一元二次不等式及其解法精品教案

§3.2一元二次不等式及其解法
【教学目标】
知识与技能
理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。

过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不 等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
情感态度与价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联 系的辩证思想。

【教学重点】一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解三个二次之间的关系。

【教学过程】
（一）课题导入
王大爷想在自家院子围一周长为10米的矩形菜地，要求菜地面积不小于6平方米，则该菜地的宽应在什么范围之间？
解: 设菜地一边长为 x 米，则另一边长为 （5–x ）米，
根据题意可得：6)5(≥-x x
整理得： 0652≤+-x x
这个问题实际上是解不等式0652≤+-x x
问题1：观察该不等式的特点，含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？
①含有一个未知数 ② 未知数的最高次数为是2
设计意图：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，引入新课。

（二）讲授新课
知识点一：一元二次不等式的概念
1．一元二次不等式 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如02>++c bx ax (≥0)或02<++c bx ax (≤0)(其中0≠a )的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
x
x -5
3．判断下列式子是否为一元二次不等式。

①)1)(3()1(x x x x -->+ 否 ②723<-x x 否
③y x x <-32 否 ④932>+x ax
（a 为常数） 不一定
知识点二：一元二次不等式的解法 提出问题：怎样求一元二次不等式0652≤+-x x 的解集？
分析：一元二次不等式不是我们熟悉的问题，但是大家看652+-=x x y 和0652=+-x x 这是什么？我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程，那么这三者之间又有怎样的联系呢？
问题1：试求二次函数与x 轴的交点坐标。

提示：（2,0）、（3,0）
问题2：一元二次方程根是什么？
提示：.3,221==x x
于是，我们可以得到：二次方程的根就是二次函数的零
点。

问题3：你能根据1,2的结论，画出二次函数的简图吗？
（学生根据结论，画出简图）
问题4：观察图像，x 满足什么条件时，0652≤+-x x ？
提示：2≤x ≤3.
问题5：你能写出不等式0652≤+-x x 的解集吗？0652≥+-x x 呢？
提示：能，不等式的解集为{x |2≤x ≤3}，{x|x ≥3或x ≤2}．
问题6：上述解题方法体现了什么样的数学思想？请同学们用这种方法求不等式022>++-x x 的解集。

提示：不等式的解集为{x |-1<x<2}.
问题7：用数形结合的方法求解一元二次不等式的解集，主要关注相应二次函数图像的什么特征？
提示：开口方向和图像与x 轴的交点的横坐标.
问题8：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式02
>++c bx ax (≥0)或02<++c bx ax (≤0)(其中0≠a )的解集吗?相应的二次函数图像与x 轴的交点情形能确定吗？由谁决定？怎么处理？
设计意图：从一个特殊的不等式出发，通过图像分析给出，一元二次不等式可以通过结合其所对的二次函数图像来进行求解。

再推广到一般的一元二次不等式02
>++c bx ax (≥0)或02<++c bx ax (≤0)(其中0≠a )的解法。

总结讨论结果：
（1）二次函数 =y c bx ax ++2（a > 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元
二次方程 c bx ax ++2= 0的判别式ac b 42
-=∆三种取值情况(Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0）来确定，因此，要分三种情况讨论；
（2）a < 0可以转化为a > 0。

归纳总结：一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 判别式
ac b 42-=∆
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数 c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2
一元二次方程 ()的根
00
2>=++a c bx ax 有两相异实根
)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集
)0(0
2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(0
2><++a c bx ax {}21x x x
x << ∅ ∅
（三）运用规律，解决问题
例1、解下列关于x 的不等式
（1）062>--x x （2）01442>+-x x ；（3）0322
>++-x x
解：（1）因为025)6(14)1(2>=-⨯⨯--=∆,方程062=--x x 的两根是2,321-==x x ， 所以，原不等式的解集是{}23-<>x x x 或。

（2）因为210144,0212=
==+-=∆x x x x 的解是方程， 所以，原不等式的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠21x x 。

（3）整理，得0322<--x x ，
因为016)3(14)2(2>=-⨯⨯--=∆，
方程0322=--x x 的解是1,321-==x x
所以不等式0322<+-x x 的解集是{}31<<-x x ，
从而，原不等式的解集是{}31<<-x x 。

小结（类题通法）：解一元二次不等式的步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3) 如果有根，求出方程的根。

(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
设计意图：通过三种不同形式的题目，让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解，强调一些注意事项，让学生规范操作。

（在第三个不等式上可以进行讨论）。

活学活用：
1、解下列关于x 的不等式
（1）0652>--x x
（2）672>+-x x
（3）0)3)(2(<+-x x
（4）)4()122(42
x x x x ->+-
设计意图：检验教学效果，学生黑板演练。

（四）随堂练习：课本第80的练习1。

（五）课时小结
今天我们学习了一元二次不等式及其解法，同学下去可以再多看看三个二次之间的关系，结合
函数图像给出不等式的解集。

同时要注意解决一元二次不等式的一些需要注意的地方；例如不等式的右边为0、最高次的系数为正等等。

（六）布置作业：
课本80页习题3.2 A 组第1、2题。

（七）板书设计：
§3.2一元二次不等式及其解法 一、 一元二次不等式 二、探究02>++c
bx ax 的解集 问题： 例题： 1、 定义：
2、 一般形式：
3、 判断下列式子是否
为一元二次不等式.。