高中总复习二轮理科数学精品课件 第一部分 三、数形结合思想

<2
解析: ∵ 2
∴方程x2+ax+2b=0一根在区间[0,1)内,另一根在区间(1,2]内,即函数
f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴在[0,1)和(1,2]内各有一个交点.
(0) ≥ 0,
≥ 0,
∴ (1) < 0, 即 + 2 + 1 < 0,作出可行域,如图中阴影部分所示,
3.实现数形结合的渠道
(1)实数与数轴上点的对应;(2)函数与图象的对应;(3)曲线与方程的对应;(4)
以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应,如复数、三角、
空间点的坐标等.
高频考点•探究突破
命题热点一 利用数形结合求函数零点的个数
【思考】 如何利用函数的图象解决函数零点的个数问题?
当a+1>0,即a>-1时,令y'>0,得x∈(a+1,+∞),函数y=f(x)-ax-b单调递增,令
y'<0,得x∈(0,a+1),函数y=f(x)-ax-b单调递减;函数y=f(x)-ax-b最多有2个零
点.
根据题意,函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点⇔函数y=f(x)-ax-b在区间(-∞,0)上有
函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标,所以用数形结合的思想讨论方程(特
别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数,其基本步
骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要
作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的
图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
, < 0,
对点训练1已知a,b∈R,函数f(x)= 1 3 - 1 ( + 1) 2 + , ≥ 0, 若函数
3
2
y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则( C )
A.a<-1,b<0
B.a<-1,b>0
C.a>-1,b<0
D.a>-1,b>0
解析: 当x<0时,函数y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b,最多有一个零点;
量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解
答.
(2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的
对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高点、最低点的纵坐标.
对点训练 2(2022 广西浦北中学高三检测)已知 f'(x)是函数 f(x)的导函数,且对
1
任意的实数 x 都有 f'(x)=e -f(x)(e 是自然对数的底数),f(0)=0,若不等式 f(x)-k>0
的解集中恰有三个整数,则实数 k 的取值范围是( D )
A.
3 2
,
e3 e2
C.
4 3
,
e4 e3
B.
3 2
,
e3 e2
D.
4 3
,
e4 e3
解析: 因为
1
f'(x)= -f(x),
e
所以[f(x)+f'(x)]ex=1,即[exf(x)]'=1,
设g(x)=exf(x)=x+c(c为常数),令x=0,可得c=0,
2.数形结合思想在解题中的应用
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根的范围、
研究量与量之间的大小关系.
(2)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.
(3)构建立体几何模型研究代数问题.
(4)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(5)构建方程模型,求根的个数.
所以 e

f(x)=x,f(x)=e ,则
x
1-
f'(x)= e ,
令 f'(x)>0,可得 f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,令 f'(x)<0,可得 f(x)在区间(1,+∞)
上单调递减,所以 f(x)在 x=1 处取得极大值
如图所示:1ຫໍສະໝຸດ f(1)=e ,作函数
f(x)=e 的大致图象
“数”写出完整的解答过程.
【思想方法诠释】
1.数形结合思想的含义
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来
解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把抽象问题具体化,
这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题;(2)“以数解形”,把直观图
形数量化,使形更加精确,这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题.
m≤
7
,故
3
7
m∈(-∞,3].
题后反思在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,因此往往需要讨论,导
致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方
法,问题将会简练地得到解决.
(1)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当
的两个(或多个)函数,利用两个(或多个)函数图象的上、下位置关系转化数
4
-1
4
.
题后反思1.首先画出满足条件的图形区域,然后根据目标函数的特点(或所
求量的几何意义),转化为求距离或直线的斜率、截距等.
2.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合
的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:
-
(1)- ⇔点(a,b),(m,n)连线的斜率;
(2) (-)2 + (-)2 ⇔点(a,b),(m,n)之间的距离.
|log 2 + 1|, > 0,
对点训练3已知函数f(x)= - 2 -2 + 1, ≤ 0, 若存在互不相等的实数a,b,c,d,
3 1
- ,
4 8
使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则a+b+c+d的取值范围是
函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即函数f(x)与h(x)=|kx2-2x|的图象
有4个交点,其中点(0,0)为一个交点,
当x>0时,由x3=|kx2-2x|可得x2=|kx-2|,
当x<0时,由-x=|kx2-2x|可得1=|kx-2|,
2 , > 0,
令 φ(x)=
象的哪些特征联系密切?
例 2 设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x+1)=2f(x),且当 x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).
若对任意 x∈(-∞,m],都有
8
f(x)≥-9,则
9
A.(-∞, ]
4
7
B.(-∞, ]
3
5
C.(-∞,2]
8
D.(-∞,3]
m 的取值范围是( B )
解析: ∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).
π
||
点,且满足∠AFB=3 .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的射影为 N,则 || 的最大值是
( D )
1
A.6
3
B.2
2
C.3
D.1
解析: 设A,B在l上的射影分别为Q,P,则点N为PQ的中点.
设|AF|=a,|BF|=b,连接AQ,BP,画出草图如图所示.由抛物
线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
2
,所以(a+b)
-3ab≥(a+b)
(a+b)
=
(a+b)
,所以|AB|≥
(a+b).
2
4
4
2
≤
2
+
+
||
· 2 =1,即 || 的最大值为
1.
题后反思在解析几何中的一些范围及最值问题中,常根据图形的性质结合
几何概念进行相互转换,使问题得到简便快捷的解决.
对点训练4(2022广西南宁二中高三检测)已知双曲线C:
第一部分
三、数形结合思想
内
容
索
引
01
思想方法•聚焦诠释
02
高频考点•探究突破
03
预测演练•巩固提升
思想方法•聚焦诠释
【高考命题聚焦】
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,
数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而
在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终还是要用
又因为
2
3
4
f(0)=0,f(2)=e 2 ,f(3)=e 3 ,f(4)=e 4 ,
而不等式 f(x)-k>0 的解集中恰有三个整数,等价于不等式 f(x)>k 的解集中恰有
4
三个整数,由图象知,当 4
e
3
≤k< 3 时,不等式 f(x)>k 的解集中恰有三个整数 1,2,3,
e
所以实数 k 的取值范围是
2 2
− 2
2


=1
(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,M为双曲线C的一条渐近线上一点,延
长FM交y轴于点N,直线AM经过ON(其中O为坐标原点)的中点B,且
g'(m)=[2m-1-2-(1+m)]ln 2>0,
所以函数g(m)在区间[1,2)上单调递增,
所以 g(m)∈
5 17
,
4 8
,所以 a+b+c+d=-2+g(m)∈
3 1
- ,
4 8
.
命题热点四 数形结合在解析几何中的应用
【思考】 数形结合思想在解析几何中有哪些方面的应用?
例4已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动
当 x≥0
1 3 1
1 3 1
2
时,y=f(x)-ax-b= x - (a+1)x +ax-ax-b= x - (a+1)x2-b,
3
2
3
2
y'=x2-(a+1)x,当a+1≤0,即a≤-1时,y'≥0,y=f(x)-ax-b在区间[0,+∞)上单调递
增,函数y=f(x)-ax-b最多有一个零点,不合题意;
3 , ≥ 0,
例 1 已知函数 f(x)=
若函数 g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有 4 个零点,
-, < 0.
则 k 的取值范围是( D )
A.
1
-∞,2
∪(2 2,+∞)
B.
1
-∞,2
∪(0,2 2)
C.(-∞,0)∪(0,2 2)
D.(-∞,0)∪(2 2,+∞)
解析: 由题意可知x=0为g(x)的一个零点.
4 3
,
e4 e3
.
命题热点三 利用数形结合求最值、值域(范围)
【思考】 如何利用图形求目标函数的最值或值域?
例 3 已知关于 x 的不等式2
是
1
,1
4
2 +2
<2 有唯一整数解
-ax
-2
x=1,则 的取值范围
-1
.
2 +2
-ax,∴x2+ax+2b<0,依题意x2+ax+2b<0只有唯一的整数解x=1,
∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),
∴f(x)的图象如图所示.
∵当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),
∴令
8
4(x-2)(x-3)=-9,
整理得 9x2-45x+56=0,
即(3x-7)(3x-8)=0,解得
当
7
8
x1= ,x2= .
3
3
8
x∈(-∞,m]时,f(x)≥-9恒成立,即
.
解析: 作出函数f(x)的图象如图所示.
设f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m,依题意,1≤m<2,不妨设a<b≤0<c<d,由图象可
知,a+b=-2,-log2c-1=m,log2d+1=m,所以c=2-(1+m),d=2m-1,
令g(m)=c+d=2-(1+m)+2m-1,1≤m<2,则当m∈[1,2)时,
+ + 2 ≥ 0,
(2) ≥ 0
-2
∵ 为可行域内的点(a,b)与定点
-1
P(1,2)的连线的斜率,
-2
由图可知,kPA< <kPB(kPA,kPB 分别为直线
-1
PA,PB 的斜率),其中点
1
-2
1
A(-3,1),B(-1,0),∴kPA= ,kPB=1,故 的取值范围是 ,1
在梯形ABPQ中,由点M,N分别为线段AB,PQ的中点,得
2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b,
+
所以|MN|= 2 .
在△ABF 中,由余弦定理得,|AB| =a +b
2
又 ab≤
||
所以 ||
2
π
-2abcos =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
3
2
+ 2
1
2
2 3
2 1
一个零点,在区间[0,+∞)上有2个零点,如下图:

所以1- <0
则
且
- > 0,
1
(
3
+
3 1
1) - 2 (
2
+ 1)( + 1) - < 0,
1
b<0,1-a>0,b>-6(a+1)3.所以
b<0,a>-1.
命题热点二 利用数形结合求参数范围及解不等式
【思考】 如何利用函数图象解决不等式问题?函数的哪些性质与函数图
令φ(x)=μ(x),则x2-kx+2=0,
因为两函数图象有2个交点,所以Δ>0,即k2-8>0,
解得 k>2 2或 k<-2 2,所以 k>2 2.
综上,当 k<0 或 k>2 2时,函数 g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有 4 个零点.
图1
图2
题后反思因为方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,方程f(x)=g(x)的根就是
(x)=|kx-2|,即函数 φ(x)与 μ(x)的图象有 3 个交点.
1, < 0,
若 k<0,如图 1 所示,函数 φ(x)与 μ(x)的图象有 3 个交点,所以 k<0 符合题意.
若 k>0,如图 2 所示,需当
当
2
x> 时,函数

2
x> 时,φ(x)=x2,μ(x)=kx-2,
φ(x)与 μ(x)的图象有 2 个交点.