2023-2024学年湖北省襄阳市第四中学高二上学期周考数学试卷(一)+答案解析(附后)

2023-2024
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角为()
A. B. C. D.
2.已知为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是()
A.若，，则
B.若，，则m/n
C.若，，则
D.若，，，则
3.敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B，且罐中只有白球和红球.
问题A：你的生日是否在7月1日之前？本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为
问题B：你是否在大型考试中有过抄袭？
已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389
张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是四舍五入精确到()
A. B. C. D.0.09
4.如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，则互相垂直的表面共有()
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
5.在正方体中，E是棱BC的中点，F在棱上，且，O是正方形ABCD 的中心，则异面直线与EF所成角的余弦值是()
A. B. C. D.
6.若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足的概率是()
A. B. C. D.
7.底面是等边三角形的三棱柱中，平面ABC，且，O，分别为底面ABC与底面的中心，P是上一动点，记，，当取得最大
值时()
A.1
B.
C.
D.
8.在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是()
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在10名学生中，男生有x人．现从这10名学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x的值可能为()
A.2
B.3
C.4
D.5
10.新冠肺炎疫情防控期间，进出小区超市学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是()
A.甲同学体温的极差为。

.4°C
B.乙同学体温的众数为，中位数与平均数不相等
C.乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D.甲同学体温的第80百分位数为36.5C
11.有下列四个正方体，A ，B 是正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，其中能得出AB//平面MNP 的有(
)
A.C.
B.
D.
12.如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体的侧面上的一个动点含边
界，点P 是棱
的中点，则下列结论正确的是(
)
A.沿正方体的表面从点A 到点P
的最短路程为B.若保持，则点M 在侧面内运动路径的长度为C.三棱锥
的体积最大值为
D.若点M 在平面ADD 1A 1内运动，且
，点M 的轨迹为线段
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线l 经过点和
且与经过点
，斜率为的直线垂直，则实数a 的值为
.
__________
14.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为.
15.已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量
,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内
点，点，把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则向量在向量上的投影向量为用坐标作答)
16.某登山队在山脚A处测得山顶B处的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶B处的仰角为，则山的高度m.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分)
已知向量，，
1⑴若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(若为锐角，求实数m的取值范围.
18.本小题12分)
在中，点，AB边上中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为
1⑴求点B的坐标；
(求的边BC所在直线的方程.
19.本小题12分)
在如图所示的几何体中，平面ABE，四边形ABCD为正方形，为等腰直角三角形，
AE=B E.
1⑴求证：BELDE;
(若AC与BD交于点F，求锐二面角的余弦值.
20.本小题12分)
已知z为虚数，为实数，且-1＜m＜2.
1⑴求及z的实部的取值范围.
(2),设，那么u是不是纯虚数？请说明理由.
对于中的u，求的最小值.
21.本小题12分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B 求面积的最小值及此时直线l的方程；
求当取得最小值时直线l的方程.
22.本小题12分)
甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，另一人当裁判，没有平局；②每
场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人继续
比赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各局比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲当裁判.
1⑴求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
(求只需四场比赛就决出冠军的概率；
(求甲最终获胜的概率.
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求直线的倾斜角问题，是一道基础题.
求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可.
【解答】
解：直线，即，
故直线的斜率是，
故倾斜角是：
故选D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了线面、面面平行的性质定理和判定定理，熟练的掌握定理是关键.
利用面面平行和线面垂直、线面平行的性质定理对四个选项分别分析解答.
【解答】
解：对于A，若，，则或m，n异面或m，n相交，故A错误；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，若，，则，不一定平行，故C错误；
对于D，若，，，则或异面，故D错误.
故选：B.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了古典概率的计算，先根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题A、B的人数，从而可分别计算出回答问题A、B的人中答“是”的人数以及比例.
【解答】
解：从袋子中随机抽一个球抽到红球的概率为，
抽到白球的概率为，所以回答问题A的人数是
回答问题B的人数是人，
回答问题A的人中答“是”的人数是，
所以回答问题B的人中答“是”的人数是，
所以估计该校该年级学生有过抄袭的比例为四舍五入精确到。

.01)故选C.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了线面垂直的判定和面面垂直的判定，属于基础题.
利用线面垂直的判定与面面垂直的判定寻找互相垂直的平面得出结论.
【解答】解：平面ABCD，平面PAB，平面PAD ，
平面平面ABCD，平面平面ABCD.
··AB⊥AD，，，AD、平面PAD，
…AB⊥平面PAD，
又因为平面PAB ，
平面平面PAD.
同理，平面平面PAD，平面平面PBC.
综上，共有5对平面互相垂直.
故选D.
5.【答案】A
【解析】【分析】
先建立空间直角坐标系，然后标出对应点的坐标，然后结合空间向量数量积运算求解即可.本题考查了空间向量的应用，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题.
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，O(2,2,0)，
人)
则，，
则异面直线与EF所成角的余弦值是
一，
故选：A.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，属于基础题.
先求得掷两次骰子得到的点数所包含的基本事件的总数，再列举出满足的情况所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【解答】
解：由题意，连续掷两次骰子分别得到的点数为m，n，共可得到种情形，
其中满足的情况有，，，，，，，，，3,2)，，，共13种，
故满足的概率为
故选B.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积公式，考查利用基本不等式求最值.
由题意得到，得，得到点P为的中点时取得最大值，可得，可得答案.
【解答】
解：三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，
,
且，
,
由，得，
当且仅当即点P为的中点时等号成立，
即点P为的中点时取得最大值，
此时，
故本题选A.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于较难题.
得到为正三角形．运用向量的数量积定义可得的边长，建立直角坐标系xOy，
表示出
的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值.【解答】
解：由，可得D为的外心，
又，
可得，，
即，
即有，，可得D为的垂心，
则D为的中心，即为正三角形.
由，即有，
解得，的边长为，
以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，
△ABC△ABC
可得，，，
由，可设，，
由，可得M为PC的中点，即有，
则
,
当，即时，取得最大值，且为
故选： B.
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了事件的应用，属于基础题.
利用必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解.
【解答】
解：若②为不可能事件，则男生人数少于5，则同时可保证①为必然事件;若③为随机事件，则男生人数不少于3;
.w=3或，
故选BC.
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，甲同学体温的极差为，故A选项正确；
对于B选项，乙同学体温为，，，，，，，其众数为，中位数、平均数均为，故B选项错误；
对于C选项，根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；
对于D选项，甲同学的体温从小到大排序为，，，，，，，
7×80%＝5.6，故甲同学体温的第80百分位数为，故D选项正确.
故选：ACD.
根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.
本题考查频数分布折线图，属于基础题.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，属于基础题.
分别利用线面平行的判定定理，在平面MNP中能否寻找一条直线和AB平行即可.
【解答】
解：选项A：设过点A且垂直于下底面的棱与下底面交点为C，
则由，，
NM在平面PMN内，CB不在平面PMN内，故平面PMN，同理平面PMN，
平面ABC内两条直线AC，BC相交于C，都与平面PMN平行，
故平面平面ABC，
即平面MNP，A正确；
B中若下底面中心为O，则，面，
.·.AB与面MNP不平行，故B不成立；
C中，设过点P且垂直于上底面的棱与上底面交点为D，连接BD，AD，
由，，
NM不在平面ABD内，AD在平面ABD内，故平面ABD，同理平面ABD，
平面PMN内两条直线NM，PN相交于N，都与平面ABD平行，
可知平面平面ABD，即平面MNP，C正确；
D中，由已知可得，
AB不在平面PMN内，MP在平面PMN内，
从而可得平面MNP，D正确.
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题、棱锥的体积、点面距离的向量求法、利用空间向量数量积的坐标运算求向量的夹角、线面垂直的性质，属于较难题.
将两个平面展开到同一平面内，利用两点之间线段最短进行求解，即可判断A.
找到点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，求出圆弧的半径和圆心角可得弧长，即可判断B.
建立合适的空间直角坐标系，利用等体积法结合棱锥的体积公式，求出的最大值，即可得到的最大值，即可判断
在C选项的基础上，利用空间向量数量积的坐标运算求向量与的夹角，可得点M的轨迹为线段，即可判断D.
【解答】
解：将面与面展开到同一平面内，连接AP，如图所示，
此时，
也可将面ABCD与面展开到同一平面内，如图所示，
此时，又，故A正确；
在平面内，过点P作，垂足为E，连接EM，如图所示，
则点E为棱的中点，，因为平面，平面，所以，又，所以，
所以点M在平面内的运动轨迹是以点E为圆心，1为半径的圆弧，
该圆弧所对圆心角为，所以点M在侧面运动路径的长度为，故B正确；
连接、、BD、MD、MB、，
则，所以，
以D点为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
D-ryz，
则，，，设，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设点到平面的距离为h，
则，
所以当，时，h取得最大值为,此时三棱锥体积最大，
,故C错误；
因为，所以，
连接、MB，如图所示，
因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
化简得，所以，
又，所以点M的轨迹是线段，故D正确.
故选：ABD.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的垂直关系，属基础题.
由垂直关系和斜率公式可得a的方程，解方程可得.
【解答】
解：由垂直关系可得直线l的斜率为，
,
解得，
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
由题意，可以先求出灯不亮的概率，由此再求出灯亮的概率即可.
【解答】
解：记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，
图中含开关的三条线路同时断开的概率为：，所以灯亮的概率为
故答案为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算、投影向量，属于基础题.
根据向量旋转的公式得出向量的坐标，再由投影向量公式得出投影向量.
【解答】
解：由条件得，，
,
所以向量在向量上的投影向量为
故答案为。

,-1).
16.【答案】1000
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解决高度问题，属于较易题.
由题意可得、、AD，利用正弦定理求出AB，解三角形求出山的高度BC.【解答】
解：由题意得，，，，，
所以，，
所以，
在中，米，，，
由正弦定理得，
所以米，
所以米.
17.【答案】解：已知向量，
实数时，满足的条件.
(由题设知
为锐角，，
又由可知，当时，A，B，C三点共线，
故
【解析】本题是中档题，考查向量的表示方法，向量的数量积的应用，考查计算能力.
(由题意求出，利用A，B，C三点共线，即可求实数m 的值；
求出，设出，利用
为锐角，通过向量的数量积的范围，求实数m的取值范围.
18.【答案】解：设点，
则，
解得，
点
(设点关于对称的点，
则的中点坐标为，，
于是，
则，由，
所以，
所以直线BC的方程为：
【解析】本题考查了直线的点斜式方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
设点，可得
，解方程组即可；
设点关于对称的点
，求出m、n，可求直线BC的方程
. ,即
19.【答案】证明：因为为等腰直角三角形，
，
所以，
因为平面ABE ，平面ABE ，
所以，
又，AE ，平面ADE ，
所以平面ADE ，又
平面ADE ，
所以BELDE.
解：以点A 为坐标原点，过点A 垂直平面ABCD 的直线为x 轴，AB ，AD 所在直线分别为y 轴，z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
，则点，，
，，则
，
，
，
设平面AEF 的法向量为，
由
，得
令
，则
，
，得平面AEF 的一个法向量为
设平面DEF 的法向量为，得
22＝1，则
，
，
由
令
得平面DEF的一个法向量为，
设锐二面角的大小为，
则，
则锐二面角的余弦值为
【解析】本题重点考查线面垂直的性质和二面角，属于一般题.
1⑴通过求证平面ADE，由线面垂直的性质定理即可求证;
(建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求解.
20.【答案】解：设，
则
因为m是实数，，所以，即，于是m=2a
又，所以，
因此z的实部的取值范围是
()u是纯虚数．理由如下：
,
又，所以u为纯虚数.
因为，所以，
故，
当且仅当，即时，取得最小值
【解析】本题考查复数的代数形式的运算及复数的概念，同时考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
1⑴设出复数z，写出m的表示式，进行复数的运算，把m整理成最简形式，根据所给的m的范围，得到m的虚部为0，实部所在的范围，得到z的实部的范围.
(根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数
的模长是1，得到u是一个纯虚数.
,再利用基本不等式即可求的最小值.
21.【答案】解：设直线l的方程为，，
由于直线经过点故，
所以，
故，当且仅当，时，等号成立；
即面积的最小值为6.
直线方程为
(由题意可得，
则，
所以，
当且仅当，取得最小值.
故直线的方程为r＋y-4＝0.
【解析】本题给出直线经过定点，求满足特殊条件的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、三角形面积的计算和基本不等式求最值等知识，属于中档题.
设AB的方程为，可得，利用基本不等式算出，可得当且仅
当且时，的面积S有最小值为6，进而算出此时的直线l方程；
求出，利用基本不等式求解的最值，化简可得直线l的方程.
22.【答案】解：记事件A为甲胜乙，则，，
事件B为甲胜丙，则，，
事件C为乙胜丙，则，，
前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为
P1=P(C
(只需四场比赛就决出冠军的概率为
E2=P(CAC)＋P(CBC B)+P(CABA)+P(CBAB)
由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为，第一场比赛
甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件D，甲当裁判为事件E，
P3=P(E DDD)＋P(EDDDD)＋P(EDDED)＋P(EDE DD)
【解析】本题考查独立事件概率乘法公式应用，属一般题.
前三场比赛结束后，丙被淘汰的情况有2种①乙胜丙、乙胜甲、乙胜丙②乙胜丙、甲胜乙、甲胜丙，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
(首先分析出只需四场比赛就决出冠军的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案. (首先分析出甲最终获胜的情况，再利用相互独立事件概率的乘法运算即可得出答案.
第21页，共21页。