浙江省杭州市萧山区2017年高考模拟命题竞赛数学试卷17Word版含答案

2017年高考模拟试卷数学卷
本试卷分选择题和非选择题两部份。

总分值150分，考试时刻120分钟。

选择题部份（共40分）
一. 选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.）
1. [原创] 已知集合{|2}x
P x R y =∈=，2{|1}Q y R y x =∈=-，那么P Q ⋂=（ ▲ ）
A .[1,1]-
B .[0,)+∞
C .(,1][1,)-∞⋃+∞
D .(0,1]
2. [原创] 已知复数34i z i ⋅=+，其中i 为虚数单位，那么z =（ ▲ ）
A .43i -+
B .43i --
C .43i -
D .43i +
3. [原创] 假设命题P ：关于任意的x ,有|1||21|x x a ++-≥恒成立，命题Q ：3a ≤，那么P 是Q 的（ ▲ ）
A .充分没必要要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也没必要要条件
4. [原创] 在平面直角坐标系XOY 中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，那么a =（ ▲ ）
A .1
B .e
C . 1
e
D .0
5. [原创] 已知正整数,x y 知足不等式组2252
x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，那么221x y x +++的取值范围为（ ▲ ）A .77
[,]42
B .7[2,]2
C .7[,2]4
D .57[,]22
6. [原创] 在三角形ABC ∆中，=4AB ，0AC λλ=>（），假设2CA CB ⋅≥-对任意的0λ>恒成立，那么
角A 的取值范围为（ ▲ ）
A .[]42ππ，
B .3[]44ππ，
C .3(0,]4π
D .3[4
π
π，）
7. [原创] 浙江省高考制度改革以来，学生能够从7门选考科目中任意选取3门作为自己的选考科目。

目前C 学校的A 专业需要物理、技术、化学科目，B 专业需要技术、政治、历史科目，甲同窗想报考C 学校的A 和B 专业，其中A 、B 专业只要考生的选考科目中有一门知足条件即可报考，现请问甲同窗选择选考科目种类是（ ▲ ）种
A .15
B .35
C .31
D .19
8. [原创] 已知1(,0)F c -,2(,0)F c 别离为双曲线22
22:1(,0)x y a b a b
Γ-=>的左、右核心，过点1F 作直线l 切
圆2
2
2
()x c y r -+=于点P ,l 别离交Γ右支于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），假设
1||:||:||2:2:1F A AB BP =,那么双曲线Γ的离心率的值为（ ▲ ）
A .5
B .
265
5
C .2623+
D .263+ 9. [原创] 在四面体A BCD -中，,
E
F 别离为棱,AB CD 的中点，过EF 的平面α交,BC AD 于,
G
H ，那么,EGF EHF S S ∆∆知足以下哪一种关系（ ▲ ）
A .EGF EHF S S ∆∆=
B .EGF EHF S S ∆∆>
C .EGF EHF S S ∆∆<
D .,EGF EHF S S ∆∆随着平面α的转变而转变
10、[原创]已知二次函数2(),,,f x ax bx c a b c N +
=++∈,函数()f x 在11(,)44
-上有两个零点，那么
a b c ++的最小值为（）
A .38
B .39
C .40
D .41
非选择题部份（共110分） 二. 填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.） 11. [原创] 27log 83= ▲ ; 已知函数2
2
()log (1)f x x x =++，那么221(log 3)(log )3f f += ▲ ; 12. [原创] 已知()2sin()cos 6f x x a x π
=++的最大值为2，那么a = ▲ ;假设
12,x x R ∀∈,12|()()|f x f x m -≤，那么m 的取值范围是 ▲
13. [原创] 已知立体几何体的三视图如右图所示， 那么该立体几何体的体积是 ▲ ; 立体几何体的表面积是 ▲ .
14. [原创] 已知数列{}n a 中，12a =，122(2)n a a na n n ++
+=≥，那么n a = ▲ ；
假设数列1{}n n a a +的前n 项和为n S ，那么n S = ▲ .
15. [原创] 已知函数()||f x x a m =-+，现规定1()()f x f x =，1()(())(1)n n f x f f x n +=≥，那么方程
()0n f x =存在实数根的充要要条件是 ▲ （,,n a m 三者关系）
16. [原创] 已知20c b >>,那么22
(2)
a b a c b -的最小值是 ▲
17. [原创] 已知向量,,a b c 知足||1,||||,()()0a a b b a c b c =-=-⋅-=.关于确信的b ，记c 的长度的最大值和最小值别离为,m n ，那么当b 转变时，m n -的最小值是 ▲ .
三. 解答题（本大题共5大题，共74分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.） 18. [原创] 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边别离是,,a b c ，已知3
B π
∠=
,4c =
（Ⅰ）若3
sin 5
C =
，求ABC ∆的面积. （Ⅱ）1CB CA ⋅=-，求b 的值.
19. [原创] 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，,E F 别离是,AB PC 的中点，平面PDE ⊥平面PCD ,1PD DE ==,2PE AB ==
（Ⅰ）证明：直线//BF 面PDE
（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
20. [原创] 已知函数2
()x
f x e ax x =--,2
()231g x ax bx a =+-+.
（Ⅰ）假设函数()f x 在R 上是单调递增的，求实数a 的值. （Ⅱ）当[4,4]x ∈-时，()0g x ≥恒成立，求5a b +的取值范围.
21. [原创] 如图，在直角坐标系xoy 中，,A B 别离是椭圆22221x y a b +=2
，P 是
椭圆上的任意一点（异于左、右极点），直线AP 与直线l ：2
a x c =相交于M 点，当P 在椭圆上的上极点时，
3AP BP ==.
（Ⅰ）求椭圆标准方程.
（Ⅱ）设BP 的斜率为1k ,BM 的斜率为2k ,
（i ）求证：12k k 为定值.
（ii ）假设BP 平分ABM ∠，求22
12k k +的值.
22. [原创]对任意正整数n ，设n a 是关于x 的方程31x nx -=的最大实数根 （1）12n n n a a n +<<<+（2）、当4n ≥时，对任意的正整数m 2()n m n n m n
a a n m n ++-<-<+
（3）、设数列21{}n a 的前n 项和为n S ，求证：2ln(1)133
n n n S +<<
2016年高考模拟试卷数学答卷
一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分）
题号12345678910
答案
二、填空题（此题共有7小题，其中第1一、1二、13、14题每空3分，第1五、1六、17题每空4分，共36分）
11． ,_____________. 12．___________ ，
13．， 14．，
15．____ _ _ 16， 17
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤）
18．（本小题满分14分）19．（本小题满分15分）
题号1-1011-171819202122总分得分
2017年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
1.【答案】B
【解析】由{|}P x x R =∈，{|0}Q y y =≥，得{|0}P Q x x ⋂=≥.
2.【答案】D
【解析】由已知，得z =43i +,3443i
z i i
+==-. 3.【答案】A
【解析】由|1||21|x x ++-恒成立，得min (|1||21|)a x x ≤++-，利用各绝对值的零点，别离画出函数的大致图像，即当32x =时，min 3(|1||21|)2x x ++-=，现在命题P ：32
a ≤；又由于命题Q ：3a ≤，得P Q ⇒. 4.【答案】B
【解析】由()ln f x a x x =+，得'
()1a f x x =
+，即'
()2k f a ==。

又由斜率公式，得ln 020
a a a k a +-==-，解得a e =. 5.【答案】A
【解析】如下图，令221
x y z x ++=+，得1
2()
211
y z x +=++，现在目
标函数的几何意义是点(,)P x y 到1
(1,)2
D --的斜率的2
倍2再加1。

由图可知当(,)P x y 在A 点处时，z 取到最大值，
max 72z =
；当(,)P x y 在B 点处时，z 取到最小值，min 74
z =.
6.【答案】C
【解析】由2()4cos 2CA CB CA AB AC CA AB CA AC A λλ⋅=⋅-=⋅-⋅=+≥-，得
22cos 4A λλ+≥-，现在2max 2cos ()4A λλ+≥-。

令2
2()4f λλλ+=-
，12()=()4f λλλ-+ 22≤-，故2
cos 2
A ≥-
，解得3(0,]4A π∈. 7.【答案】C
【解析】由已知，可得甲同窗若是选了技术，那么他只要从剩下的6门科目中任意选2门即可，现在2
6C 种；假设甲同窗若是不选技术，那么他需要先从物理、化学当选择1门，再从政治、历史当选择1门，再从剩下的4
门当选择1门即可，现在111
224C C C ，故甲同窗选择种类是1112224631C C C C +=，应选C.
8.【答案】B
【解析】连接22,AF BF ,设1||||=|2|F A AB BP =.
由2121||||||||2F A F A F B F B a -=-=, 2
2
2
2
2
2
409249
t r t t t r r t +=+⇒=
. 故有523a t =,2222
2654259
t c r t =+=,
即265t
c =
综上可得265
e =. 9.【答案】A
【解析】如图，延长EH,GF 相交于点M,那么M 必在BD 的延长线上 过点D 别离作,EM GM 的平行线,DN DP ,别离与,AB BC 相交于点,N G
由//DP GM ,得
,BM BE DH NE
DM NE HA EA == 即两式相乘得
1BM DH AE
MD HA EB
⋅⋅=; 由//DP GM ,同理可得
1BM DF CG
MD FC GB
⋅⋅=; 综上可得CG DH GB HA =,即CG DH
CB DA
=. 故有CG CF DH DF CB CD CD DA
⋅⋅=⋅⋅,可得CGF DHF CBD CAD S S S S =.现在E CGF E DHF V V --=,从而可知C EGF D EHF V V --=.综上所得
EGF EHF S S ∆∆=.
10、【答案】D
【解析】由题意，考虑到(0)0f c =>，于是条件等价于21
0420164
40b a a b c b ac ⎧-<-<⎪⎪
⎪-+>⎨⎪->⎪⎪⎩
,即2
42,164b a b b a c a -<<<
.由c 是
正整数，于是2
14b a
>，从而122a b a >>,如此就取得了16a >,进而28b a >>.于是9b ≥.而
218a b >≥.
当13b ≥时，有20155015411616b a b a b c ++++>≥>.当912b ≤≤时，22
1224419b a ≤<⨯
于是1c =,且2
14164
b a b -<<.
容易验证当9,10b =时，无解；当11b =时，(,,)(29,11,1)a b c =;当12b =时，a b c ++的最小值当
(,,)(33,12,1)a b c =时.
综上所述，a b c ++的最小值为41,当(,,)(29,11,1)a b c =时取得。

11.【答案】2;0
【解析】由已知，可得273log 8log 2332==；由22()log (1)f x x x =++是奇函数，得
221
(log 3)(log )3
f f +=0.
12.【答案】0或2；[4,)+∞. 【解析】由()2sin()cos 6f x x a x π
=+
+，得()2sin()cos 3sin 6
f x x a x x π=++=+ 2
2
(1)cos (3)(1)sin()a x a x ϕ+=+++.现在22(3)(1)2a ++=，解得0a =或2a =-；由上述可知，
()2sin()cos 2sin()6f x x a x x π
ϕ=++=+,又由于12,x x R ∀∈,12|()()|f x f x m -≤.得
12max |()()|4m f x f x ≥-=
13.【答案】1;63+
【解析】由三视图，可得该三视图的立体几何的直观图如右图所示：
几何体11ABA DCC -能够看做
正方体1111ABCD A B C D -切去了右上方的 三棱锥111B A BC -,并在左上方增加了一个三棱锥111E A D C -,因此
该几何体的体积为
3
221111
=11113232
V -⨯⨯+⨯⨯=.
表面积1116
1111211(12)12222222
S =⨯+
⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯63=+ 14.【答案】2,1
1,2n n a n n
=⎧⎪
=⎨≥⎪⎩；312(1)n n S n +=+.
【解析】由122(2)n a a na n n ++
+=≥，得1211
212(1)2(1)1n n n a a n a na n a a n a n --+++-+=⎧⎨+++-=-⎩，
两式相减，可适当2n ≥时，1n na =.又由已知12a =，可得2,1
1,2n n a n n =⎧⎪
=⎨≥⎪⎩.
12231111
111111
21223123
1
n n n S a a a a a a n n n n +=++
+=⨯+⨯+
+⨯=+-++
-++ =
31
2(1)
n n ++
15.【答案】(1)n a nm -≥
【解析】必要性：当1n =时，()||f x x a m =-+存在实数
根，现在
0,1,m n a R ≤≥∈，即(1)n a nm -≥；
当2n =时，2()(())||||f x f f x x a m a m ==-+-+，
现在当x a >时，有2()|||||2|f x x a m a m x a m m =-+-+=-++; 当x a ≤时，有2()||||||f x x a m a m x m m =-+-+=-+
利用嵌套函数图像与性质，能够取得2m a ≥即可。

依此类推可知方程()0n f x =存在实数根，那么
(1)n a nm -≥；充分性反之即可.
1六、【答案】16
【解析】设2a c b x -=,2b y =,那么,0y x >,且a c x y =+,
于是2222
4(1)()8(1)(2)
c x y c a c xy b a c b ++++
=+-416416216xy c xy c
c xy c xy ≥+≥⋅= 等号当2,1x y c ==
=,即2
22,,12
a b c ==
=时取到
17.【答案】
12
【解析】记,,OA a OB b OC c ===,
那么由题意知，1,,OA OB AB AC BC ==⊥.
因此点C 在以AB 为直径的圆上，记OA 的中点为M ， 那么有AO BM ⊥,因此点M 也在以AB 为直径的圆上，
如图：当点C 在圆上运动时，2m n r OB -==，
因此即求OB 的最小值，当,,O A B 三点共线时，即,B M 重合时，OB 取到最小值1
2
. 18. 【解析】 （Ⅰ）由正弦定理，得
4sin sin b B C =，解得10
33
b =3分 再由余弦定理222
cos 2a c b B ac
+-=,得8323a =………………………………………5分 现在1sin 2ABC S C ab ∆=
⋅138310(2)38232533
=⨯⨯+=+7分 （Ⅱ）由1CB CA ⋅=-，得2216
12
a b CB CA +-⋅==-,即2214a b +=………………10分
又由余弦定理222
cos 2a c b B ac
+-=，得22416b a a =-+………………………………12分
联立可得1a =…………………………………………………………………………………14分
19. 【解析】
（Ⅰ）取CD 的中点M ,连接,BM FM , 由,F M 别离是,PC DC 的中点，得
//FM PD ；…………………………………………2分
又由于四边形ABCD 是平行四边形，
得//,AB CD AB CD =.由,E M 别离是,AB CD 的中点， 得//,EB MD EB MD =,即EBMD 是平行四边形，
现在//DE BM ;………………………………………………………………………………4分
综上可知，面//BFM 面PDE ,从而有直线//BF 面PDE ………………………………5分 （Ⅱ）解法一（几何法）： 由1PD DE ==,2PE AB ==
222PD DE PE +=,现在PD DE ⊥……………6分
又由于PDE ⊥面PCD ，得DE ⊥面PCD ,即,,PD DE DC 两两垂直…………………8分
现在22210PA PD ED AE =
++=
,22210
PB PD ED BE =++=, 6
3,PC BC ==
,10AC =10分
过点A 作面PBC 的垂线，垂足别离为'A ，连接'PA
现在由1
2
P ABCD A PBC V V --=…………………………………………………………………12分
''11114610
=33222
15A PBC PBC V S AA AA -∆⋅=⨯⨯,111211223P ABCD V -=⨯⨯,
得'
7
AA =
…………………………………………………………………………………14分 现在直线PA 与面PBC 所成角为'
A PA ∠,且''
270
sin 35
AA A PA AP ∠==
……………15分 解法二（向量法）： 由1PD DE ==,2PE AB ==
222PD DE PE +=,现在PD DE ⊥……6分
又由于PDE ⊥面PCD ，得DE ⊥面PCD ,即,,PD DE DC 两两垂直…………………8分 成立以D 为原点，以DE 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DP 所在直线为z 轴，现在
(0,0,1)P ,22(1,,0),(1,,0),2,0)22
A B C -…………………………………10分设面PCB 的法向量别离
为(,,)n x y z =,2
(1,1)2
PA =-
- 现在202
02
z x y z ⎧-=⎪⎨+
-=⎪⎩,解得(1,2,2)n =………………………………………………14分
设直线PA 与面PBC 所成角为θ，现在270
sin |cos ,|5
72
n PA θ=<>==
⋅
…15分
20. 【解析】
（Ⅰ）由函数2
()x
f x e ax x =--在R 上是单调递增的，得 对x R ∀∈,'
()210x
f x e ax =--≥恒成立，即
21x ax e ≤-…………………………………2分
现在不等式左侧是一次函数，不等式右边是1x
e -，要使得不等式在R 上恒成立，那么不等式左侧的图像必然在不等式右边函数图像的下方，即只要保证1x e -在(0,0)的切线的斜率恰好是一次函数的斜率即可，故
0|12x x e a ===,即1
2
a =
…………………………………5分 （Ⅱ）由题意当[4,4]x ∈-时，()0g x ≥恒成立，得2
()(23)10g x x a bx =-++≥,令223x x -=，解得3
x =或1
2x =-…………………………………………………………8分
由于1,3[4,4]2-∈-，可得1(5)02a b -+≥，3(5)10a b ++≥,即1
523
a b -≤+≤…11分
接下来咱们证明5a b +能够取得1
,23
-.
令153b a =--，22
21248(7)3b a a a ∆=+-=-,
于是当121a =,4
7
b =-时，0∆=符合题意………………………………………………13分
当25b a =-，可得222
248(72)b a a a ∆=+-=-，于是当24,77
a b ==时，0∆=符合题意.结合函数的持
续性，可知5a b +的取值范围是1
[,2]3
-……………………………15分
21. 【解析】
（Ⅰ）由题意知，2223c e a a b ⎧==
⎪⎨⎪+=⎩
，
得21
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2212x y +=……………………………………………4分
（Ⅱ）（i ）设点00(,)P x y ,得直线0
0:2)2
AP y x x =
+,…………………………5分
联立直线:2l x =,得0
02))2
M x ++……………………………………………7分
现在
020********)2322(322)22
22
x y k k x x ++⋅=
=+=---……………………9分
（ii ）由BP 平分ABM ∠，得MBP ABP ∠=∠. 得1212
tan tan tan tan()1tan tan 1k k PBx MBx
MBP PBx MBx PBx MBx k k -∠-∠∠=∠-∠=
=+∠⋅∠+…………11分
1tan tan()ABP PBx k π∠=-∠=-
整理可得，
12
112
1k k k k k -=-+……………………………………………………………………13分 又由于（i ），得21122k k -=
，联立123222k k +⋅=-，得2
25424k +=
,2111827
k +=，现在22
12118254279602
7428
k k ++++=
+=
………………………………………15分
22. 【解析】
（1）、令3()1f x x nx =--，那么'2
()3f x x n =- .
可知()f x 在区间,)3
n
+∞内单调递增；…………………………………………………….1分 又由于10f n =-<,1)110f n n +=
+>，
1n n a n <<+……………………………………………………………………………………..3分 112n n a n ++<+12n n n a a n +<<+..4分
（2）、当4n ≥
时，由110()n f f a =≥->=
可得2
n a <
,
2
n a <…………………………………………..5分
12
n a +<<
122
n n a a +<-<..6分
1n n a a +<-
<<….7分
于是有132211()()()()n m n n m n m n n n n n n a a a a a a a a a a +++-+++++-=-+
+-+-+-
1
(2n >
++++
=
…………8分
132211()()()()n m n n m n m n n n n n n a a a a a a a a a a +
++-+
++++-
=-++-+
-+-
(
n
<+
+
++
=
<
………………………………………………9分
综上所得
2
m n n a a
+
<-<不等式成立.
（3）、由（1）n a <<可得2
111
2n n a n
<<+.............................................10分
从而可知22212
111n n S a a a =
+++
11
1
34
2
n >+++
+ 事实上由对0x ∀>,有ln(1)x x >+ 于是
11111
1ln(1)ln(1)ln(1)34
234
2n n +++
>++++++
++ln(1)3
n
=+.................12分 从而有2221211
1n n S a a a =
+++
11
134
2n >+++
+ln(1)3n
>+ 又由于22212
111n n S a a a =
+++
111
123
n
<++++ 事实上由柯西不等式，得
222211111111
11
11123
23
123
(1)
n n n n n ++++
<++++
<++++
+++......14分 21114
n <+++
-1
1
1()(2n n =++
-
1=213
n <+
.................................................................
......................15分
综上所述，ln(1)13n n S +<<.。