2014高考数学(文)二轮专题复习与测试练习题：选修4-5不等式选讲(全国卷)含解析

选修4－5不等式选讲
1．(2013·江苏卷)已知a≥b〉0,求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
2．（2013·福建卷）设不等式|x－2|<a（a∈N*）的解集为A，且错误!∈A，错误!∉A.
（1)求a的值;
（2)求函数f(x）＝｜x＋a｜＋｜x－2|的最小值．
3．设函数f（x)＝|x－1｜＋|x－2|。

（1)画出函数y＝f(x）的图象；
(2）若不等式|a＋b｜＋|a－b｜≥｜a|f（x）(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
4．(2013·昆明市调研测试）已知函数f(x)＝｜x＋3|＋|x－a|(a>0)．
（1)当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；
(2)若f(x）≥6的解集为{x｜x≤－4或x≥2}，求a的值．
5．已知a，b为正实数．
(1)求证：错误!＋错误!≥a＋b；
(2)利用（1)的结论求函数y＝错误!＋错误!（0〈x〈1）的最小值．
6．已知函数f(x)＝2错误!＋错误!.
（1)求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；
(2)若关于x的不等式f（x)≤｜m－2｜恒成立，求实数m的取
值范围．
7．（2013·全国卷Ⅰ）已知函数f（x)＝|2x－1｜＋|2x＋a｜，g(x）＝x＋3。

(1)当a＝－2时，求不等式f（x）<g(x)的解集；
(2)设a>－1时,且当x∈错误!时，f(x）≤g(x）,求a的取值范围．
8．已知函数f(x）和g（x)的图象关于原点对称，且f（x)＝x2
＋2x.
（1）解关于x的不等式g(x）≥f(x)－|x－1｜；
(2)如果对∀x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1｜恒成立，求实数c的取值范围．
9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1
xy≤错误!＋错误!＋xy;
（2）1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c。

详解答案：
1．证明：2a3－b3－（2ab2－a2b）＝2a（a2－b2)＋b(a2－b2）＝(a2－b2)(2a＋b)＝（a－b）（a＋b）（2a＋b）．
因为a≥b>0，所以a－b≥0,a＋b>0，2a＋b〉0，
从而（a－b)（a＋b) （2a＋b）≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.
2．解析: （1)因为3
2
∈A，且错误!∉A，所以错误!〈a,且错误!≥a，
解得错误!<a≤错误!。

又因为a∈N*，所以a＝1.
(2)因为|x＋1｜＋|x－2|≥|（x＋1)－(x－2)｜＝3，
当且仅当(x＋1)（x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，
所以f（x）的最小值为3.
3。

解析：（1)f（x)＝错误!
图象如图．
（2)由|a＋b|＋｜a－b｜≥|a｜f（x）得错误!≥f(x)．又因为错误!≥错误!＝2。

则有2≥f（x)．解不等式2≥|x－1｜＋|x－2｜得错误!≤x≤错误!。

即x的取值范围为错误!.
4．解析：（1)因为|x＋3｜＋|x－4|≥｜x＋3－x＋4｜＝7，当且仅当(x＋3)（x－4）≤0时等号成立．
所以f （x )＝7时，－3≤x ≤4，故x ∈［－3，4]．
（2）由题知f （x )＝｛ a －3－2x x ≤－3a ＋3－3〈x 〈a
2x ＋3－a x ≥a ,
当a ＋3≥6时，不等式f （x ）≥6的解集为R,不合题意； 当a ＋3〈6时，不等式f (x )≥6的解为错误!或错误!，即错误!或错误!. 又因为f (x ）≥6的解集为{x |x ≤－4或x ≥2｝，所以a ＝1.
5．解析: (1)证明：方法一：∵a 〉0，b >0，
∴(a ＋b ）错误!
＝a 2＋b 2＋a 3b
＋错误! ≥a 2＋b 2＋2ab
＝（a ＋b ）2。

∴a 2b
＋错误!≥a ＋b ,当且仅当a ＝b 时等号成立． 方法二：a 2b
＋错误!－(a ＋b ) ＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!，
又∵a>0，b〉0，
∴a－b2a＋b
ab≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．
∴错误!＋错误!≥a＋b。

方法三：∵a>0，b>0,
∴a2＋b2≥2ab。

∴a＋错误!≥2b，b＋错误!≥2a,
∴（a＋b)＋错误!≥2a＋2b.
∴错误!＋错误!≥a＋b.
(当且仅当a＝b时取等号）．
(2)∵0〈x<1,
∴1－x>0，
由(1)的结论,函数y＝错误!＋错误!≥（1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x,
即x＝错误!时等号成立．
∴函数y＝错误!＋错误!(0<x<1）的最小值为1。

6．解析：(1)证明：由柯西不等式得（2错误!＋错误!)2≤(22＋12）[(x)2＋（错误!）2］＝25。

所以f(x）＝2错误!＋错误!≤5.
当且仅当错误!＝错误!，即x＝4时,等号成立．
（2)由（1）知f(x）≤5,又不等式f（x)≤|m－2|恒成立,
所以｜m－2|≥5,解得m≥7或m≤－3。

故m的取值范围为（－∞，－3]∪［7，＋∞)．
7．解析: （1）当a＝－2时，不等式f（x）<g（x）化为|2x －1|＋｜2x－2|－x－3〈0。

设函数y＝｜2x－1|＋｜2x－2|－x－3，
则y＝错误!
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0，2）时,y〈0，所以原不等式的解集是{x|0<x〈2｝．
(2)当x∈错误!时,f（x）＝1＋a，
不等式f(x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈错误!都成立,
故－错误!≥a－2，即a≤错误!.
从而a的取值范围是错误!.
8．解析：(1)∵函数f（x)和g(x）的图象关于原点对称，
∴g(x）＝－f（－x)＝－(x2－2x)，
∴g（x）＝－x2＋2x，x∈R。

∴原不等式可化为2x2－|x－1|≤0。

上面的不等式等价于错误!①
或错误!②
由①得－1≤x≤错误!,而②无解．
∴原不等式的解集为错误!。

(2)不等式g（x)＋c≤f(x）－｜x－1|可化为c≤2x2－｜x－1｜。

令函数F(x）＝错误!
当x≥1时,F（x)min＝2；
当x＜1时，F（x)min＝F错误!＝－错误!.
综上，可得函数F（x）的最小值为－错误!,
所以实数c的取值范围是错误!.
9．证明: （1）由于x≥1，y≥1，
要证x＋y＋1
xy≤错误!＋错误!＋xy，
只需证xy（x＋y)＋1≤y＋x＋(xy）2。

因为［y＋x＋（xy）2］－［xy(x＋y）＋1］＝[（xy）2－1］－[xy（x＋y）－（x＋y）］
学必求其心得，业必贵于专精
＝（xy＋1)(xy－1)－（x＋y)（xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1）(y－1）．
由条件x≥1，y≥1，得（xy－1)(x－1）(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
(2）设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝错误!，log b a ＝错误!，log c b＝错误!，log a c＝xy.
于是,所要证明的不等式即为x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy。

其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.
故由(1)可知所要证明的不等式成立．。