2017-2018学年高中数学人教B版必修2学业分层测评：章

章末综合测评(二) 平面解析几何初步
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在直角坐标系中，直线3x －y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
【解析】 直线的斜率k ＝3，倾斜角为60°. 【答案】 B
2．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，m 三点共线，则m 的值为( )
【导学号：45722126】
A.1
2 B ．－12 C ．－2 D ．2
【解析】 由
－2－33－(－2)＝m ＋21
2
－3，得m ＝1
2.
【答案】 A
3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )
【解析】 当a >0时，A ，B ，C ，D 均不成立；当a <0时，只有C 成立． 【答案】 C
4．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( ) A.213 B.113 C.126
D.526
【解析】 5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.
由平行线间的距离公式可得d＝|6－5|
102＋242
＝
1
26.
【答案】 C
5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
【解析】由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝
1
a2＋b2
＜1，故直线与圆相交．
【答案】 B
6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
【解析】圆心C(1,0)，k PC＝0－(－1)
1－2
＝－1，
则k AB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0，故选D.
【答案】 D
7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是()
A．(x－2)2＋y2＝1
B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.
【答案】 A
8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()
A．36 B．18
C．6 2 D．5 2
【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到
直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|
2
＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离
与最小距离的差是2R＝6 2.
【答案】 C
9．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()
A．4 B．2
C.8
5 D.
12
5
【解析】P为圆上一点，则有k OP·k l＝－1，而k OP＝
4－1
－2－2
＝－
3
4，
∴k l＝4
3.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为
|20|
42＋(－3)2
＝4.
【答案】 A
10．一个几何体的三视图如图1所示，主视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是()
图1
A．(1,1,1) B．(1,1, 2)
C．(1,1, 3) D．(2,2, 3)
【解析】由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的
顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为3，则第五个顶点
的坐标为(1,1，3)．故选C.
【答案】 C
11．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为()
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
【解析】满足条件的直线l有两种情况：①过线段AB的中点；②与直线AB平行．
由A(1,1)，B(3,5)可知线段AB的中点坐标为(2,3)，
所以直线x＝2满足条件．由题意知k AB＝5－1
3－1
＝2.
所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，
综上可知，直线l的方程为x＝2或2x－y－3＝0，故选C.
【答案】 C
12.已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是()
图2
A．[27，215] B．[27，8]
C．[23，215] D．[23，8]
【解析】S
△OAB ＝
1
2|AB|·2＝|AB|，
设C到AB的距离为d，
则|AB|＝242－d2，又d∈[1,3]，7≤42－d2≤15，
所以S
△OAB
＝|AB|∈[27，215]．
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________.
【解析】 令x ＝0，得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，∴a ＝8
3. 【答案】 8
3
14．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________.
【导学号：45722127】
【解析】 由方程组⎩⎨⎧
3x ＋4y －2＝0，
2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2,2)，因为所求直线垂直
于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－2
3，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－2
3(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.
【答案】 2x ＋3y －2＝0
15．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．
【解析】 ∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－1
2.
由点斜式可得切线方程为y －2＝－1
2(x －1)，
即x ＋2y －5＝0. 【答案】 x ＋2y －5＝0
16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2
x ＋1
的取值范围是
________．
【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则
y ＋2
x ＋1
表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝3
4.
又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
34，3.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
34，3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程．
【解】 法一 ∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，
∴⎩⎨⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2
，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎨⎧
b ＝1，r 2＝10.
所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二 线段AB 的中点为(1,3)， k AB ＝
2－43－(－1)
＝－1
2，
∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.
由⎩⎨⎧
y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.
18．(本小题满分12分)如图3所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线
上．求：
图3
(1)AD边所在直线的方程；
(2)DC边所在直线的方程．
【解】(1)由题意知ABCD为矩形，则AB⊥AD，又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0，
∴AD边所在的直线的斜率k AD＝－3，
而点T(－1,1)在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0.
(2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点，
∴点M到直线AB和直线DC的距离相等．
又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为
x－3y＋m＝0(m≠－6)．
而M到直线AB的距离d＝4
10
＝
2
510.
∴M到直线DC的距离为2 510，
即|2＋m|
10
＝
2
510⇒m＝2或－6，
又m≠－6，∴m＝2，
∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
19．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上高线CE 所在直线的方程为x－3y－1＝0，BC边上中线AD所在的直线方程为8x＋9y－3＝0.
(1)求点A的坐标；
(2)求直线AC的方程．
【解】(1)设点A(x，y)，
则⎩⎨⎧
8x ＋9y －3＝0，y ＋3x ＋1·
1
3＝－1，
解得⎩
⎨⎧
x ＝－3，
y ＝3.
故点A 的坐标为(－3,3)． (2)设点C (m ，n )， 则⎩
⎪⎨⎪
⎧
m －3n －1＝0，8·m －12＋9·n －3
2－3＝0，
解得m ＝4，n ＝1，故C (4,1)， 又因为A (－3,3)，
所以直线AC 的方程为y －13－1＝x －4－3－4，
即2x ＋7y －15＝0.
20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝1
2|BC |＝|MB |. ∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，
∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，
即x 2＋(y －1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．
21．(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．
图4
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；
(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长.
【导学号：45722128】【解】(1)AC的中点E(0,2)即为圆心，
半径r＝1
2|AC|＝
1
24
2＋(－2)2＝5，
所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.
(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)
2－(－2)
＝
3
4，
其方程为y－1＝3
4(x－2)，即3x－4y－2＝0.
点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|
5＝2，所以BC截圆E所得的弦长为
25－22＝2.
22. (本小题满分12分)如图5，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)．
图5
(1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；
(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的1 4，
求直线m的方程．
【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0，
化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.
所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)，
又圆N的圆心在直线y＝x上，
所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2，
解得a＝3，
所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝32，
故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的1
4，所以CP⊥CQ.
所以点C到直线m的距离为5.
当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0.
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，
即kx－y＋6＝0.
所以|－5k＋5＋6|
1＋k2
＝5，解得k＝
48
55.
所以此时直线m的方程为48
55x－y＋6＝0，
即48x－55y＋330＝0，
故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。