2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试

第二章单元测试卷
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设M ＝2a(a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M>N B ．M ≥N C ．M<N D ．M ≤N
2．关于x 的不等式－x 2＋2x ≥0的解集为( ) A ．[0,2] B ．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C ．(－∞，2]
D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
3．不等式x －2
x ＋1
≤0的解集是( )
A ．{x|x<－1或－1<x ≤2}
B ．{x|－1≤x ≤2}
C ．{x|x<－1或x ≥2}
D ．{x|－1<x ≤2}
4．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1
b B ．a 2>b 2
C.a c 2＋1>b c 2＋1
D ．a |c |>b |c |
5．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.a ＋b
2>ab (a >b >0) B ．a 2＋b 2>2ab (a >b >0)
C.2ab
a ＋
b <ab (a >b >0) D.a ＋b 2< a 2＋b 22(a >b >0) 6．若不等式4x 2－12x －7>0与关于x 的不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则x 2－px ＋q <0的解集是( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x >72或x <－12
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
－12<x <72
C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <－72或x >12
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
－72<x <12 7．若关于x 的一元二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )
A ．{m |m ≤－2或m ≥2}
B ．{m |－2≤m ≤2}
C ．{m |m <－2或m >2}
D ．{m |－2<m <2}
8．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k
a ＋b
≥0恒成立，则实数k 的
最小值等于( )
A ．0
B ．4
C ．－4
D ．－2
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知a 、b 、c 、d 均为实数，则下列命题中正确的是( )
A ．若ab <0，bc －ad >0，则c a －d b >0
B ．若ab <0，c a －d
b >0，则b
c －a
d >0
C ．若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0
D ．若1a <1b <0，则1a ＋b <1
ab
10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
11．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A ．a 2＋b 2≥8 B.1ab ≥1
4
C.ab ≥2
D.1a ＋1
b ≤1
12．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y 1(千
元)乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
A ．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B ．甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1＝0.5x ＋1
C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y 2与证书数量
x 之间的函数关系式为y 2＝14x ＋5
2
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集是(－∞，－2)∪(1，＋∞)，则a ＋b ＝________.
14．函数f (x )＝x ＋2
x －1
(x >1)的最小值是________；取到最小值
时，x ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则不等式ax ＋b
cx ＋a
<0的解集是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B .
(1)求A ∩B ；
(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求a ，b 的值．
18．(本小题满分12分)(1)设函数y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)．
若不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为{x |－1<x <3}，求a ，b 的值；
或x >b }，
(1)求a ，b 的值；
(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0. 第二章单元测试卷
1．解析：∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0.∴M >N . 答案：A
2．解析：由原不等式可得x 2－2x ≤0，即x (x －2)≤0，解得0≤x ≤2，故选A.
答案：A
3．解析：原不等式同解于⎩⎨
⎧
x ＋1≠0
(x －2)(x ＋1)≤0
，解得－1<x ≤2，
选D.
答案：D
4．解析：根据不等式的性质，知C 正确；若a >0>b ，则1a >1
b ，则A 不正确；若a ＝1，b ＝－2，则B 不正确；若
c ＝0，则D 不正确．故选C.
答案：C
5．解析：由图形可知OF ＝1
2AB ＝a ＋b 2，OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b 2，
在Rt △OCF 中， CF ＝
OF 2＋OC 2＝
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫a －b 22 ＝a 2＋b 22>OF ＝a ＋b
2，故选D. 答案：D
6．解析：由4x 2－12x －7>0得(2x －7)(2x ＋1)>0， 则x >72或x <－1
2.由题意可得⎩⎪⎨
⎪⎧
－p ＝72－12，q ＝72×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
p ＝12－72，
q ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－72，x 2－px ＋q <0对应方程
x 2
－px ＋q ＝0的两根分别为12，－72，
则x 2
－px ＋q <0的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
－72<x <12.故选D.
答案：D
7．解析：因为不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，所以Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.
答案：B
8．解析：由1a ＋1b ＋k
a ＋b
≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋
2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2
ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.
答案：C
9．解析：对于A ：∵ab <0，∴1ab <0，又∵bc －ad >0，∴c a －d b ＝1
ab ·(bc
－ad )<0，即c a －d b <0，故A 不正确；对于B ：∵ab >0，c a －d
b >0，
∴ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －d b >0，∴ab ·1
ab (bc －ad )>0，即bc －ad >0，故B 正确；对于C ：∵c a －d
b >0，∴b
c －a
d ab >0，又∵bc －ad >0，∴ab >0，故C 正确；对
于D ：由1a <1b <0，可知b <a <0，∴a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b <1
ab 成立，
故D 正确．故选BCD.
答案：BCD
10．解析：设y ＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．
若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3
个整数，因为对称轴为x ＝3，则⎩⎨
⎧
22－6×2＋a ≤0
12－6×1＋a >0
解得5<a ≤8，
又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8. 故选ABC. 答案：ABC
11．解析：a 2＋b 2≥(a ＋b )2
2＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，A 正确；a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤4，1ab ≥1
4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，
B 正确，
C 错误，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4
ab ≥1，D 错误．故选AB.
答案：AB
12．解析：由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A 正确；甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1＝0.5x ＋1，故B 正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C 正确；易知当x >2时，y 2与x 之
间的函数关系式为y 2＝14x ＋5
2，故D 正确．故选ABCD.
答案：ABCD
13．解析：不等式对应方程ax 2＋bx －2＝0的实数根为－2和1， 由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧
－2＋1＝－b a －2×1＝－2
a
解得a ＝1，b ＝1， 所以a ＋b ＝2. 故答案为2.
答案：2
14．解析：∵x ＞1，∴x －1＞0，
由基本不等式可得y ＝x ＋2x －1＝x －1＋2
x －1＋
1≥2(x －1)·2
x －1
＋1＝22＋1，
当且仅当x －1＝2
x －1
即x ＝1＋2时，函数取得最小值22＋1.
答案：22＋1 1＋ 2
15．解析：由题图知，1和2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，
所以－b a ＝3且c
a ＝2， 所以
b ＝－3a ，
c ＝2a 且a >0.
不等式ax ＋b cx ＋a
<0等价于(ax ＋b )(cx ＋a )<0，
即(x －3)(2x ＋1)<0，所以－1
2<x <3.
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
－12<x <3
16．解析：不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立， 即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立． 若a ＋2＝0，显然不成立； 若a ＋2≠0，则
⎩⎨
⎧
a ＋2>0，16－4(a ＋2)(a －1)<0，⇔
⎩⎨
⎧
a >－2，16－4(a ＋2)(a －1)<0，
⇔
⎩⎨
⎧
a >－2，a <－3或a >2，
⇔a >2.
答案：a >2
17．解析：(1)A ＝{x |－1＜x ＜3}, B ＝{x |－3＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}
(2)－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根
∴⎩⎨
⎧
1－a ＋b ＝04＋2a ＋b ＝0
，∴⎩⎨
⎧
a ＝－1
b ＝－2
.
18．解析：(1)∵不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为{x |－1<x <3}， ∴－1和3是方程ax 2＋bx ＋3＝0的两个实根，
从而有⎩⎨
⎧
a －
b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，
解得⎩⎨
⎧
a ＝－1，
b ＝2.
(2)∵a ＋b ＝1，
又a >0，b >0，
所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a
b ＝9，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
b a ＝4a b ，
a ＋
b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝13，
b ＝2
3
时等号成立，
所以1a ＋4
b 的最小值为9.
19．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1
b 2＋4
＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1a 2b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4 ＝(1－2ab )·⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4， 由a ＋b ＝1，得ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)， 所以1－2ab ≥1－12＝12，且1
a 2
b 2≥16，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋1b 2≥12×(1＋16)＋4＝25
2，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为25
2.
20．解析：(1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1.
②当a >0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a (x ＋1)>0， 解得x <－1或x >1
a .
③当a <0时，不等式可化为⎝
⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0. 若1a <－1，即－1<a <0，则1
a <x <－1； 若1
a ＝－1，即a ＝－1，则不等式的解集为空集； 若1a >－1，即a <－1，则－1<x <1a .
综上所述，当a <－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
－1<x <1a ； 当a ＝－1时，不等式解集为∅；
当－1<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
1a <x <－1；
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x <－1}；
当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪
x <－1或x >1a . (2)∵当x ＝－a 时不等式成立，
∴－a 2－1－a ＋1
>0，即－a ＋1<0， ∴a >1，即a 的取值范围为{a |a >1}．
21．解析：(1)根据题意，
200⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x －14－3x ≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.
(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝
⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元．
22．解析：(1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝1＋b
2a ＝b ，解得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝2.
(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，
即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.
①当c >2时，2<x <c ；
②当c <2时，c <x <2；
③当c ＝2时，原不等式无解．
综上知，当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}；
当c ＝2时，原不等式的解集为∅.。