3.1.1《方程的根与函数的零点》教案(新人教版必修1)

方程的根与函数的零点
一、教课目的：
1.让学生娴熟掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数
2.让学生认识函数的零点与方程根的联系
3.让学生认识到函数的图象及基天性质（特别是单一性）在确立函数零点中的作用
4．培育学生着手操作的能力
二、教课要点、难点
要点零点的观点及存在性的判断．难点零点确实定．
三、学法与教课器具
学法：学生在老师的指引下，经过阅读教材，自主学习、思虑、沟通、议论和归纳，进而达
成本节课的教课目的。

教课器具：投影仪。

教课过程：
( 一 ) 创建情形，揭露课题
1、提出问题：一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0) 的根与二次函数y=ax2+bx+c( a≠ 0) 的图象有什么关系？
2．先来察看几个详细的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）
①方程 x 22x30 与函数 y x22x3
②方程 x 22x10 与函数 y x2 2 x1
③方程 x 22x30 与函数 y x22x3
1．师：指引学生解方程，画函数图象，剖析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系．
要修业生：独立思虑达成解答，察看、思虑、总结、归纳得出结论，并进行沟通．
师：上述结论推行到一般的一元二次方程和二次函数又如何？
( 二 )互动沟通商讨新知
经过上述问题引出函数零点的观点：
定义：关于函数y f (x) ，我们把使 f ( x) 0 的实数x叫做函数 y f ( x) 的零点（zero
point ） .
指出函数零点的意义：
函数 y f (x) 的零点就是方程 f (x) 0 实数根，亦即函数 y f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标．即：
方程 f (x) 0 有实数根函数y f (x) 的图象与 x 轴有交点函数y f (x) 有零点．
想想，如何求函数的零点呢？
师：指引学生仔细理解函数零点的意义，并依据函数零点的意义研究其求法：
①代数法；求方程 f (x)0 的实数根；
②几何法．将它与函数y f ( x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

下边我们来研究研究二次函数的零点状况：
1、用代数法研究
结论：二次函数y ax2bx c(a 0) ．
（１）△＞０，方程ax 2bx c 0
有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，
二次函数有两个零点．
（２）△＝０，方程ax 2bx c0 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（３）△＜０，方程ax 2bx c0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
2、数形联合法研究
（Ⅰ） ( 以二次函数 f ( x)x 22x 3
为例 ) 察看二次函数 f (x)x 22x 3 的图象：
①在区间[2,1] 上有零点______； f ( 2) _______， f (1)_______,
f ( 2)· f (1)_____0（＜或＞＝）．
②在区间 [2,4] 上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）察看下边函数y f ( x) 的图象
①在区间 [a,b]
②在区间 [b,c]
③在区间 [c, d ]上______( 有/ 无) 零点； f (a)·f (b)_____0（＜或＞＝）．上______( 有 / 无 ) 零点；f (b)·f (c) _____0（＜或＞＝）．上 ______( 有 / 无 ) 零点；f (c)·f (d ) _____0（＜或＞＝）．
思虑：由以上两步研究，你能够得出什么样的结论？
定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不停的一条曲线，而且有f(a).f(b)<0,
那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在 c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是
方程 f(x)=0的根.
想想：如何利用函数零点存在性定理，判定函数在某给定区间上能否存在零点？
师：指引学生理解函数零点存在定理，剖析此中各条件的作用．
（三）稳固深入，发展思想
学生在教师指导下达成以下例题
例 1 求函数 f(x)= ㏑ x＋ 2x － 6 的零点个数。

剖析：求函数的零点个数其实是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：（ 1）利用计算器或计算机作x, f ( x) 的对应值表；
（ 2）作出函数y f ( x) 的图象；
（ 3）确立y f (x) 的单一性；
（）若在区间 [a, b] 上连续，而且有
f (a) f (b) 0，那么函数 y f ( x) 在区间 (a,b) 内
4
有一个实数根；
（ 5）联合单一性确立其定义域内零点个数，即实数根个数。

结共计算机利用几何画板作出函数的图象察看。

要修业生阅读理解P88 的解答过程。

例 2．函数f (x)ln x 2
）的零点所在的大概区间是（
x
C．(1,
1
)和（ 3， 4）
A．（ 1， 2）B．（ 2，3）D．(e,)
e
剖析：从已知的区间(a,b) ，求 f ( a) 和 f (b) ，判断能否有 f (a) f (b)0。

解：由于 f (1)20, f (2) ln 2 10 ，故在（1，2）内没有零点，非A。

2
又 f (3) ln 3 0 ，因此 f (2) f (3) 0，因此 f ( x) 在（2，3）内有一个零点，选B。

3例 3．若方程2ax2x 1 0 在（0，1）内恰有一解，务实数 a 的取值范围。

剖析：令 f (x) 2ax2x 1 ，由于方程2ax2x 10 在（0，1）内恰有一解，则
f (0) f (1) 0，解出a。

解：令 f ( x)2ax2x1 ，由于方程在（0 ， 1）内恰有一解，因此 f (0)f (1)0 ，即
1 (
2 a 2)0 ，解得a1。

例 4．二次函数y ax 2bx c(a0) 中， a c 0 ，则函数的零点个数是（）A．1 个B．2 个C．0 个D．没法确立剖析：剖析条件a c0， a 是二次项系数，确立抛物线的张口方向，c f (0)，因此
a c a f (0)0 ，由此得解。

解：由于 c f (0)，因此，即 a 与f (0)
a0a0异号，即
或
f (0) f (0)
因此函数必有两个零点，应选B。

（四）、归纳整理，整体认识
零点观点；零点、与x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理（五）、部署作业
作业： P92, 2 题； P93： 3 题。