广东省广州市备战2018高三数学文科第一轮复习测试试题

2018广州市高考数学（文科）一轮复习测试题12
本试题卷共8页，六大题22小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．2013
i
的值为（ ）
A ．1
B ．i
C ．-1
D ．i -
【答案】B
【解析】因为201350341i i i ⨯+==，所以选B. 2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）
A ．x ∀∈R ，20x ≤
B ．x ∃∈R ，20x >
C ．x ∃∈R ，2
0x <
D ．x ∃∈R ，2
0x ≤
【答案】D
【解析】全称命题的否定式特称命题，所以原命题的否定为x ∃∈R ，20x ≤，选D.
3． 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】B
【解析】第一次循环，1,112i a ==+=；第二次循环，2,2215i a ==⨯+=；第三次循环，
3,35116i a ==⨯+=；第四次循环，4,416165i a ==⨯+=，此时满足条件50a >，
输出4i =，选B.
4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是
（ ）
A . 8π
B . 7π
C . 2π
`D .
74
π
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体是一个半径分别为2和
3
2
的同心圆柱，大圆柱内挖掉了小圆柱。

两个圆柱的高均为1.所以几何体的体积为23741()124
π
ππ⨯-⨯=，选D.
5．已知幂函数2()m f x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，则(1)f m +=（ ） A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】因为幂函数在[1,]m -上是奇函数，所以1m =，所以23
()m f x x x +==，所以
3(1)(11)(2)28f m f f +==+===，选A.
6．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点
为P 10
(0,)a
，则线段AB 的长为（ ） A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
【答案】B
【解析】直线20x y -=的斜率为2，0x ay +=的斜率为1
a -。

因为两直线垂直，所以
112a -
=-，所以2a =。

所以直线方程20x y +=，中点(0,5)P 。

则5OP =，在直角三角
形中斜边的长度22510AB OP ==⨯=，所以线段AB 的长为10，选B. 7．已知数列{n a }满足*331
l o g 1
l o g ()n n a a n +
+=∈N ，且246
9a a a ++=，则157
93
l o g ()a a a ++的值是（ ）
A.15-
B.5-
C.5
D. 1
5
【答案】B 【解析】由
*
331
log 1log ()n n a a n ++=∈N ，得313log log 1n n a a +-=，即1
3
log 1n n
a a +=，解俯视图正 视 图 侧视
图
得1
3n n
a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列。

因为3
579246()a a a a a a q ++=++，所以35
579933a a a ++=⨯=。

所以55
1579133
3
log ()log 3log 35a a a ++==-=-，选B.
8．ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC --→--→--→
--→
-=⋅，那么动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心
【答案】C
【解析】假设BC 的中点是O.则2
2
()()22AC AB AC AB AC AB AO BC AM BC --→--→-=+-==,即()0AO AM BC MO BC -==，所以MO BC ⊥,所以动点M 在线段BC 的中垂线上，所以动点M 的轨迹必通过ABC ∆的外心，选C.
9．ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足3
3
3
c b a =+，那么ABC ∆的形状为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上均有可能 【答案】A
【解析】由题意可知,c a c b >>，即角C 最大。

所以332222a b a a b b ca cb +=+<+，即
3
2
2
c ca cb <+，所以2
2
2
c a b <+。

根据余弦定理得222
cos 02a b c C ab
+-=
>，所以02
C π
<<
，即三角形为锐角三角形，选A.
10．设函数2,0
(),01
x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x
=-的零点的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】因为(4)(0)f f =，(2)2f =，所以16+4b
c c +=且42+2b c +=，解得4,6b c =-=，即2,0
46(),01
x x x f x x ≥⎧-+=⎨<⎩。

即当0x ≥时，由()()0g x f x x =-=得
2460x x x -+-=，即2560x x -+=，解得2x =或3x =。

当0x <时，由()()0g x f x x =-=得10x -=，解得1x =，不成立，舍去。

所以函数的零点个数为2
个，选C.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．
11．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50
名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46
—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生. 【答案】37
【解析】因为12522=⨯+，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个
同学。

所以第8组中抽出的号码为57237⨯+=号。

12．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数
列，则a b c ++的值为________________．
【答案】1
【解析】由题意知21a =，所以12a =。

第三列和第五列的公比都为12,所以313
3()28m =⨯=，所以1352488b =+=，即516b =。

413
3()216
c =⨯=，所以
153
121616
a b c ++=
++=。

13．已知11
{|
2}82
x A x -=<<，2{|log (2)1}B x x =-<，则A B =________________． 【答案】{|14}x x <<
【解析】3111
{|2}{222}{13}
82x x A x x x x ----=<<=<<=<<，
2{|log (2)1}{022}{24}
B x x x x x x =-<=<-<=<<，所以
{14}
A B x x =<<。

14. 过抛物线2
x =2py(p>0)的焦点F 作倾斜角0
30的直线，与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y
轴左侧），则
AF BF
的值是___________．
【答案】1
3
【解析】抛物线的焦点为
(0,)2p F ，准线方程为2p y =-。

设点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程
为
()2p
x y =-
，代入抛物线方程消去x 得22
122030y py p -+=，解得
123,62
p p y y =
=。

根据抛物线的定义可知
1223,22623222p p p p p p p AF y BF y p
=+=+==+=+=，所以13AF BF =.
15．三棱锥ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点，若3AC BD +=，
1AC BD =，则22EG FH +=___________．
【答案】7
2
【解析】易知四边形EFGH 是平行四边形，
1122EG EF FG AC BD =+=
+,11
22
HF HE EF DB AC =+=+， 所以222211111()22424
EG AC BD AC AC BD BD =+=++，
222211111
()22424HF AC DB AC AC DB DD =+=++,
所以222222111111
424424EG FH AC AC BD BD AC AC BD BD +=+++-+
22221117()[()2](32)2222
AC BD AC BD AC BD =
+=+-=-=. 16. 设x, y 满足的约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤--≥+-0 ,00480
22y x y x y x , 若目标函数z abx y =+的最大值为8, 则a b
+的最小值为 .（
a 、
b 均大于0） 【答案】4
【解析】由z abx y =+得，y abx z =-+，所以直线的斜率为0ab -<，做出可行域如图
，由图象可知当目标函数经过点B 时，直线的截距最大，此
时8z abx y =+=。

由220840x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得14x y =⎧⎨
=⎩
，即(1,4)B ，代入8z abx y =+=得48ab +=，即4ab =，所以4a b +≥=，当且仅当2a b ==时取等号，所以a b +的
最小值为4.
17. 如图所示, C 是半圆弧x 2+y 2=1(y ≥0)上一点, 连接
AC 并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当
C 点在半圆弧上从B 点移动至A 点时,
D 点的轨迹是_______的一部分，D 点所经过的路程为 .
【解析】解：设点
(,)
D x y（其中D点不与A、B两点重合），连接BD ，
设直线BD的倾斜角为α，直线AD的倾斜角为β。

由题意得，
tan,tan
11
AD BD
y y
k k
x x
αβ
====
+-。

因为|CD|=|CB|,所以45
ADB
∠=
，则有
45
αβ
=+，即45
αβ
-=，即
tan tan
tan()tan451
1tan tan
αβ
αβ
αβ
-
-===
+
由此化简得
22
(1)2
x y
+-=（其中D点不与A、B两点重合）．
又因为D点在A、B点时也符合题意，因此点D的轨迹是以点（0，1
点D
．
三、解答题：本大题共5小题，共65分，请在答题卡上给出详细的解答过程．18．（本小题满分12分）已知函数()1sin cos
f x x x
=+．
（1）求函数()
f x的最小正周期和单调递减区间；
（2）若tan2
x=，求()
f x的值．
19．（本小题满12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5．现
从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，
求a ，b ，c 的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2
件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
20．（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， 且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线 BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求多面体ABCDE 的体积；
（3）求直线EC 与平面ABED 所成角的正弦值．
X 1 2 3 4 5 频率
a
0．2
0．45
b
c
B A D
C
E
F
21．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项1a =1，公差d>0,且第2项、第5项、第14
项分别为等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项。

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）设数列｛n c ｝对n ∈N +
均有
11
c b +
2
2c b +…+n n
c b =1n a +成立，求1c +2c 3c +…+2012c 。

22. （本题满分14分）
已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数
c 的最小值；
（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围。

参考答案
一．选择题
B D B D A B B
C A C 二．填空题
11.37 12.1 13. {|14}x x << 14. 13
15. 7
2
16.4 17.圆
.
三．解答题
18. 解答：（1）已知函数1()1sin 22f x x =+，∴22
T π
π==， ………………3分
令
322222k x k π
πππ+≤≤
+，则3()44
k x k k Z ππππ+≤≤+∈，
即函数()f x 的单调递减区间是3[,
]()44
k k k ππ
ππ++∈Z ； ………………6分
（2）由已知222222sin sin cos cos tan tan 1
sin cos tan 1x x x x x x y x x x ++++==
++， ………………9分 ∴当tan 2x =时，22
2217
521
y ++==+． ………………12分 19．解答：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 ……………1分
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=3
20
=0.15………3分 等级系数为5的恰有2件，所以c=
2
20
=0.1 ……………4分 从而a=0.35-b-c=0.1
所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 ……………6分 （2）从日用品1X ,2X ,3X ,1Y ,2Y 中任取两件，所有可能结果(
1
X ,
2
X ),(
1
X ,
3
X ),(
1
X ,
1
Y ),(
1
X ,
2
Y ),
（2X ,3X ）,( 2X ,1Y ),(2X ,2Y ),(3X ,1Y ),(3X ,2Y ),(1Y ,2Y )共10种， ……………9分 设事件A 表示“从日用品1X ,2X ,3X ,1Y ,2Y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为(1X ,2X ),(1X ,3X ),(1X ,2X ),(1Y ,2Y )共4个， ……………11分 故所求的概率P(A)=
4
10
=0.4 ……………12分 20．解答：如图，（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，
连接FH ，则//FH =
12
ED ，∴//FH =AB ， ……………2分
∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ；……………4分 （2）取AD 中点G ，连接CG.. ……………5分 AB ⊥平面ACD, ∴CG ⊥AB
又CG ⊥AD ∴CG ⊥平面ABED, 即CG 为四棱锥的高，
……………7分 ∴C ABED V -=13⋅(12)2
+⋅2⋅ ……………8分 (3)连接EG ，由（2）有CG ⊥平面ABED ，
∴CEG ∠即为直线CE 与平面ABED 所成的角，………10分 设为α，则在Rt CEG ∆中，
有sin CG CE α=
==
……………13分
21 .解答：(1)由已知得2a =1+d, 5a =1+4d, 14a =1+13d, ………1分
∴2(14)d +=(1+d)(1+13d), ∴d=2, n a =2n-1 …………3分
又2b =2a =3，3b = 5a =9 ∴数列{n b }的公比为3，
n b =3⋅23n -=13n -. ……………6分
(2)由11c b +22
c b +…+n n c b =1n a + （1） 当n=1时，11
c b =2a =3， ∴1c =3 ……………8分 当n>1时，11c b +22
c b +…+11n n c b --= n a （2） ……………9分 （1）-（2）得 n n
c b =1n a +-n a =2 ……………10分 ∴n c =2n b =2⋅13n - 对1c 不适用
∴n c =131232
n n n -=⎧⎨∙≥⎩ ……………12分 ∴123c c c +++…2012c =3+2⋅3+2⋅23+…+2⋅20113
=1+2⋅1+2⋅3+2⋅23+…+2⋅2011
3=1+2⋅2012
1313
--=20123. ……………14分 22．解答：（1）323)(2-+='bx ax x f …………1分
根据题意，得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧=-+-=-+,
0323,23b a b a 解得⎩⎨⎧==.
0,1b a .3)(3x x x f -=∴ …………3分 （2）令33)(2-='x x f 0=，解得1±=x
f(-1)=2, f(1)=-2，2)2(,2)2(=-=-f f
[2,2]x ∴∈-当时，max min ()2,() 2.f x f x ==- …………5分 则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值12,x x ，都有
12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-=
所以 4.c ≥所以c 的最小值为4。

…………7分
（3）设切点为300000(,),3x y y x x =-则
200()33f x x '=-， ∴切线的斜率为203 3.x - …………8分 则3200003332
x x m x x ---=- 即32002660x x m -++=， …………9分
因为过点(2,)(2)M m m ≠，可作曲线()y f x =的三条切线
所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解
即函数32
()266g x x x m =-++有三个不同的零点， …………10分
则2()612.g x x x '=-
令()0,0 2.g x x x '===解得或
12分 ⎩⎨
⎧<>∴0)2(0)0(g g 即⎩
⎨⎧<->+0206m m ，∴26<<-m …………14分。