高三数学-2018(文科)考试解答 精品

2018年厦门市高中毕业班适应性考试 数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算． 1、D 2、A 3、C 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A 9、C 10、B 11、C 12、D
二、本大题共4个小题；每小题4分，共16分.本题主要考查基础知识和基本运算． 13、32
14、1600
15、
2
1 16、72
三、解答题 17、本题考查三角函数的基本公式和平面向量等基本知识，要求学生能灵活运用所学知识解决问题．满分12分． 解：（1） ·=0 ∴ -1·y +cos x (3sin x +cos x )=0………………………………………2分 ∴y =3sin x ⋅cos x +cos 2
x =
2
3
sin2x +21cos2x +21 …………………………………………4分
=sin(2x +
6π)+21
∴f (x ) =sin(2x +
6
π)+
2
1
……………………………………………………………………6分
（2） f (x )=1, ∴ sin(2x +
6
π)= 1
2 ……………………………………………………8分 又 x ∈[0 , 21π]，∴6π≤2x +6π≤67π ，∴ 2x +6π=6π或2x +6π=6
5π
…………10分
∴x = 0或π
3 ………………………………………………………………………………12分 18、本题主要考查等差数列的概念和性质，以及数列求和等基本运算，考查学生解决数列问题的基本技能．满分12分. 解：（1）}{n a 为等差数列2891-=+a a
282591-==+∴a a a ，145-=∴a …………………………………………………2分 又202-=a 设{n a }的公差为d ，
d a a 325+=∴，∴d=2， …………………………………………………………………4分 242-=∴n a n ……………………………………………………………………………6分
（2）n n b a 2log = n
a n
b 2=∴ n
a a a n n
b b b T +⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅=∴2
1
221 ……………………9分
当0321
=+⋅+++n a a a a 时，=n T 121=⋅⋅n b b b …………………………………10分
即02
)
1(1=-+
d n n na ，221-=a 23=∴n ，即n =23时， =n T 1 。

……………12分 19、本题主要考查典型的离散型随机变量的概率计算和离散型随机变量分布列及期望等基础知识和基本运算能力．满分12分． 解：（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A 、B 、C ，因为各位教师是否使用电脑是
相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是： 5
2
32)411(52)321(41)521(3241)
()()(⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=
++=BC A P C B A P C AB P p ……………………………………5分 =
3
1
……………………………………………………………………………………6分 （2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M ，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N ， P （M ）=)3
2()31(445C ， ……………………………………………………………………8分 P （N ）=5)3
1(， ……………………………………………………………………………10分 所以，所求的概率是：P=P （M ）+P （N ）=243
11
)31()32()31(5445=
+C 。

……………12分 20、本题主要考查空间线线、线面、面面的位置关系，考查空间想象能力和推理、论证能力，同时也可考查学生灵活利用图形，建立空间直角坐标系，借助向量工具解决问题的能力．满分12分。

解法一：
（1）证明：直三棱柱ABC —111C B A 中，
1111C A C B ⊥ 1111A A C C C B 面⊥∴ 连结1AC AC AA =1 即11A ACC 为正方形 C A AC 11⊥∴ ∴根据三垂线定理得
C A AB 11⊥ ……………………………………4分 （2）解：设E C A AC =11
正方形11A ACC E ∴为1AC 中点，又D 为AB 中点 ED ∴∥1BC 又⊂ED 平面CD A 1
1BC ∴∥平面CD A 1……………………………………………………………………… 8分
（3）取AC 中点F ，连结DF D 为AB 中点 DF ∴∥BC 且12
==BC
DF ⊥BC 11A ABB 面 ⊥∴DF 11A A C C 面 取CE 中点G ，连结FG 、DG 则FG ∥AE 且2
2
421===
AC AE FG C A AE 1⊥ C A FG 1⊥∴ 根据三垂线定理 C A DG 1⊥
DGF ∠∴是二面角D —C 1A —A 的平面角 …………………………………………… 10分
A
B A B 1
在直角DFG ∆中，1=DF 2
2=
FG 2tan ==
∠FG
DF
DGF …………………………………………………………………11分 ∴二面角D —C 1A —A 的正切值是2………………………………………………… 12分 解法二：
（1）分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为
x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
（如图） 则A （2，0，0），B （0，2，0）， C （0，0，0），1A （2，0，2）， B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），
44)2,2,2()2,0,2(11=+-=-⋅=⋅AB ∴11AB C A ⊥……………………… 4分
（2）AB 中点D 的坐标是D （1，1，0）
022)2,2,2()0,1,1(1=+-=-⋅=⋅AB
∴1AB CD ⊥ 又由（1）11AB C A ⊥
1AB ∴是平面CD A 1的法向量
44)2,2,2()2,2,0(11=+-=⋅-=⋅AB BC 即11AB BC ⊥，
1BC ∴∥平面CD A 1 ………………………………………………………………………8分
（3）平面1ACA 的法向量是=(0，1，0) 设二面角D —C 1A —A 的大小为θ
则3
3
3
221
23)
0,1,0()2,2,2(cos 2=
=
⨯⨯⋅-=
=
θ， ∴2tan =θ， ∴二面角D —C 1A —A 的正切值是2………………………………………………… 12分
21、本题主要考查函数及导数的基础知识，要求学生能利用导数知识研究函数的单调性和最值问题，同时考查考生的函数思想和数形结合的思想．满分12分. 解：（1）当)0,3[-∈x 时,]3,0[∈-x ，则ax x x f +-=-3)(， 又∵f (x )为偶函数，∴f (x )=f (-x )，
∴当)0,3[-∈x 时，ax x x f +-=3)(。

∴)30()
03,(,)(33≤≤<≤-⎩
⎨⎧-+-=x x ax x ax x x f ……………………………………………………3分
（2）当]3,0[∈x 时，ax x x f -=3)(，
a x x f -=2/3)(，依题意可知03)(2/≤-=a x x f 在]3,0[∈x 恒成立，
∴23x a ≥在]3,0[∈x 恒成立，即27)3(max 2=≥x a
所以当27≥a 时f(x)在()f x 在]3,0[∈x 上单调递减 …………………………7分 （3）∵f (x )为偶函数，∴只需先研究函数x x x f 6)(3-=在]3,0[∈x 的最小值．
63)(2/-=x x f ，令
2/得2±=x ，∵]3,0[∈x ，∴
2=x 。

则
所以，当2=x 10分 又∵f (x )为偶函数∴当2-=x 时，24)
(min -=x f
综上所述，当2±=x 时，24)(min -=x f 。

…………………………12分
22、本题考查解析几何的基本思想和方法，要求考生能正确分析问题，寻找较好的入题方向，同时兼顾考查算理和逻辑推理的能力，要求考生对代数式能作出合理变形，以便于相应问题的研究．满分14分.
解：（1）依题意，F 为抛物线C 的焦点，又|PF|等于点P 到抛物线C 的准线x ＝－p
2
的距离，
∴p 2＝1
2
，p ＝1，∴抛物线方程为y 2＝2x .…………………………………………………….4分 （2）∵过F 的直线l 与x 轴垂直，不妨设A(1
2, 1) ，
因为A 、B 关于x 轴对称，向量Q Q A B 与的夹角为
3
π， ∴向量→QA 与x 轴所成的角为π6， ………………………………………………………….6分 又知Q(, 0)a ，∴
11
tan
16
32
2
a a π
==
=--∴…………………………………9分 （3）设直线AB 的方程为x=my+1
2
，代入y 2=2x 得y 2–2my –1=0. …………………10分
∵恒成立，0442
>+=∆m ∴直线x=my+12
与抛物线恒有两个交点.
设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), 则AB 中点M 的坐标y o = y 1+y 22=m ， x 0=my 0+12=m 2+1
2
， ……11分
∴M 到直线y =x +1的距离d =8252
45)21(2121
22≥+-=
+-+
m m m ………………13分 当且仅当m =
2
1
时取等号， ∴点M 到直线y=x+1距离的最小值是
8
2
5。

……………………………………………14分。