河北省保定市定兴县第三中学高三数学理联考试题含解析

河北省保定市定兴县第三中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图，如果随机输入的t∈[﹣2，2]，则事件“输出的S∈（﹣1，7]”发生的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到输出S∈[﹣3，﹣1]∪（2，10]，区间长为10，即可求出概率．
【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，
若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+2∈（2，10]，此时不满足条件，
∴输出S∈[﹣3，﹣1]∪（2，10]，区间长为10，
∴事件“输出的S∈（﹣1，7]”发生的概率为=．
故选B．
2. 已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝－a，a∈M}，则集合M∩N＝()
A．{0，－1} B．{0}
C．{－1，－2} D．{0，－2}
参考答案：B
3. 若，且与的夹角为，当取得最小值时，实数的值为（）
A.2
B.
C.1
D.
参考答案：
C
略
4. 已知集合, 集合, 则
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
考点：充分条件与必要条件
试题解析：因为“”能推出“”成立，但“”不能得出
故答案为：A
6. 函数的定义域为
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）
A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）
参考答案：
B
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．
【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，
∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，
不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）
令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，
∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，
结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），
故选：B．
【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．
8. 已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）
A．B．5C．D．4
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形PF1Q为等腰三角形，PQ⊥x轴，令x=2，求得|PQ|，再由勾股定理，求得|PF1|，即可求得周长．
【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的a=，b=1，
c==2，则F1（﹣2，0），F2（2，0），
由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴，
令x=2则有y2=﹣1=，
即y=．即|PF2|=，
|PF1|===．
则三角形PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=++
=．
故选：A．
9. 直线a与平面所成角的为30o，直线b在平面内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为
，则( )
A．0o<≤30o B．0o<≤90o C．30o≤≤90o D．30o≤≤180o
参考答案：
C
10. 等比数列的前项和为,已知,,则等于（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为．
参考答案：
观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，
故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为．
12. 已知实数x，y，z满足，则z＝x＋2y的最小值为___________。

参考答案：
5
由题意可得可行域为如图所示（含边界），，
则在点处取得最小值.
联立，解得：
代入得最小值5.
答案为：5. 13. 为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年教育支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加____________万元．
参考答案：
14. 一物体沿直线以（的单位：秒，的单位：米/秒）的速度做变速直线运动，则该物体从时刻到5秒运动的路程
为
米
.
参考答案：
略
15. 设向量满足：且的夹角是，则_________
参考答案：
略
16. （选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线
的距离的最小值是；
参考答案：
17. 展开式中的常数项
为．
参考答案：
【知识点】二项式定理。

J3
【答案解析】解析：，令，得，故
常数项为.
【思路点拨】利用二项式定理的展开式得到，再令即可解得，可求结果。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点集, 其中为向量, 点列在点集中, 为的轨迹与轴的交点, 已知数列为等差数列, 且公差为1, .
(1) 求数列, 的通项公式;
(2) 求的最小值;
(3) 设, 求的值.
参考答案：
解: (1) 由, , 得: (2)
即为的轨迹与轴的交点, 则 (3)
数列为等差数列, 且公差为1, , (4)
代入, 得: (5)
(2) , ,
(8)
, 所以当时, 有最小值, 为. (9)
(3) 当时, , 得: (10)
, (12)
. (14)
略
19. 在△ABC中，已知.
（1）求的大小；
（2）若，，求△ABC的面积.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）由正弦定理可得，求得，即可求解的大小；
（2）由正弦定理，可得，得到，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因，由正弦定理可得，
又因为，所以，所以，即，
又因为，所以.
（2）由正弦定理，可得，
又因为，所以，所以.
所以的面积.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
20. （本小题12分）
已知函数已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，又，,是的导函数.
（I）若，求的值；
（Ⅱ）把图像的横坐标缩小为原来的一半后得到H（x），求H（x）的单调减区间.参考答案：
解：（1）幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数
，又，函数为偶函数，故m=1……….3分
∵
∴
=
=．…………6分
（2）由（1）知：．
令得：
∴的单调减区间为…………12分
21. （16分）
已知直线，⊙上的任意一点P到直线的距离为。

当取得最大时对应P的坐标，设。

（1）求证：当，恒成立；
（2）讨论关于的方程：根的个数。

参考答案：
解析：（1）由题意得
，……2分
∴，∴……3分
∴，∴在是
单调增函
数，
……5分
∴对于恒成立。

……6分
（2）方程；∴……7分∵，∴方程为
……9分
令，，
∵，当时，，∴在上为增函数；
时，，∴在上为减函数，……12分
当时，……13分
，
∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当，即时，方程无解。

②当，即时，方程有一个根。

③当，即时，方程有两个根。

……16分
22. 已知函数。

（1）求函数在上的最小值；
（2）求证：对一切，都有。

参考答案：
（1）,令，得，
当时，单减；当时，单增。

（2分）
①当时，在上单减，在上单增，所以
；（4分）②当时，在上单增，所以。

（6分）
（2）要证原命题成立，需证：成立。

设，则，令得，当时，单增；当时，单减，所以当时，。

（9分）
又由（1）得在上单减，在上单增，所以当时，，又
，（11分）所以对一切，都有成立。

（12分）。