两条直线的位置关系

两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ )对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、 k2，则有 l1∥l2?k1＝k2.
(ⅱ)当直线 l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ )如果两条直线 l1、 l2的斜率存在，设为k1、 k2，则有 l1⊥l2?k1·k2＝－ 1.
(ⅱ )当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时， l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线 l1：A1x＋B1y＋ C1＝0，l2：A2x＋ B2 y＋ C2＝ 0，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组的解．
2．几种距离
(1)两点 P1(x1， y1 )， P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ .
(2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋By＋ C＝0 的距离： d＝.
(3)两条平行线 Ax＋By＋C1＝ 0 与 Ax＋By＋C2＝ 0(其中 C1≠C2)间的距离 d＝ .
选择题：
设 a∈ R，则“ a＝ 1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2： x＋ (a＋1)y＋4＝ 0 平行”的 () A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析充分性：当 a＝1 时，直线 l1：＋－＝与直线2：＋＋＝
0平行；
x2y 1 0l x2y 4必要性：当直线 l1： ax＋2y－ 1＝ 0 与直线 l2：x＋ (a＋ 1)y＋ 4＝ 0 平行时有 a＝－ 2 或 1；所以“ a＝1”是“直线 l1： ax＋ 2y－1＝0 与直线 l2： x＋ (a＋1)y＋4＝0 平行”的充分不必要条件已知点 (a,2)(a>0)到直线 l ：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于 ()
A.B．2－C.－1D.＋1
解析依题意得＝ 1，解得 a＝－ 1＋或 a＝－ 1－，∵a>0，∴ a＝－ 1＋.
已知直线 l1： (3＋m)x＋ 4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝ 8 平行，则实数 m 的值为 ()
A．－ 7B．－ 1C．－ 1 或－ 7D.
解析l1的斜率为－，在 y 轴上的截距为， l2的斜率为－，在y 轴上的截距为 .
又∵l1∥ l2，由－＝－得， m2＋8m＋7＝0，得 m＝－ 1 或－ 7.
m ＝－ 1 时，＝＝ 2， l 1 与 l 2 重合，故不符合题意； m ＝－ 7 时，＝ ≠＝－ 4，符合题意
已知两条直线 l 1：(a －1) ·x ＋ 2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋ 3＝0 平行，则 a 等于 (
)
A ．－ 1
B ．2
C ．0 或－ 2
D ．－ 1 或 2
解析
若 a ＝0，两直线方程为－ x ＋2y ＋1＝ 0 和 x ＝－ 3，此时两直线相交，不平行，所以 a ≠0.
当 a ≠0 时，若两直线平行，则有＝ ≠，解得 a ＝－ 1 或 a ＝2，选 D.
已知点 O(0， 0)，A(0，b)， B(a ，a 3)．若 △OAB 为直角三角形，则必有 (
)
A ．b ＝ a 3
B ． b ＝ a 3＋
C ． (b －a 3)＝ 0
D ． |b －a 3|＋＝ 0
解析 若以 O 为直角顶点，则 B 在 x 轴上，则 a 必为 0，此时 O ，B 重合，不符合题意；若 ∠A ＝，
则 ＝ 3≠0，若∠ B ＝，根据垂直关系可知 a 2
·＝－ ，所以
3－
b) ＝－，即－ 3
－＝ ，以上两
b a 1 a(a
1b a
种情况皆有可能，故只有
C 满足条件．
已知过点 A(m ＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点 C(－ 4，3)，D(0，5)的直线平行，则 m 的值为 (
)
A ．－ 1
B ．－ 2
C ． 2
D ．1
解析
由题意得： k AB ＝＝， CD ＝＝ 由于 AB ∥ CD ，即 AB ＝ CD ，
k . kk
所以＝，所以 m ＝－ 2
当 0＜ k ＜时，直线 l 1 ：kx －y ＝ k － 1 与直线 l 2：ky － x ＝ 2k 的交点在 (
)
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析
解方程组得两直线的交点坐标为，因为 0＜ k ＜，所以＜ 0，＞ 0，故交点在第二象限．
若直线 l 1： y ＝ k(x － 4)与直线 l 2 关于点 (2， 1)对称，则直线 l 2 经过定点 (
)
A ．(0，4)
B ．(0，2)
C ．(－2，4)
D ．(4，－ 2)
解析
直线 l 1： ＝ － 经过定点 ，其关于点 对称的点为 (0,2)，又直线 l 1： ＝ －
y k(x 4) (4,0)
(2,1) y k(x 4)
与直线 l 2 关于点 (2,1)对称，故直线 l 2 经过定点 (0,2)．
从点 (2，3)射出的光线沿与向量
a ＝ (8，4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为
(
)
A ． x ＋2y － 4＝ 0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋6y －16＝0
D ． 6x ＋ y － 8＝0
解析
由直线与向量 a ＝ (8,4)平行知：过点 (2,3)的直线的斜率 k ＝，所以直线的方程为
y －3＝(x －
与 (0,2)，由两点式知 A 正确．
填空题：
已知 a，b 为正数，且直线 ax＋by－6＝0 与直线 2x＋ (b－3)y＋5＝0 互相平行，则 2a＋3b 的最小
值为 _____
解析由于直线 ax＋by－ 6＝ 0 与直线 2x＋ (b－3)y＋5＝0 互相平行，所以 a(b－3)＝2b，即＋＝ 1(a，b均为正数 )，所以 2a＋ 3b＝ (2a＋ 3b)＝ 13＋6≥13＋6×2＝ 25(当且仅当＝，即 a＝b＝5 时取等号 ) 若直线 (3a＋2)x＋(1－ 4a)y＋8＝0 与(5a－ 2)x＋ (a＋4)y－7＝0 垂直，则 a＝ ________解析由两直线垂直的充要条件，得 (3a＋ 2)(5a－2)＋ (1－4a)(a＋4)＝ 0，解得 a＝0 或 a＝1.
已知两直线方程分别为 l1： x＋ y＝1， l2： ax＋ 2y＝ 0，若 l1⊥ l2，则 a＝________.
解析∵l1⊥l2，∴12＝－，即＝－，解得＝－
2.
k k11a
已知直线 y＝ kx＋ 2k＋1 与直线 y＝－ x＋2 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 ________解析由方程组解得 (若 2k＋ 1＝ 0，即 k＝－，则两直线平行 )，∴交点坐标为，
又∵交点位于第一象限，∴解得－＜ k＜.
直线 l 过点 P(－1，2)且到点 A(2，3)和点 B(－ 4， 5)的距离相等，则直线l 的方程为 ______解析当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y－ 2＝ k(x＋ 1)，即 kx－ y＋ k＋ 2＝0.
由题意知＝，即 |3k－1|＝|－3k－ 3|，∴ k＝－ .
∴直线 l 的方程为 y－ 2＝－ (x＋ 1)，即 x＋3y－5＝ 0.
当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x＝－ 1，也符合题意．
过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2： x－ 3y＋10＝ 0 截得的线段被点 P 平分，
则直线 l 的方程为 ________________
解析设 l1与
l 的交点为－
2a)
，则由题意知，点
A
关于点
P
的对称点
B(
－－在 2 上，A(a,8a,2a 6)l
代入 l2的方程得－ a－ 3(2a－ 6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为
x＋4y－4＝0
与直线 l1：3x＋2y－6＝0 和直线 l2： 6x＋4y－3＝0 等距离的直线方程是 ________
解析l2：6x＋ 4y－ 3＝0 化为 3x＋ 2y－＝ 0，所以 l1与 l2平行，设与 l1，l2等距离的直线 l 的方程为
3x＋ 2y＋c＝0，则： |c＋ 6|＝|c＋|，解得 c＝－，所以 l 的方程为 12x＋ 8y－ 15＝ 0.
已知两直线 l1：ax－by＋ 4＝ 0 和 l2：(a－ 1)x＋ y＋ b＝ 0，若 l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距
离相等，则 a＋ b＝ ________
解析由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，∴ a＋b的值为0或
已知直线 l1：ax＋y－1＝0，直线 l2：x－y－3＝0，若直线 l1的倾斜角为，则 a＝ ______；若 l1⊥l2，则 a＝ ________；若 l1∥l2，则两平行直线间的距离为 _______
解析若直线 l1的倾斜角为，则－＝＝°＝，故＝－；若1⊥l2，则
a × ＋×
(
－
1)
＝，
a k tan451a1l 1 10
故＝；若1∥l2，则＝－，1：－＋＝，两平行直线间的距离＝＝
2.
a 1l a 1 l x y 1 0d
已知直线 l： 2x－ 3y＋1＝0，点 A(－ 1，－ 2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为 ________解析设 A′(x， y)，由已知得解得故A′.
解答题：
已知两直线 l1： x＋ ysinα－ 1＝0 和 l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥ l2；
(2)l1⊥l2.
解 (1)当 sinα＝ 0 时，直线 l1的斜率不存在， l2的斜率为 0，显然 l1不平行于 l2. 当
sinα≠ 0 时， k1＝－， k2＝－ 2sinα，要使 l1∥l2，需－＝－ 2sinα，即 sinα＝±.
所以α＝π±，∈
Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝π±，∈时， 1∥l2
.
kk kk Z l
(2)因为 A1A2＋ B1B2＝0 是 l1⊥l2的充要条件，所以 2sinα＋ sinα＝ 0，即 sinα＝ 0，所以α＝ kπ，k∈ Z.
故当α＝ kπ， k∈Z 时， l1⊥l2.
如图，设一直线过点 (－ 1,1)，它被两平行直线l1：x＋ 2y－1＝ 0，l2：x＋2y－ 3＝ 0 所截的线段的中
点在直线 l3：x－ y－ 1＝ 0 上，求其方程．
解与 l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋ 2y－2＝0.
设所求直线方程为 (x＋ 2y－2)＋λ(x－ y－ 1)＝0，即 (1＋λ)x＋ (2－λ)y－2－λ＝ 0.又直线过 (－ 1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－ 2－λ＝ 0，解得λ＝－ .∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
正方形的中心为点C(－ 1,0)，一条边所在的直线方程是x＋ 3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程
解点 C 到直线 x＋3y－ 5＝ 0 的距离 d＝＝ .
设与 x＋3y－ 5＝ 0 平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝ 0(m≠－5)，
则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝＝，解得 m＝－ 5(舍去 )或 m＝7，
所以与 x＋ 3y－ 5＝ 0 平行的边所在直线的方程是x＋3y＋ 7＝ 0.
设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是3x－ y＋ n＝ 0，
则点 C 到直线 3x－ y＋n＝0 的距离 d＝＝，解得 n＝－ 3 或 n＝9，
所以与 x＋3y－ 5＝ 0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0.已
知直线 l：2x－ 3y＋ 1＝ 0，求直线 m： 3x－ 2y－ 6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程
解在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M ′必在直线 m′上．
设对称点 M ′ (a，b)，则解得∴ M ′.
设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由得 N(4,3)．
又∵m′经过点 N(4,3)．∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.
求与直线 3x＋4y＋ 1＝ 0 平行且过点 (1， 2)的直线 l 的方程．
解依题意，设所求直线方程为3x＋ 4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线过点 (1，2)，所以 3× 1＋ 4× 2＋ c＝0，解得 c＝－ 11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－ 11＝0.
求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2： x＋ y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋ 5＝ 0 垂直的直
线 l 的方程．
解解方程组得 P(0，2)．
因为 l3的斜率为，且 l⊥ l3，所以直线 l 的斜率为－，
由斜截式可知 l 的方程为 y＝－ x＋ 2，即 4x＋3y－ 6＝ 0.
已知△ ABC 的顶点 A(5， 1)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2x－y－5＝0，AC 边上的高
BH
所在直线方程为x－ 2y－5＝0，求直线 BC 的方程．
解依题意知： k AC＝－ 2，A(5，1)，∴l AC为 2x＋ y－11＝ 0，
联立 l AC、 l CM得∴C(4， 3)．
设 B(x0，y0)， AB 的中点 M 为(， )，
代入 2x－y－ 5＝ 0，得 2x0－ y0－ 1＝ 0，∴∴ B(－1，－ 3)，∴k BC＝，∴直线 BC 的方程为 y－3＝(x－4)，即 6x－5y－ 9＝ 0.已知直线 l 经过直线 l1：2x＋ y－5＝0 与 l2： x－ 2y＝ 0 的交点．
(1)若点 A(5， 0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；
(2)求点 A(5， 0)到 l 的距离的最大值．
解(1)易知 l 不可能为 l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x ＋－＋λ －＝，即y5) (x 2y)0
(2＋λ)x＋ (1－2λ)y－ 5＝ 0，
∵点 A(5,0)到 l 的距离为 3，∴＝3，
2
即 2λ－5λ＋2＝0，∴λ＝ 2，或λ＝，∴ l 的方程为 x＝2 或 4x－3y－ 5＝ 0.
(2)由解得交点 P(2,1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d≤PA(当 l⊥ PA 时等
号成立 )．
∴d max＝PA＝＝ .
专项能力提升
若点 (m，n)在直线 4x＋3y－10＝ 0 上，则 m2＋ n2的最小值是 ()
A．2B．2C．4D．2
解析因为点 (m， n)在直线 4x＋ 3y－10＝0 上，所以 4m＋ 3n－10＝0.
欲求 m2＋ n2的最小值可先求的最小值，而表示 4m＋3n－ 10＝ 0 上的点 (m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝ 0 垂直时，原点到点 (m，n)的距离最小为 2.所以 m2＋ n2的最小
值为 4.
已知直线 l： y＝ x－ 1，
(1)求点 P(3,4)关于 l 对称的点 Q；
(2)求 l 关于点 (2,3)对称的直线方程．
解 (1)设 Q(x0， y0)，由于 PQ⊥ l，且 PQ 中点在 l 上，有解得
∴Q.
(2)在 l 上任取一点，如 M (0，－ 1)，则 M 关于点 (2,3)对称的点为 N(4,7)．
∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与 l 平行，∴所求方程为 y－7＝(x－4)，即为 x－ 2y＋ 10＝ 0.。