2018届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题29函数综合测试题120171207136

函数综合测试题 01
1、设函数 f (x ) 2|x
1||x 1|
,求使f (x )
2 2x 成立的 x 取值范围。

解：由于 y
2x 是增函数， f (x ) 2 2 等价于| 1| | 1| 3
x
x
......①
2 （1）当 x 1时，| x
1| | x 1|
2 ，①式恒成立；
（2）当
1 x 1时，| x 1| | x 1|
2x ，①式化为 2x 3 ，即 3
1
x ；
2 4
（3）当 x
1时，| x
1| | x
1|
2 ，①式无解；
综上， x 的取值范围是
3 , 4。

2、设关于 x 的方程 2x 2
ax 2 0 的两根为,(
)，函数
4x a f (x )。

x 2
1
（1）求 f () f () 的值；
（2）证明 f (x )
是,
上的增函数；
（3）试确定
为何值时， f (x ) 在区间
,
上的最大值与最小值之差最小。

8
8
解：（1） f (
) , f (
)
, f () f ()
4.
a 16 a
16 a 2
a 2
（2）定义法；略 （3）函数 f (x )
在,
上最大值 f (
) 0 ，最小值 f (
) 0, f () f () 4，
当且仅当 f (
)
f () 2时， f ()
f () f (
) f () 取最小值 4，此时 a 0, f () 2.
- 1 -
3、讨论函数
ax
f(x)(a 0)在区间(1,1)上的单调
性。

1x
2
ax ax a(x x )(1x
x)
解：设1x x 1,f(x)f(x)12
则= 1212
121222
22
1x1x(1x)(1x)
1212
，
且
x1,x2(1,1),x1
x2,
x1x20,1x1x20,(1x12)(1
x22)0,
于是当
a
0时,f(x)f(x);当a 0时,f(x)f(x);
1212
故当a
0时，函数在(1,1)上是增函数；
当a
0时，函数在(1,1)为减函数。

4、已知函数f(x)log(ax x)(a 0,a 1
a为常数）。

（1）求函数f(x)的定义域；
（2）若a 2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性；
（3）若函数y f(x)是增函数，求a的取值范围。

解：（1）由ax
x
0得x ax
1
x0
∵a 0,x
02
∴f(x)的定义域是x (,)。

1
x
a x
a x a
222
（2）若a 2，则()log2(2x x)
f x
设
1
x，则
1x
2
4
(2x1x)x x x x (x x x x x x
(2)2())()[2()1]
12212121212
f x1f x故f(x)为增函数。

()()
2
1
（3）设1
a x a x 1
x x则
212
2
a
(ax1x)ax x a x x x x x x a x
x
()()()()[()1]
12212121212
1x ax x①
ax
122
- 2 -
∵ f (x ) 是增函数，∴log (
) log ( )
a
ax 1
x ax
x
1
a 2
2
②联立①、②知 a 1，∴ a (1,) 。

5、已知函数 f (x )
ax b 1
x 2 (x 0) ，且函数 f (x )与g (x ) 的图象关于直线 y
x 对称，
又
f ( 3) 2 3,
g (1) 0。

（1）求 f (x ) 的值域；
（2）是否存在实数 m ，使命题 p : f (m 2
m ) f (3m 4) 和 :
( 1) 3
q g
m 4
4
满足复合命题
p 且q 为真命题？若存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由。

解：（1）由 f ( 3) 2 3, f (0) 1,得a
1,b 1，于是 f (x ) 1 x 2
x (x 0)
，
由
f (x )
1
1 x 2
x
，此函数在
0,
是单调减函数，从而 f (x ) 的值域为 (0,1]；
（2）假定存在的实数 m 满足题设，即 p : f (m 2 m ) f (3m 4) 和
( 1) 3
g
m 4
4
都成立
又 (3) 3 1 (3)2 1 g
，∴ ( 1) (1)
f
，∴ (1) 3 m g
g 4
4
4 2
2
4
4
2
，
由 f (x ) 的值域为 (0,1]，则 g (x ) 的定义域为 (0,1]，已证 f (x ) 在
[0,
) 上是减函数，则 g (x )
在
2
3
4 0
m m m
(0,1]也是减函数，由减函数的定义得
m 1 1
1
解得， 4 3
m 3且 m ≠ 2 ，因
42
此存在
4
实数m使得命题：p且q为真命题，且m的取值范围为[,2)(2,3)。

3
6、已知函数f(x)log(4x1)kx(k R)是偶
函数。

4
（1）求k的值；
（2）设
4
g x a x a，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a
()log(2)
4
3
- 3 -
的取值范围。

解：（1）由函数 f (x ) 是偶函数可知： f (x )
f
(x ) ，
log (4x
1) kx log (4
x
1) kx 4
4
4 1
x
log
x
2kx 4
4
1
即 x 2kx 对一切 x
R 恒成立，
1
k
2
； （2）函数 f (x ) 与 g (x ) 的图象有且只有一个公共点，即方程
1
4
log (4x
1)
x log (a 2x
a )
4
4
2 3 1 4 有且只有一个实根，化简得：方程
2
2
有且只有一个实根；
x
x
x
a a 2
3
令t
2x
0，则方程 (a 1)t 2 4 at
1
0 有且只有一个正根，① 1 3
a
t
，不合题
3
4
意；
3
3 1
a t
，不合题意；若
3
1
②
或 3，若
0 a
a
t
4
4
2
2
③一个正根与
；
一 个负根，即
1
0 a 1
；综上：实数 a 的取值范围是
3
(1,
)
a 1。

7、已知函数
f (x ) lo
g 2x
1 。

2
（1）求证：函数 f (x ) 在
( ,
) 内单调递增；
（2）若
g(x)log2x 1(x 0)，且关于x的方程g(x)m f(x)在[1,2]上有解，求m 2
的取值范围。

解：（1）证明：任取x x，
则
12
f(x)f(x)log21log21 log
x x
12
122222
1
x
1
2
1
x
2
，
2121
x x
11
x x x x ，01,log 0
12,02121
12
222
x x
2121
，
f(x)f(x)，即函数f(x)在
(,
)内单调递增。

12
- 4 -
（2）解法1：由g(x)m f(x)得m g(x)f(x)
log2x 1log2x 1 22
212
x
log log1
22
x x
2121，当1x 2时，222,112
3
52x 1332x 1
5
，
13
m的取值范围是log,log
22
22
35。

解法2：解方程
log2x 1m log2x
1，得
22x m
21
log
2
12
m
，
m
21 12,1log
2
x
2
12
m
，解得
13
log m log
22
3
5
，1
3
m的取值范围是log,log
22
35。

8、已知函数
f (x )
log
a
1 mx x
1
(a
0,a 1) 是奇函
数。

（1）求实数 m 的值； （2）判断函数 f (x ) 在 (1,)上的单调性，并给出证明；
（3）当 x
(n ,a 2) 时，函数 f (x ) 的值域是 (1,
)，求实数 a 与 n 的值；
g x
ax 2 8 x 1 a f x
5 ，当 a 8时，存在最大实数
t ，使得 （4）设函数
x 1,
t
时，不等式 5 g x 5 恒成立，试确定t 与 a 之间的关系。

解：（1） m
1。

（2）由（1）及题设知：
f (x )
log
a
x 1
x 1 ，设
t x 1 x 1 2 2 1 x 1 x 1
x 1
， 当
2
2 2(x x ) x
x
时，t t
2
1 1
2
1
1
2
x 1 x 1 (x 1)(x 1) 1
2 1
2
，
t t 1
2
当 a 1时， log a t
log a
t ，即
1
2
f (x ) f (x ) ；
1
2
当 a 1时， f (x ) 在 (1,)上是减函数；同理当 0 a
1时， f (x ) 在 (1,)上是增函数；
（3）由题设知：函数 f (x ) 的定义域为 (
,1)
(1,
) ，
- 5 -
①当 n a 2
1时，有 0 a
1，由（1）及（2）题设知： f (x ) 在为增函数，由其值域
为 (1,)
知
1 n log 1 a ，无 解； ②当1 n a 2时，有 a 3，由（1、2）题设
知： f (x ) n 1
a 2 1
n 1
在(n ,a
2)为减函数，由其值域为 (1,)知， ，得 a
2 3 ， n 1；
a 1
log 1
a 3
a
2 2
4 2
16
（4）由（1）题设知：
f x
g x
ax
8 x 1 a
5
ax 8x 3 a (x
) 3
，
a
a
则函数 y
g (x ) 的对称轴 x 4 ， a 8∴ 4
0, 1
x
a a
2
，函数 y
g (x ) 在
x 1,t
上单
调减， g (t )
g (x ) g (1) ，t 是最大实数使得 x 1,t
，恒有
5 g (x ) 5成立，
g (1) 11 a 3 5, g (1)
g (t )
11
a at 8t 3 (t
1)(at a
8)
2
g t
at 2
t
，即 at 2 8t 8。

( )
8 3 5
- 6 -。