等离子体光子晶体的FDTD分析

南京航空航天大学
硕士学位论文
等离子体光子晶体的FDTD分析
姓名：***
申请学位级别：硕士专业：电磁场与微波技术
指导教师：***
20080401
南京航空航天大学硕士学位论文
摘要
光子晶体是一种由两种介电常数不同的介质周期性排列构成的人工材料，即所谓的“光半导体”。

由于其独特的性能和潜在的巨大的应用前景，光子晶体已成为近十多年来国际科学领域研究热点。

等离子体光子晶体是等离子体和介质或真空构成的周期性结构。

本文分别对一维和二维以及三维的等离子体光子晶体结构进行数值仿真研究，研究了不同几何结构和等离子体参数下电磁带隙结构的特性，以掌握其带隙与等离子体光子晶体各项参数之间的内在联系，为等离子体光子晶体结构的具体设计提供指导。

由于等离子体光子晶体结构的复杂性，使人们难以对其做定性的或者解析分析，只能应用繁复的数值模拟，因此等离子体光子晶体计算方法是本论文的主要内容之一。

时域有限差分方法(FDTD)在电磁场数值模拟领域正受到越来越多的注意。

它直接在时域求解离散化了的麦克斯韦方程组，能模拟任意几何形状的结构；它的另外一个优点是可以通过输入脉冲得到脉冲响应进行傅立叶变换，一次计算出包含很大频率范围的结果。

本文使用了一种新的色散介质的积时域有限差分方法，分段线性电流密度递归卷积时域有限差分方法，来处理等离子体光子晶体结构模型中复杂的等离子体部分的计算。

光子晶体的主要特性就是光子禁带，然而只有特殊的周期结构才有光子禁带，因此光子晶体结构设计是光子晶体理论研究的重要内容。

本文分析了等离子体光子晶体的各项参数对带隙的影响。

研究发现，介电常数阶跃变化越大，越容易频繁地出现电磁带隙。

当介电常数变化相近的时候，电磁带隙几乎消失。

文章还进一步计算了二维离子体光子晶体中等离子体参数对带隙的影响。

结果表明随着等离子体频率的升高，带隙特性越发明显，带隙深度增加，宽度也再明显加大。

另外，本文还对三维等离子体光子晶体带隙作了初步的数值仿真。

为了进一步增大带隙的范围，文中分析了复合结构等离子体光子晶体的电磁特性，本论文提出了的串联复合周期结构等离子体光子晶体，由两种参数结构的等离子体光子晶体构成。

本文设计了一种一维复合周期结构光子晶体结构和一种二维复合周期结构光子晶体结构，计算出了相应的光子带隙，结果表明复合光子晶体的带隙明显大于各组合光子晶体的带隙。

当然复合结构光子晶体还有许多其他结构、如并联结构、三元结构以及多元结构、周期间距的不均匀
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结构等等，并且随着模型维数的增加，其组合方式也越来越多。

总之，本论文工作涉及等离子体光子晶体理论算法、等离子体光子晶体新结构的设计，在各方面都取得了有特色的研究成果。

关键词：等离子体，光子晶体，光子带隙，色散介质，数值方法，时域有限差分法，
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Abstract
Photonic Crystal is an artificial structure which has a periodic arrangement of dielectric or metallic materials. It is so-called “photon-semiconductor”. In the past decade, it has become a new fast-developing research field due to its unique properties and many potential applications.
Plasma photonic crystal (PPC) is a periodic array composed of alternating thin plasmas and dielectric materials (or vacuum). Characteristics of 1-D and 2-D plasma photonic crystal structures were studied in this article. Characteristics of one dimensional and two dimensional PPC structures with numerical simulations were researched. The band-gap characteristics of PPC structures with different geometries and parameters have been studied to obtain the intrinsic relationship of band-gaps, and the results would provide instructions for design PPC structures.
Because of the complex of the structure of plasma photonic crystal, it is very hard to analyze a plasma photonic crystal in an explicit analytical method. We usually analyze plasma photonic crystal through numerical simulations. So, numerical method is one of the most important parts of this paper.
The finite-difference time-domain (FDTD) technique receives growing attention in the area of electromagnetic simulation. It is based on a direct discretization of Maxwell's equations in the time domain. It can simulate electromagnetic field distributions in structures of arbitrary geometry. Another advantage of FDTD is that it provides a pulsed start field and Fourier transforming the response.
The piecewise linear current density recursive convolution (PLCDRC) finite-difference time-domain (FDTD) method for the simulation of plasma photonic crystal is used here. It’s a new numerical method for the dispersive medium.
For many applications of photonic crystals, it is essential to design structures with large band gaps. First, plasma photonic crystal has been investigated with FDTD methods and effects of permittivity have been obtained. The results show that band gaps appear easily with more change rate of permittivity. And the band
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gaps disappear when less changes of permittivity. Second the relationship between band gaps of the plasma photonic crystal and plasma parameters has been discussed. We find out the increasing of the plasma frequency arouse the obviously EBGs. Bandwidth is narrowed and the attenuation of the reflection coefficients is rising.
To increase range of band gaps, kinds of structures have been invented, such as series structures, parallel structures. In this paper, a new definition is given which is called composite-plasma photonic crystal. It is made up of two kinds of plasma photonic crystal with different parameters. One kind of one-dimensional composite-plasma photonic crystal and one kind of two-dimensional composite- plasma photonic crystal are calculated. The result shows that the band gaps are obviously wider than that of both composite plasma photonic crystals.
In conclusion, the work in the present thesis is devoted to numerical methods, designing new plasma photonic crystal structures of large photonic band-gap. Much progress has been obtained in both of the above-mentioned aspects.
Key words： plasma, photonic crystal (PC), FDTD, numerical method for the dispersive medium.
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图表清单
图1.1 电磁带隙结构维数分布结构图 (2)
图1.2 3-D电磁带隙结构维数分布结构图 (3)
图1.3 EBG缺陷结构构成的直角波导 (5)
图2.1 FDTD离散中三维电场和磁场分量各节点的空间排布 (12)
表2.1 Yee元胞中E，H各分量的节点位置 (13)
图2.2 二维TE波和TM波的Yee元胞 (14)
图2.3 FDTD算法PML吸收边界验证 (17)
图2.4 PLCDRC算法与解析法的比较 (19)
图2.5 PLCDRC算法与JEC算法的比较 (20)
图3.1 一维均匀电磁带隙结构示意图 (21)
图3.2 背景相对介电常数对一维PPC电磁带隙特性的影响 (22)
图3.3 等离子体频率影响光子带隙 (23)
图3.4 等离子体碰撞频率影响光子带隙 (23)
图3.5 串联结构电磁带隙结构特性 (25)
图4.1 一维周期结构 (27)
图4.2 周期结构中的一个单元 (28)
图4.3 圆柱PPC结构示意图 (29)
图4.4 二维圆柱PPC背景介电常数的带隙影响 (30)
图4.5 等离子体频率的带隙影响 (31)
图4.6 等离子体碰撞频率的带隙影响 (32)
图4.7 方形介质柱电磁带隙结构示意图 (32)
图4.8 方柱等离子体光子晶体带隙特性 (34)
图4.9 两种类型的等离子光子晶体反射率比较 (35)
图4.10 圆柱与方柱PPC的带隙比较 (36)
图5.1 串联二维等离子体光子晶体结构 (38)
图5.2 串联二维等离子体光子晶体结构 (40)
图5.3 三维等离子体光子晶体结构 (40)
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承诺书
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

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第一章光子晶体概述
1.1光子晶体简介
过去的一个世纪被称为“电的世纪”，电进入了我们生活的每一个角落。

在电子信息领域人们为了获得更小的电路体积和更高的信息交换速度进行了不断的研究。

但是线路越细，电子越会表现出明显的量子效应，产生相互作用，能量散失就较多，而更高的速度则对信号同步的准确性要求更高。

在电子线路已经发展到极限的今天，科学家们把目光对准了光。

他们希望能用光子来取代电子作为信息的载体，进一步推动人类文明的发展。

与电子相比较，光子有许多优势[1]：首先，光在介电材料中的传播速度可以达108m/s数量级，而电在金属中的传播速度只有104-105m/s数量级，光传播要快得多。

其次，光作为通信载体每秒可携带的数据量比电子要得多。

再次，介电材料的带宽余远远大于金属。

光纤系统的带宽可以达到1012Hz数量级，而金属导线的带宽只有105Hz数量级。

更为重要的一点就是光子没有强相互作用，这可以使传播时能量损耗很小。

目前光子作为信号载体的应用主要是光纤，其原理是利用光在高介电材料中传输，在高低介电材料的交界面上产生反射，在这种模式下，界面相对光波来说必须是光滑的，从而就限制了这类光学元件不能做得太小，而且光路的转角不能太大。

在1978年，Yablonovitch[2]首先提出了光子晶体的概念。

这引入了另一种完全不同的控制光线的机制。

光子晶体是一种介电常数周期性变化排布的材料，类似于半导体中原子点阵可以控制电子传播一样，光子晶体也可以控制一定频率的光的传播。

在半导体中，当电子在晶体中扩散时，原子点阵形成了一种周期性的势场。

点阵的空间排布和势场的强度导致了类布拉格散射，于是就会出现一个能量的禁带，在这个禁带中的电子在任何方向上均不能传播。

在光子晶体中，介电常数不同的材料代替了原子，也形成一种周期性的“势场”。

如果介电常数的差异够大的话，在电介质的交界面上也会发生布拉格散射，同样会有能量的禁带出现。

在完整三维光子晶体中，光就不能在任方向上传播。

当完整晶体上出现了一个缺陷的时候，光就可以从缺陷出射出，如果该缺陷是一个线缺陷的话，光就会沿着线缺陷的走向行进。

这样就可以做到控制光波的传播方
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2向。

同时也可以让光波转过很尖锐的弯。

由于有光子禁带，转弯时几乎没有能量损失，唯一损耗的光是从入射口逸出的一小部分。

光子晶体最初是在光学领域内提出来的，但是由于光学波段的尺度很小，加工工艺要求高，所以人工制作光子晶体存在一定的困难。

由于微波波段和光波波段都属于电磁波谱，共同遵从于Maxwell 方程，所以这种周期性通过缩比关系扩展到微波领域。

对于频率禁带处在微波波段(300MHz~300GHz)的光子晶体，我们称之为微波光子晶体(Microwave Photonic Crystal ：MPCs)，电磁晶体(Electromagnetic Crystal ：ECs)或者电磁带隙结构(Electromagnetic Band-Gap ：EBG)[3-5]。

微波领域从理论分析，制备到实验测试都有相当成熟的技术和仪器设备，所以光子晶体在微波频段的研究快速开展起来，并且不断获得新的成果，EBG 相关理论以及应用已经成为了一个重要的研究方向。

电磁带隙结构在微波波段的研究设计到滤波器[6-9]、混合器[10]、谐振器[11-14]、高效放大器、高性能微波天线[15-17]等等，覆盖范围相当广泛。

1.2 光子晶体的其常见结构和带隙形成机理
1.2.1 光子晶体的其常见结构
1-D 2-D
图1.1 电磁带隙结构维数分布结构图 光子晶体的常见结构有很多，可分为多种类型。

按照周期性，其本质上为一种一维、二维和三维周期结构，如图1.1，1.2所示。

一维光子晶体是指在一个方向上具有光子频率禁带的材料，它由两种介质交替叠层而成。

这种结构在垂直于介质片的方向上介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质片平面的方向上介电常数不随空间位置而变化[18]。

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二维光子晶体是指在二维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料，它是由许多介质杆平行而均匀地排列而成的。

这种结构在垂直于介质杆的方向上(两个方向) 介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质杆的方向上介电常数不随空间位置而变化。

由介质杆阵列构成的二维光子晶体的横截面存在许多种结构，如矩形、三角形和石墨的六边形结构[19-21]。

横截面不同，获得的光子频率禁带宽窄也不一样。

矩形的光子频率禁带范围较窄，三角形和石墨结构的光子频率禁带范围较宽。

为了获得更宽的光子频率禁带范围，还可以采用同种材料但直径大小不同的两种介质圆柱杆来构造二维光子晶体[22]。

图1.2 3-D电磁带隙结构维数分布结构图
三维光子晶体是指在三维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料。

美国贝尔通讯研究所的Yablonovitch 创造出了世界上第一个具有完全光子频率禁带的三维光子晶体，它是一种由许多面心立方体构成的空间周期性结构，也称为钻石结构[23]。

1.2.1光子晶体的带隙形成机理
Yablonovitch 指出[2]：光子晶体可以抑制自发辐射。

因自发辐射的几率与光子所在频率的态的数目成正比，当原子被放在一个光子晶体里面，而它的自发辐射光的频率正好落在光子禁带中时，由于该频率光子的态的数目为零，因此自发辐射几率为零，自发辐射被抑制。

反之，光子晶体也可以增强自发辐射，只要增加该频率光子的态的数目便可以实现，如光子晶体中混有杂质时，光子禁带中会出现品质因子很高的杂质态，具有很大的态密度，这样就可以实现辐
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射增强。

光子禁带的出现依赖于以下几个因素：一是光子晶体的结构，二是介电常数的配比，三是光子晶体的几何构形。

一般说来，如果光子晶体中两种介质的介电常数的差异足够大，在介质交界面就会发生布拉格散射而且介电常数比越大，入射光被散射的越强烈，出现光子禁带的可能性就越大。

光子晶体的另一个重要性质是“光子局域”。

John 于1987 年提出：在一种精心设计的无序介电材料组成的超晶体中，光子呈现很强的Anderson局域。

在光子晶体中，如果原有的周期性或对称性受到破坏，在其光子禁带中就有可能出现频率极窄的缺陷态，与缺陷态频率吻合的光子会被局域在出现缺陷位置，一旦偏离缺陷位置光就将迅速衰减[24]。

1.3 光子晶体的应用
二十世纪五十年代开始的以半导体为代表的电子带隙材料导致了微电子革命，其核心就在于采用这种能够操纵电子流动的电子带隙材料。

我们所处的时代从某种意义上说是半导体时代，半导体的出现带来了从日常生活到高科技革命性的影响：大规模集成电路、计算机、信息高速公路等等这些甚至连小学生都耳熟能详的东西都是由半导体带来的。

几乎所有的半导体器体都是围绕如何利用和控制电子的运动，电子在其中起到决定作用。

但集成的极限在可以看到的将来会出现，这是由电子的特性所决定的。

而光子有着电子所没有的优势: 速度更快，没有相互作用。

通过上述对光子晶体重要特征的阐述，光子晶体具有重要的应用背景。

由于其特性，可以制作全新原理或以前所不能制作的高性能器件：
高性能反射镜：频率落在光子带隙中的光子或电磁波不能在光子晶体中传播，因此选择没有吸收的介电材料制成的光子晶体可以反射从任何方向的入射光，反射率几乎为100 %。

这与传统的金属反射镜完全不同。

传统的金属反射镜在很大的频率范围内可以反射光，但在红外和光学波段有较大的吸收。

这种光子晶体反射镜有许多实际用途，如制作新型的平面天线。

普通的平面天线由于衬底的透射等原因，射向空间的能量有很多损失；如果用光子晶体做衬底，由于电磁波不能在衬底中传播，能量几乎全部射向空间。

这是一种性能非常高的天线，美国军方对此表现出极大的兴趣。

以前人们一直认为一维光子晶体不能作为全方位反射镜，因为随着入射光偏离正入射，总有光会透射出来。

但最近MIT 研究人员的理论和实验表明，选择适当的介电材料，即使是一维光子
晶体也可以作为全方位反射镜，引起了很大的轰动。

光子晶体波导：传统的介质波导可以支持直线传播电磁波，但是在波导的直角拐角处会损失掉近50%的能量，而用电磁带隙结构做成的波导不仅能够支持直线传播，而且在拐角处也有很高的效率，这对于微波，光学器件的集成有着重大的意义。

如图1.4所示，PPC缺陷结构的构成的波导能有效的传输带隙内的电磁波。

(a)电磁带隙缺陷结构波导结构(b) 正旋电磁波在缺陷波导中的传播
图1.3 EBG缺陷结构构成的直角波导
光子晶体微腔[25]：在光子晶体中引入缺陷可能在光子带隙中出现缺陷态，这种缺陷态具有很大的态密度和品质因子。

这种由光子晶体制成的微腔要比传统微腔优异得多。

最近MIT研究人员制成了位于红外波段的微腔，具有很高的品质因子。

这种光子晶体微腔可以用来制作激光器，体积可以非常小。

光子晶体光纤[26]：在传统的光纤中，光在中心的氧化硅核传播。

通常，为了提高其折射系数采取掺杂的办法以增加传输效率，但不同的掺杂物只能对一种频率的光有效。

英国Bath大学的研究人员用二维光子晶体成功研制成新型光纤：由几百个传统的氧化硅棒和氧化硅毛细管依次绑在一起组成六角阵列，然后在2000 度下烧结而形成。

直径约40微米、蜂窝结构的亚微米空气孔就形成了。

为了导光，在光纤中人为引入额外空气孔，这种额外的空气孔就是导光通道。

与传统的光纤完全不同，在这里传播光是在空气孔中而非氧化硅中，可导波的范围很大。

光子晶体超棱镜：常规的棱镜对波长相近的光几乎不能分开，但用光子晶体做
成的超棱镜的分开能力比常规的要强100到1000倍，而体积只有常规的百分之一大小。

如对波长为011微米和019微米的两束光，常规的棱镜几乎不能将它们分开，但采用光子晶体超棱镜后可以将它们分开到60度。

这对光通讯中的信息处理有重要的意义。

光子晶体偏振器：常规的偏振器只对很小的频率范围或某一入射角度范围有效，体积也比较大，不容易实现光学集成。

最近，我们发现可以用二维光子晶体来制作偏振器。

这种光子晶体偏振器具有传统的偏振器所没有的优点：可以在很大的频率范围工作，体积很小，很容易在硅片上集成或直接在硅基上制成。

光子晶体还有其它许多应用背景，如无阈值激光器、光开关、光放大、滤波器等新型器件，光子晶体带来许多新的物理现象。

随着对这些新现象了解的深入和光子晶体制作技术的改进，光子晶体更多的用途将会被发现。

光子晶体在国防科技上也有非常重要的应用前景。

如光子晶体天线:用光子晶体作为平面天线的基底，天线的发射效率将有极大的改善。

光子延迟线:用光子晶体制作的光子延迟线，可以将光的传播速度减小，对于信号处理有重要意义。

假目标：可以用光子晶体制作假目标，由于在光子禁带范围的电磁波有特别大的反射率，可以起到诱惑敌人的目的。

隐身：如在红外波段，用光子晶体材料覆盖所要隐身之物，由于光子禁带范围的电磁波不能发射出来而达到隐身的目的。

光子晶体现在已进入器件设计和应用时期，大量的高性能新型器件被研制出来，有的已进入实用阶段。

预计在不太远的将来，更多的光子晶体器件也将进入实用阶段，并将产生重要的产业价值。

1.4 等离子体光子晶体
等离子体光子晶体Plasma Photonic Crystals(PPC)是等离子体和介质或真空构成的周期性结构。

最近由Hojo等人提出[27]，并在随后的研究中用解析法给出了电磁波在一维等离子体光子晶体[28]中的色散关系[29]。

众所周知，等离子体具有色散特性和耗散特性. 一方面，等离子体是一种色散介质，其折射率可以小于1 甚至可以为负值，而且与电磁波的频率密切相关。

对入射电磁波而言，等离子体本身就存在阻带和通带。

另一方面，等离子体也是一种耗散介质，当频率高于等离子体频率的电磁波入射到等离子体内部时，由于等离子体的碰撞，入射电磁波的能量会被吸收，电磁波的能量转化为等离子体的内能。

等离子体的色散和耗散特性将使得等离子体光子晶体具有常规的介质光子晶体所不具有的性质。

并可通过改变等离子体的参数来人为控制等离子体光子晶体的性质和
参数，这在工程应用方面具有重要的实际意义。

1.5 光子晶体的研究方法
早期研究光子晶体的能带时，采用的是标量波动方程，发现具有面心立方结构的光子晶体具有光子禁带。

但是光波是矢量波，满足的是麦克斯韦方程组. 解麦克斯韦方程组得到的结论是：面心立方结构的光子晶体没有光子禁带。

这些年来，光子晶体的理论研究也取得了令人瞩目的进展。

下面列举几种用得比较广泛的基本计算方法。

1.5.1 平面波方法[30]
这是在光子晶体能带研究中用得比较早和用得最多的一种方法。

主要是将电磁场以平面波的形式展开，何启明等人在预言光子禁带的存在的文章中便是用的这种方法。

电磁场在倒矢空间以平面波叠加的形式展开，可以将麦克斯韦方程组化成一个本征方程，求解本征值便得到传播的光子的本征频率。

但是，这种方法有明显的缺点：计算量与平面波的波数有很大关系，几乎正比于所用波数的立方，因此会受到较严格的约束，对某些情况显得无能为力。

如当光子晶体结构复杂或处理有缺陷的体系时，需要大量平面波，可能因为计算能力的限制而不能计算或者难以准确计算。

如果介电常数不是恒值而是随频率变化，就没有一个确定的本征方程形式，而且有可能在展开中出现发散，导致根本无法求解。

1.5.2 转移矩阵方法[31]
由磁场在实空间格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成转移矩阵形式，同样变成本征值求解问题。

转移矩阵表示一层(面) 格点的场强与紧邻的另一层(面) 格点场强的关系，它假设在构成的空间中在同一个格点层(面) 上有相同的态和相同的频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到整个晶体空间。

这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效，由于转移矩阵小，矩阵元数量少，计算量较前者大大降低，只与实空间格点数的平方成正比，精确度也非常好。

而且还可以计算反射系数及透射系数。