第一类曲线积分

§1 第一类曲线积分的计算
设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为
()()()
()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪
=≤≤⎨⎪
=⎩
则
()()()()
,,,,T
l
t f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰
⎰. 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a x b ≤
≤,那么有
((,) , ()b
l
a
f x y ds f x x ϕ=⎰⎰.
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。

求22
()l
x y ds +⎰。

例:设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段,计算第一类曲线积分l
yds ⎰。

例：计算积分2l
x ds ⎰
,其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。

例：求()l
I x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。

§2 第一类曲面积分的计算
一 曲面的面积
（1）设有一曲面块S ，它的方程为
(),z f x y =。

(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影
xy σ为可求面积的.则该
曲面块的面积为
xy
S σ=。

（2）若曲面的方程为
()()()
,,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪
=⎨⎪
=⎩
令
222u u u E x y z =++,u v u v u v F x x y y z z =++,222
v v v
G x y z =++， 则该曲面块的面积为
S ∑
=。

例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。

例:求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积. 二 化第一类曲面积分为二重积分
（1)设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数.曲面S 的方程为(),z f x y =。

(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数,即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的.则
()(
),,,,,xy
S
x y z dS x y f x y σφφ=⎡⎣⎰⎰⎰⎰。

（2）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。

若曲面的方程为
()
()()
,,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪
=⎨⎪
=⎩ 令
222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222
v v v
G x y z =++， 则
()()()(
),,,,,,,S
x y z dS x u v y u v z u v φφ∑
=⎡⎣⎰⎰⎰⎰。

例：计算
()S
x y z dS ++⎰⎰,S 是球面2222
x y z a ++=，0z ≥。

例：计算
S
zdS ⎰⎰，其中S 为螺旋面的一部分：
()cos sin 0,02x u v
y u v u a v z v π=⎧⎪
=≤≤≤≤⎨⎪=⎩
.
注:第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。

例：I=
S
，S 是球面，球心在原点，半径为R 。

§3 第二类曲线积分
一 变力做功和第二类曲线积分的定义
1。

力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功。

先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得
AB
W F ds =
⋅⎰。

2. 第二型曲线积分的定义
定义 1 设L 是一条光滑或逐段光滑曲线，且设(),,f x y z 是定义在L 上的有界函数，将L 沿确定方向从起点A 开始用分点(),,i i i i A x y z 分成n 个有向弧段1i i A A +，直至终点B 。

且设1i i i x x x +∆=-。

在每一弧段1i i A A + 上任取一点(),,i i i i P ξηζ，作和式：
()()1
1
,,n n
i i i i i i i i f P x f x σξηζ===∆=∆∑∑。

其中()1111,,A x y z 为起点
A ,()1111,,n n n n A x y z ++++为终点
B 。

设{
}
1max i i i
A A λ--------
+=，这里1i i A A --------
+表示有向线段1i i A A --------
+的长度。

若当0λ→时，和σ有极限I ,且它与L 的分法无关，也与点i P 的选择无关,则称I 为
(),,f x y z dx 沿曲线L 按所述方向的第二类曲线积分,记作
(),,L
I f x y z dx =⎰ 或 (),,AB
I f x y z dx =⎰
.
注：如果向量()()()()()
,,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L 按一定方向的第二类曲线积分为
()()(),,,,,,L
I P x y z dx Q x y z dy R x y z dz =++⎰。

注:第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的.这是第二类曲线积分的一个很重要性质,也是它区别于第一类曲线积分的一个特征.
注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在
关的。

二 第二类曲线积分的计算
设曲线AB 自身不相交，其参数方程为：
()()()()0,,x x t y y t z z t t t T ===≤≤.
且设AB 是光滑的。

设当参数t 从0t 调地增加到T 时,曲线从点A 按一定方向连续地变到点B 。

设函数
(),,P x y z 定义在曲线AB 上，且设它在AB 上连续。

则
()()()()()0
0,,,,'T L t P x y z dx P x t y t z t x t dt =⎡
⎤⎣⎦⎰⎰。

(*） 注：（＊）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。

注：如果向量()()()()()
,,,,,,,,,,f x y z P x y z Q x y z R x y z =，则向量沿曲线L 按一定方向的第二类曲线积分为
()()()()()()()()()()()()()()(){}00
,,,,,,,,',,',,'L
T t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt
++=++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰
例：计算积分
()L
xydx y x dy ++⎰
, L 的两个端点为A （ 1, 1 ） ， B ( 2 ， 3 )。

积分从点A 到点B 或闭合,
路径为
（1）直线段AB ;
（2）抛物线1)1(22
+-=x y ；
（3）折线闭合路径A ( 1， 1 ）→D （ 2 ， 1 ) → B ( 2 , 3 ） → A ( 1, 1 )。

例:计算积分
⎰+L
ydx xdy ， 这里L ：
(1）沿抛物线2
2x y =从点O （ 0 , 0 )到点B ( 1 , 2 ）； （2）沿直线x y 2=从点O ( 0 , 0 )到点B （ 1 ， 2 );
（3）沿折线封闭路径O (0，0） →A （1,0 ） →B （1,2 ） → O （0，0）。

例：计算第二型曲线积分I =
2()L
xydx x y dy x dz +++⎰
, 其中L 是螺旋线t a x cos =，bt z t a y == , sin ，
从0=t 到π=t 的一段. 三 两类曲线积分的联系
第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的,由于都是沿曲线的积分,两者之间又有密切联系。

两者之间的联系式为
()()()()()()()()(){},,,,,,,,cos ,,,cos ,,,cos ,AB
AB
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x y z t x Q x y z t y R x y z t z ds
++=++⎰
⎰
例：证明：对于曲线积分的估计式为
(),l
Pdx Qdy LM L +≤⎰式中为曲线段的长度
(),max x y M ∈=。

利用这个不等式估计：
()
222
2
2
2R x y R ydx xdy
I x
xy y
+=-=
++⎰
并证明lim 0R R I →∞
=。

例：设平面区域D 有一条连续闭曲线L 所围成,区域D 的面积设为S ，推导用曲线积分计算面积S 的公式为：
12
L
S xdy ydx =
-⎰。

§4 第二类曲面积分
一 曲面的侧的概念 1．单侧曲面与双侧曲面
在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的,牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子. 2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧
双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧,左、右侧,前、后侧。

设法向量为 )cos , cos , (cos γβα±=n ， 则上侧法线方向对应第三个分量0>, 即选“+”号时，应有0cos >γ，亦即法线方向与Z 轴正向成锐角。

类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧。

二 第二类曲面积分的定义 先讨论由显式方程
(),z z x y =
表示的无重点的光滑曲面S ，并设S 在XY 平面上的投影为边界由逐段光滑曲线T 所围成的区域xy σ。

设选定了曲面的一侧,从而也确定了它的定向。

现在将有向曲面S 以任何方法分割为n 小块()1,2
,Si i n =.设i G 为i S 在XY 平面上的投影,从而也
得到区域xy σ的一个相应分割.如果取的是上侧,这时所有i G 算作正的。

如取下侧，这时所有i G 算作负的。

设有界函数(),,f x y z 定义在S 上，在每一小块i S 任取一点(),,i i i i P ξηζ，作和式
()1
,,n
i i i i i f D σξηζ==∑
其中i D 表示i G 的面积。

由上述所见，i D 是带有符号的,它们的符号是由所选的侧来决定的。

设i d 为i S 的致敬，记{}max i d λ=.若当0λ→时，σ有确定的极限I ，且I 与曲面分割的方法无关，也点i P 的选择无关，
则称I 为(),,f x y z dxdy 沿曲面S 的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为
(,,)S
I f x y z dxdy =⎰⎰.
注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：
()()(),,,,,,S
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰。

注:如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。

三 两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系 设n 为曲面S 的指定法向, 则
⎰⎰++S
dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(
=[]
⎰⎰++S
dS z n z y x R y n z y x Q x n z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(。

定理 1 设),,(z y x R 是定义在光滑曲面∈=),(
, ),( :y x y x z z S D xy 上的连续函数, 以S 的上侧为正侧(即0),cos(>z n )， 则有
()⎰⎰⎰⎰=S
D xy
dxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,(.
类似地， 对光滑曲面∈=),(
, ),( :z y z y x x S D yz , 在其前侧上的积分
()⎰⎰⎰⎰=S
D yz
dydz z y z y x P dydz z y x P , , ),(),,(。

对光滑曲面∈=),(
, ),( :x z x z y y S D zx , 在其右侧上的积分
()⎰⎰⎰⎰=S
D yz
dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q , ),( , ),,(.
计算积分
⎰⎰++S
Rdxdy Qdzdx Pdydz 时, 通常分开来计算三个积分
⎰⎰S
Pdydz , ⎰⎰S
Qdzdx , ⎰⎰S
Rdxdy 。

为此，分别把曲面S 投影到YZ 平面, ZX 平面和XY 平面上化为二重积分进行计算。

投影域的侧由曲面S 的定
向决定.
推论 设),,(z y x P ,),,(z y x Q ，),,(z y x R 是定义在光滑曲面 , ),( :y x z z S =∈),(y x D xy 上的连续函数,则有
⎰⎰++S
dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(
=
[]⎰⎰++dS z n z y x R y n z y x Q x n z y x P ),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(
.)]),(,,(),()),(,,(),()),(,,([dxdy y x z y x R y x z y x z y x Q y x z y x z y x P X Y
D y x ⎰⎰+--±=
曲面 S 的方向为上侧， 则等式前取“＋”号； 曲面 S 的方向为下侧， 则等式前取“－”号. 例：计算积分⎰⎰S xyzdxdy
,其中S 是球面1222=++z y x 在0 , 0≥≥y x 部分取外侧。

例：计算积分⎰⎰∑
++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，∑为球面2222
R z y x
=++取外侧.
解： 对积分
⎰⎰∑
+dydz y x )(, 分别用前
∑
和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有
前∑ : ,222z y R x --=
222 :R z y D yz ≤+；
后∑： ,2
22z y R x ---= 222 :R z y D yz ≤+。

因此， ⎰⎰∑
+dydz y x )(=⎰⎰
∑前
+
⎰⎰
∑后
(
)
⎰⎰-
+--=
yz
D dydz y z y R 22
2()
yz
D y dydz ⎰⎰
222
cos , sin 20
2
8y r z r y z R d rdr πθθ
θ==+≤============⎰⎰⎰⎰
()
30
2
32
23
4
322
1
4R r R R r r ππ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅--===. 对积分
dx dz z y ⎰⎰∑
-)(， 分别用右
∑
和左∑记右半球面和左半球面的外侧， 则有
右∑： ,222x z R y --=
222 :R z x D zx ≤+;
左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+. 因此, =-⎰⎰∑
dydz z y )(⎰⎰
∑右
+
⎰⎰
∑左
()()
⎰⎰⎰⎰--------=
zx
zx
D D dzdx z x z R dzdx z x z R
222222
⎰⎰
≤+=--=2
22
32223
4
2
R z x R dzdx x z R π。

对积分
dxdy x z ⎰⎰∑
+)3(， 分别用上
∑
和下∑记上半球面和下半球面的外侧， 则有
上∑: ,222y x R z --=
222 :R y x D xy ≤+;
下∑： ,222y x R x ---= 2
22 :R y x D xy ≤+.
因此，
dxdy x z ⎰⎰+)3(=⎰⎰
+
⎰⎰
)()
33xy
xy
D D x dxdy x dxdy =
-⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
≤+=--=2
2232223
4
2
R y x R dxdy y x R π.
综上,
⎰⎰∑
++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=33
43
43R R ππ=⨯。