线方程为y = x ± 3． 21 解：(1)设M(x,y)， ∵ 动点M到点F(1,0)的距离与M(x,y)到定直线x + 1 = 0的距离相等， ∴ 点M到点F(1,0)的距离等于M(x,y)到直线x = −1的距离， 由抛物线定义得：点M(x,y)的轨迹是以F为焦点、直线x = −1为准线的抛物线.
设P (x1, y1)，Q (x2, y2)，
3
则x1
+
x2
=
1，x1x2
=
− 2，
|PQ| = 弦长
1 + kP2Q
(x1 + x2)2−4x1x2 =
7 ⋅
2
7 7=
2．
x2 y2
− = 1(a > 0,b > 0)
20.解：(1)设双曲线C的方程为a2 b2
，半焦距为c，
则c = 2， 2a = ||PF1|−|PF2||
甘肃省兰州市联片办学 2019-2020 学年高二数学上学期期末考试试 题理
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上对应区域，答在试卷上不得分
卷 I（选择题）
一、 选择题 （本大题共计 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每题只有一项符合题目要求）
2019—2020 学年第一学期联片办学期末考试 高二年级 理科数学试卷参考答案
1、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D
D
C
B
A
C
C
B
A
C
D
A
2、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ） 13． ∃x0 ∈ R，3x20−2x0 + 1 ≤ 0
14. 3或15
x2 y2 + =1
15．36 27
16．6
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计 70 分 ）
17.解：(1)当a = −1时，p真，则x2 + 3x + 2 < 0，
解得−2 < x < −1；
q真，则解得−6 < x < −1．
∵ p ∧ q为真，则p真且q真， 故x的取值范围为(−2, −1)．
x2 y2
+ = 1(a > b > 0)
22. （本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆a2 b2
的左焦点为
F，右顶点为A，上顶点为B.
2 (1)已知椭圆的离心率为，线段 AF 中点的横坐标为 2 ，求椭圆的标准方程；
(2)已知三角形 ABF 外接圆的圆心在直线y = −x上，求椭圆的离心率e的值.
19.（本题满分 12 分）
x2 y2
C: + = 1(a > b > 0)
如图所示，F1，F2分别为椭圆 a2 b2
的左、右两个焦
3 点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1, 2)到焦点F1，F2两点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的方程和焦点坐标； (2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求线段PQ 的长．
22−(−2)2 = λ
所以 2
，得λ = −2，
y2 x2 − =1
所以所求双曲线的方程为 2 4 ．
x2 y2 − =1
（2）因为双曲线的方程为 4 5 ，
5 y= x 所以双曲线的一条渐近线方程为 2 ，
即 5x−2y = 0． 因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点，
x2 y2
|3 5−0|
− =1
=5
所以双曲线 4 5 的焦点到其渐近线的距离为 3
．
19.解：(1)由题设知：2a = 4，即a = 2，
(3)2
3 (1, ) 将点 2 代入椭圆方程得
1 +
22
2 b2
=1 ，
解得b2 = 3，∴ c2 = a2−b2 = 4−3 = 1，
x2 y2 + =1