【全国校级联考word】河南省天一大联考2017届高三上学期阶段性测试(三)(12月)数学(文)

数学（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2
|230A x x x =+-<，{}|03B x x =<<，则A B = （ ）
A ．()0,1
B ．()0,3
C ．()1,1-
D ．()1,3-
2.定义：
()0a b c d
ad
bc bc
=
≠.已知复数10171000
32i i i i z -=，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.在长方形ABCD 中，,E F 分别是AB 边上靠近,A B 的四等分点，G 是CD 的中点，若4AB =，
3AD =，则EG FG =
（ ）
A ．23-
B ．23
C ．-2
D ．2
4.已知()3
sin 5f x ax b x =++，若()39f =，则()3f -=（ ）
A ．0
B ．1 C. 9 D ．-9
5.已知正六边形ABCDEF 中，,,P Q R 分别是边,,AB EF CD 的中点，则向正六边形ABC DEF -内投掷一点，该点落在PQR ∆内的概率为（ ）
A ．
13 B ．38 C.23 D ．34
6.已知,2πβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，1cos 3β=-，则tan 2β=（ ）
A ．2
B ．3 C.2 D ．3-
7.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S 的值为（ ） （参考数据：sin150.2588︒=，sin 7.50.1305︒=）
A ．2.598
B ．3.106 C.3.132 D ．3.142
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．()
22196π++ B ．()22296π++ C. (
)2296π++ D ．()
2196π++
9.已知函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，其中,43A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，13,012B π⎛⎫
⎪⎝⎭
，点A 是最高点，则下列说法错误．．
的是（ ）
A.6
π
ϕ=-
B ．若点B 的横坐标为23
π
，则其纵坐标为-2 C.函数()f x 在1023,36ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移
12
π
个单位得到函数的4sin 2y x =图象 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是12,n n S S ++的等差中项，且13a =，43S =-，则8S 的值为（ ） A ．129 B ．-129 C.83 D ．-83 11.已知函数()2
2x
x f x -=-，函数()g x 为偶函数，且0x ≤时，()()g x f x =-，现有如下命题：
①(),m n R m n ∃∈≠，()()f m f n =；
②(),m n R m n ∃∈<，()()()()f m g m f n g n ->--.
A ．①真②假
B ．①假②真 C.①、②都假 D ．①、②都真 12.已知函数()3
2
69f x x x x =-+，()()32111
1323
a g x x x ax a +=
-+->，若对任意的[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．[)9,+∞ C.[)91,9,4⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ D ．[)39,9,24
⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数,x y 满足250,0,26,x y x y x y --≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则3z x y =+的最大值为 ．
14.已知抛物线()2:20C y px p =>上的第四象限的点()02,M y 到焦点F 的距离为0y ，则点M 到直线
10x y --=的距离为 ．
15.已知圆C （圆心C 在第一象限）过点()1,0，()7,0，直线1y x =-截圆C 的弦长为42，则圆C 的标准方程为 ．
16.如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan APO ∠
2
2
=
，则四面体P ABC -的外接球的体积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差为d ，若11a =，且12a ，31a -，41a +，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若0d >，数列{}n b 的通项公式为()22n n n b a n =++ ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）
如图所示，在ADE ∆中，,B C 分别是,AD AE 上的点，若3
A π
=
，4AB =，16AC =
.
（Ⅰ）求sin ABC ∠的值；
（Ⅱ）记ABC ∆的面积为1S ，四边形BCED 的面积为2S ，若
1216
33
S S =，求BD CE
的最大值.
19.（本小题满分12分）
为了了解“喝茶”对“患癌症”是否有影响，现对300名不同地区的居民进行身体状况的调查，得到如图所示的列联表：
（Ⅰ）完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“喝茶”对“患癌症”有影响；
（Ⅱ）在上述患癌症的人群中按照喝茶情况进行分层抽样，抽取8人进行基本情况登记，再从中随机选取2人进行深入调查，求至少有1人每日喝茶超过60mL 的概率.
（()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
20.（本小题满分12分）
已知三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 是直角三角形，四边形11A ACC 和四边形11A ABB 均为正方
形，,,D E F 分别是111,,A B C C BC 的中点，
1AB =.
（Ⅰ）证明：DF ABE ⊥平面； （Ⅱ）求三棱锥1A ABE -的体积. 21.（本小题满分12分）
如图，O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32
，以椭圆C 的长轴长、短轴长分别
为两邻边长的矩形的面积为8.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若P Q 、是椭圆C 上的两个动点，且1
4
OP OQ k k =- ，试问：OPQ S ∆是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 22.（本小题满分12分） 已知函数()2ln 2f x x x x =-+.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）若关于x 的方程()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.
试卷答案
一、选择题 1.【答案】A
【命题意图】本题考查不等式的解法、集合的基本运算，着重考查学生的基本运算能力以及逻辑推理能力.
【解析】依题意，{}
{}2
|230|31A x x x x x =+-<=-<<，{}|03B x x =<<，故{}|0
1A B x x =<< ，
故选A . 2.【答案】A
【命题意图】本题考查复数的除法运算、复数的几何意义，着重考查学生的基本运算能力. 【解析】依题意，()10171000
20172016321323232321313
i i
i i i i z i i i i i -=
====+---，故在复平面内，复数z 所对应的点为32,1313⎛⎫
⎪⎝⎭
，位于第一象限，故选A . 3.【答案】D
【命题意图】本题考查平面向量的数量积，着重考查学生的数形结合能力.
【解析】结合图形可知2EG FG EF ===，故1
c o s 2222
E G
F
G E G F G E G F
=∠=⨯⨯=
，故选D .
4.【答案】B
【命题意图】本题考查函数的性质，考查应用意识.
【解析】因为()3sin 5f x ax b x =++，所以()327sin359f a b =++=，所以27sin 34a b +=，所以
()327sin35451f a b -=--+=-+=.
5.【答案】B
【命题意图】本题考查几何概型，考查应用意识以及运算求解能力. 【解析】依题意，设正六边形的边长为1，则PQR ∆是边长为
32的正三角形，可得PQR ∆的面积34S =
2
393
216⎛⎫⨯=
⎪⎝⎭
，正六边形ABCDEF 的面积23336142S =⨯⨯=′，故所求概率93
3168332
P ==，故选B . 6.【答案】A
【命题意图】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系，着重考查学生的运算求解能力.
【解析】依题意，222
2
2
2
2
2
cos sin 1tan 2
22cos cos
sin 2
2
cos sin 1tan 2
2
2
βββ
β
β
ββ
β
β--=-==++，且1cos 3
β=-，所以
2
21tan 1231tan
2β
β-=-+，解得2tan 22β=.因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而tan 02β>，所以
tan 22
β
=，故选A .
7.【答案】C
【命题意图】本题考查法循环结构，考查数学文化、阅读理解、数形结合能力. 【解析】模拟执行程序，可得6n =，33
3sin 602
S =︒=
，不满足条件24n >；
12n =，6sin 303S =⨯︒=，不满足条件24n >；24n =，12sin15120.258 3.1056S =⨯︒=⨯=，不满足条件24n >；48n =，S =
24sin 7.5240.1305 3.132⨯︒=⨯=，满足条件24n >，退出循环，输出S 的值为3.132，故答案为C .
8.【答案】D
【命题意图】本题考查三视图、柱体、椎体的表面积公式，着重考查学生的运算求解能力以及空间想象能力.
【解析】依题意，该几何体由一个正方体、一个圆柱和一个圆锥组成，其表面积()()1
2222S ππ=
⨯⨯+
(
)
2144612196ππ⨯+⨯⨯-⨯=
++，故选D .
9.【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，着重考查运算求解能力以及数形结合思想. 【解析】依题意，4M =，3
1334
1234T πππ=
-=，故T π=，22T πω==，将,43A π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入()f x =
()4sin x x ϕ+中，因为2
π
ϕ<
，故6
π
ϕ=-
，故A 正确；此时()4sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则23
f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
414sin 42362ππ⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；函数()f x 在1023,3
6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；因为
4sin 24sin 2126x x ππ⎡⎤
⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，故D 正确.综上所述，故选C .
10.【答案】D
【命题意图】本题考查等比数列的定义、求和公式、等差中项，着重考查化归与转化思想以及基本运算能力.
【解析】依题意，122n n n S S S +++=，即()()120n n n n S S S S ++-+-=，故2120n n a a +++=，即212n n a a ++=-，
故该数列从第二项起成等比数列.由13a =，43S =-，可解得22a =-，故832481632
S =-+-+-
6412883+-=-，故选D .
11.【答案】B
【命题意图】本题考查函数的性质，着重考查化归与转化思想.
【解析】依题意，函数()22x x f x -=-为奇函数，且在R 上为减函数，故(),m n R m n ∀∈≠，()f m ≠
()f n ，故①错误；依题意()22,0,
22,0,
x x x x
x g x x --⎧->=⎨-≤⎩，当0m n <≤时，()()()()f m g m f n g n ->-，即()()()()f m g m f n g n ->--，故②正确，综上所述，故选B .
12.【答案】C
【命题意图】本题考查导数的应用和三次函数的值域，着重考查分类讨论思想以及应用意识.
【解析】记()f x 在[]0,4上的值域为A ，()g x 在[]0,4上的值域为B .[]10,4x ∀∈ ，[]20,4x ∃∈，使得()()12f x g x =，A B ⊆∴.()()()=313f x x x --′，令()0f x >′，得1x <或3x >，令()0f x <′，得13x <<，易求得()00f =，()14f =，()30f =，()44f =，[]0,4A =∴.()311
32a g x x +=
-
()21
13
x ax a +-
>，()()()()211g x x a x a x x a =-++=--∴′，当14a <<时，()g x 在[]0,1上单调递增，在[]1,a 上单调递减，在[],4a 上单调递增，()g x ∴的最小值为()0g 或()g a ，()g x 的最大值为()
1g 或()4g .()1003g =-< ，且A B ⊆，()14g ≥∴或()44g ≥，()11
1422
g a =-≥∴或()44g a
=- 134+≥，即9a ≥或94a ≤.又14a << ，9
14
a <≤∴.当4a ≥∴时，()g x 在[]0,1上单调递增，在[]
1,4上单调递减，故()g x 的最小值为()0g 或()4g ，()g x 的最大值为()1g ，()1
003
g =-< ，且A B ⊆，
()14g ≥∴，11422a -≥∴，即9a ≥.综上所述，9
14
a <≤或9a ≥.故选C .
二、填空题 13.【答案】11
【命题意图】本题考查线性规则，着重考虑应用意识及数形结合思想.
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，观察可知，当直线3z x y =+过点B 时，
z 有最大值.联立26,250,x y x y +=⎧⎨
--=⎩解得16,5
7,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故3z x y =+的最大值为16731155⨯+=
.
14. 【答案】
52
2
【命题意图】本题考查抛物线的定义与方程、点到直线的距离公式，着重考查运算求解能力.
【解析】依题意，2
0004,2,20,
y p p y y ⎧=⎪
⎪
+=⎨⎪<⎪⎩解得4p =，04y =-，()2,4M -到直线10x y --=的距离为
22
24152
2
11+-=
+. 15.【答案】 ()()2
2
4110x y -+-=
【命题意图】本题考查圆的方程、弦长公式，着重考查运算求解能力和数形结合思想.
【解析】依题意，可设圆心C 的坐标为()()4,0m m >，圆的方程为()()2
2
2
4x y m R -+-=，故圆心C 到
直线1y x =-的距离为
32m
-，故()
2
2
213222m R -⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，将()1,0代入圆的方程可得229m R +=，
联立两式，解得7m =-（舍）或1m =，故2
10R =，故圆C 的标准方程为()()2
2
4110x y -+-=.
16.【答案】86π
【解析】因为2tan 2APO ∠=
，故3sin 3APO ∠=，6cos 3APO ∠=，故433AO =，463
PO =，
易知四面体P ABC -的外接球的球心O ′在线段PO 上，故222
O O AO AO +=′′，故2
463R ⎛⎫-+
⎪ ⎪⎝⎭ 2
2
433R ⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭
，解得6R =，故四面体P ABC -的外接球的体积为86π. 三、解答题
17.【命题意图】本题考查等差数列的基本公式、等比中项、错位相减法，着重考查学生的基本运算能力以及化归与转化思想.
【解析】（Ⅰ）依题意，()()2
143211a a a +=- ，则()()2
21+31121d d +=+-， 解得12d =-
或2.若12d =-，则32
n n
a -=；若2d =，则21n a n =-. （Ⅱ）依题意，()()22312n n n n
b a n n =++=+ ， 故()1234272102312n n T n =+++++ …，
()234+124272102312n n T n =+++++ …，
()1231242323232312n n n n n T T T n +-=-=++++-+ ∴…
()()1231232222312n n n +=+++++-+ …
()()()1122123312322421
n n n n n ++-=+-+=---- ，
()13224n n T n +=-+ ∴.
18.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、基本不等式，着重考查运算求解能力和转化与化归思想.
【解析】（Ⅰ）依题意，2
2
2
2cos BC AB AC AB AC A =+- ，解得413BC =，
由
sin sin AC BC ABC A =∠，解得239
sin 13
ABC ∠=.
（Ⅱ）依题意，11
sin 1632
S AB AC A ==
，因为1216
33
S S =，故2333S =. 设BD x =，CE y =，12493ADE S S S ∆=+=， 又()()1416sin 49323
ADE S x y π
∆=
⨯+⨯+⨯=，故()()416196x y +⨯+=，
故13216416xy x y xy -=+≥，即161320xy xy +-≤， 故
(
)(
)
6
220xy xy -+≤，故6xy ≤，故36xy ≤，
当且仅当3x =，12y =时等号成立，故BD CE
的最大值为36. 19.【命题意图】本题考查独立性检验、古典概型，着重考查数据处理能力和应用意识. 【解析】（Ⅰ）所求列联表如下：
依题意，2
K 的观测值()2
30060180204085.2310.82810020080220
k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯（此处结果写成187510.82822>也对），故有99.9%的把握认为“喝茶”对“患癌症”有影响.
（Ⅱ）由分层抽样知识可知，每日喝茶超过60mL 的应抽2人，记为,A B ，每日喝茶不超过60mL 的应抽
()()()()3,6,4,5,4,6,5,6，共28种.
其中至少有1人每日喝茶超过的情况有()()()()()()()(),,,1,,2,,3,,4,,5,,6,,1,A B A A A A A A B
()()()()(),2,,3,,4,,5,,6B B B B B ，共13种.
故所求概率13
28
P =
. 20.【命题意图】本题考查空间位置关系的判断与证明、空间几何体的体积，着重考查学生的空间想象能力以及化归与转化思想.
【解析】（Ⅰ）取AC 的中点M ，连接1A M FM 、，故//MF AB ，且1
2
MF AB =， 又1//A D AB ，且11
2
A D A
B =
，故1//MF A D 且1MF A D =，故四边形1A DFM 为平行四边形，故1//A M DF 且1A M DF =，
下面证明1A M ABE ⊥平面：
依题意1AB AC AA ==，又ABC ∆是直角三角形，所以AB AC ⊥，又1AB AA ⊥，1AA AC A = ，故
11AB A ACC ⊥平面，故1AB A M ⊥.
因为1ACE A AM ∆≅∆，故1CAE AA M ∠=∠，故190CAE A MA ∠+∠=︒，故1AE A M ⊥. 因为AB AE A = ，故1A M ABE ⊥平面. 因为1//A M DF ，故DF ABE ⊥平面
.
（Ⅱ）依题意易知11AC A ABB ⊥平面，C 到平面11A ABB 的距离为1， 又E 到平面11A ABB 的距离等于C 到平面11A ABB 的距离，
E ∴到平面11A ABB 的距离为1.
11111111326
A ABE E A A
B V V --==⨯⨯⨯⨯=∴.
21.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，着重考查运算求解能力及数形结合.
【解析】（Ⅰ）依题意可知223
,
2228,a b a a b ⎧-⎪=⎨⎪=⎩
解之得224,1,
a b ⎧=⎨=⎩
∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=.
（Ⅱ）设()11,P x y 、()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率不存在时，P Q 、两点关于x 轴对称，不妨设P 在x 轴下方，Q 在x 轴上方，则12OQ OP
k k =-=，可得1112
y x =，结合221114x y +=可得12x =，12
2y =，
从而111x y =，1OPQ S ∆=.
当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，
由方程组22
,14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222
418410k x kmx m +++-=，
则122841km
x x k -+=+，()
2122
4141
m x x k -=+， 从而()()()22222
2
2
12222
4141418114414141k k m m km PQ k
x x k k k k ++---⎛⎫
=+-=+-⨯= ⎪+++⎝⎭
. O 到直线PQ 的距离2
1m d k
=
+，则222
2411
241
OPQ
m k m S PQ d k ∆+-==+，1212OP OQ y y k k x x == ()()()()
22
221212122
12
11
41441kx m kx m k x x km x x m k m x x x x m +++++-===--，则22
412k m +=， 则22
2
241141
OPQ
m k m S k ∆+-==+. 综上可得OPQ S ∆为定值1.
22.【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用，着重考查运算求解能力、数形结合思想和转化与化归思想.
【解析】（Ⅰ）依题意，()2ln 1f x x x =--′，故()11f =′， 又()13f =，故所求切线方程为31y x -=-，即2y x =+. （Ⅱ）()()()2
2ln 22f x k x x x x k x =+⇔-+=+，
分离参数可得2ln 22x x x k x -+=+，故问题转化为关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
上有两个
不相等的实数根.
令()2ln 22x x x h x x -+=+，1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()
22
+32ln 42x x x h x x --=+′. 令()2
+32ln 4p x x x x =--，1
,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
.
则()()()212x x p x x
-+=
′，在1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x ≥′，故()p x 在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增， ()10p = ，∴当1,12x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，有()0p x <，即()0h x >′，()h x ∴单调递减，
当时，有，即，单调递增.
19ln 22105h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，()11h =，注意到()10210ln1010230110612122h h --⎛⎫=>=> ⎪⎝⎭
.
故实数k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
.。