2023年人教版数学八年级上册第十五章 小结与复习课件优选课件
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一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有
字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子， B叫做分式的分母.
当_______时分式有意义； 当_______时分式无意义.
当___________时，分式 的值为零. A A C , A A C（C 0）. B BC B BC
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母 的公因式约去，叫做分式的约分．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分 式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定 注意要验根．
针对训练
6.解方程：x x
2 2
1
16 x2 4 .
解：最简公分母为(x+2)(x﹣2)， 去分母，得(x﹣2)2﹣(x+2)(x﹣2)=16， 整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2， 经检验，x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
针对训练
5.已知x2-5x+1=0,求x4 1 的值.
x4
解：∵x2-5x+1=0,
∴ x5
1 x
0,
即
x
1 x
5.
∴
x4
1 x4
(x2
1 x2
)2
2
[(x 1 )2 2]2 2 x
(25 2)2 2
527.
考点三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
(1) 1 1 0;(2) x 4 2 3 .
针对训练
4.有一道题：“先化简，再求值：(
x x
2 2
4x x2
) 4
1 x2
4
,
其中
”.小玲做题时把
错抄成
,但
她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?
( x 2 4x ) 1 (x 2)2 4x (x2 4)
x 2 x2 4 x2 4
x2 4
x2
4x x2
4 4
(1)在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程. (2)解这个整式方程. (3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解，否则不是，须舍去.
列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:清题意； (2)设:未知数； (3)找:相等关系； (4)列:出方程； (5)解:这个分式方程； (6)验:根（包括两方面 :一是否是分式方程的根； 二是否符合题意）；
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子、分母所有的公因式．
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化 成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的 通分. 最简公分母的定义 为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速 度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普 通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根 据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3 小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则 高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
y
)
x2
2x 2xy
y2
的值.
解析：先化简分式再代入求值，可以简化运算.
解：原式=
2x
(x y)2 x y .
(x y)(x y) 2x x y
原式= 1 2 (1 2) 2 2 2.
1 2 1 2 2
归纳总结
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可 以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求 出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有 直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件， 这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的 方法.
归纳总结
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条 件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子 为0而分母不为0.
针对训练
1.若分式 1 无意义，则x的值
.
x3
2.若分式 a 2 的值为零，则a的值为
.
a2
考点二 分式的性质及有关计算
x 例2 如果把分式 x y 中的 x 和 y 的值都扩大为原 来的3倍，那么分式的值（ ）
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解， 且符合题意，则高铁的平均速度是120×2.5＝ 300(千米/时)．
针对训练
7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天 比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计 划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依 题意列出正确的方程为（ ）
A 90 90 3 . x x 1
b c bc a d ad
b c b d bd a d a c ac
( a )n b
an bn
.
a b ab . cc c a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
(7)写:答案.
考点一 分式的有关概念
例1
如果分式
x2 x
1 1
的值为0，那么x的值为
1
.
解析：根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，
列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x取值时分式
的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解得
x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
针对训练
9.已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
的值.
解：
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
本题还可以由已
(x y)(x y) 2x(x y) (x y)2 y(x y)
知条件设 x=2m,y=3m.
2x. y
∵ x 2 ，∴ 原式= 4 .
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已 知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路 程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车 的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘 即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米；
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
1 6
针对训练
3.下列变形正确的是(
A. a b
a2 b2
C. 2 x x 2 x 1 1 x
)
a b a2 b
B. a
a2
D. 6 x2 y 2 x 9xy2 9 y
例3 已知x= 1
2 ,y= 1
2，求
(
x
1
y
x
1
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
5
解：∵
2a b 3 ，
a 2b 14
∴a 4b
5
.
∴原式=
( 4 b)2 5
b2
41.
( 4 b)2 b2
9
5
归纳ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含 有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个 关系式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是 主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主 元，其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代 数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几 个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母 视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字 视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
x 1 x 1
x 1 x 1
解析：两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解
得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．
解：（1）去分母，得x+1+x﹣1=0，解得x=0，
经检验，x=0是分式方程的解；
（2）去分母，得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3，
经检验，x=﹣3是分式方程的解．
归纳总结
解得 x=4.
600 x
600 5x
30.
4
经检验，故x=4原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五 本章数学思想和解题方法
例7.已知：2a b 3 ，求
a 2b 14
a2 a2
b2 b2
的值.
解析：由已知可以变形为用b来表示a的形式，可
得 a 4 b ，代入约分即可求值.
4x
(x2
4)
x2
4
( 3)2 ( 3)2 3, 所以结果与x的符号无关.
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显
然现在解不出a的值，若将
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用公式变形求值就简单多了．
归纳总结
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与 所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值 问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
C. 90 90 3 x x 1
B. 90 90 3 x 1 x
D. 90 90 3
x 1 x
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次
又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一 次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.求第
4
一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
y3
3
分式方程 的应用
一审二设三找四列 五解六检七写，尤 其不要忘了验根
行程问题、工程问 题、销售问题等
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子， B叫做分式的分母.
当_______时分式有意义； 当_______时分式无意义.
当___________时，分式 的值为零. A A C , A A C（C 0）. B BC B BC
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母 的公因式约去，叫做分式的约分．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分 式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定 注意要验根．
针对训练
6.解方程：x x
2 2
1
16 x2 4 .
解：最简公分母为(x+2)(x﹣2)， 去分母，得(x﹣2)2﹣(x+2)(x﹣2)=16， 整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2， 经检验，x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
针对训练
5.已知x2-5x+1=0,求x4 1 的值.
x4
解：∵x2-5x+1=0,
∴ x5
1 x
0,
即
x
1 x
5.
∴
x4
1 x4
(x2
1 x2
)2
2
[(x 1 )2 2]2 2 x
(25 2)2 2
527.
考点三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
(1) 1 1 0;(2) x 4 2 3 .
针对训练
4.有一道题：“先化简，再求值：(
x x
2 2
4x x2
) 4
1 x2
4
,
其中
”.小玲做题时把
错抄成
,但
她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?
( x 2 4x ) 1 (x 2)2 4x (x2 4)
x 2 x2 4 x2 4
x2 4
x2
4x x2
4 4
(1)在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程. (2)解这个整式方程. (3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解，否则不是，须舍去.
列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:清题意； (2)设:未知数； (3)找:相等关系； (4)列:出方程； (5)解:这个分式方程； (6)验:根（包括两方面 :一是否是分式方程的根； 二是否符合题意）；
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子、分母所有的公因式．
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化 成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的 通分. 最简公分母的定义 为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速 度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普 通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根 据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3 小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则 高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
y
)
x2
2x 2xy
y2
的值.
解析：先化简分式再代入求值，可以简化运算.
解：原式=
2x
(x y)2 x y .
(x y)(x y) 2x x y
原式= 1 2 (1 2) 2 2 2.
1 2 1 2 2
归纳总结
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可 以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求 出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有 直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件， 这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的 方法.
归纳总结
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条 件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子 为0而分母不为0.
针对训练
1.若分式 1 无意义，则x的值
.
x3
2.若分式 a 2 的值为零，则a的值为
.
a2
考点二 分式的性质及有关计算
x 例2 如果把分式 x y 中的 x 和 y 的值都扩大为原 来的3倍，那么分式的值（ ）
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解， 且符合题意，则高铁的平均速度是120×2.5＝ 300(千米/时)．
针对训练
7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天 比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计 划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依 题意列出正确的方程为（ ）
A 90 90 3 . x x 1
b c bc a d ad
b c b d bd a d a c ac
( a )n b
an bn
.
a b ab . cc c a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
(7)写:答案.
考点一 分式的有关概念
例1
如果分式
x2 x
1 1
的值为0，那么x的值为
1
.
解析：根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，
列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x取值时分式
的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解得
x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
针对训练
9.已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
的值.
解：
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
本题还可以由已
(x y)(x y) 2x(x y) (x y)2 y(x y)
知条件设 x=2m,y=3m.
2x. y
∵ x 2 ，∴ 原式= 4 .
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已 知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路 程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车 的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘 即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米；
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
1 6
针对训练
3.下列变形正确的是(
A. a b
a2 b2
C. 2 x x 2 x 1 1 x
)
a b a2 b
B. a
a2
D. 6 x2 y 2 x 9xy2 9 y
例3 已知x= 1
2 ,y= 1
2，求
(
x
1
y
x
1
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
5
解：∵
2a b 3 ，
a 2b 14
∴a 4b
5
.
∴原式=
( 4 b)2 5
b2
41.
( 4 b)2 b2
9
5
归纳ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含 有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个 关系式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是 主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主 元，其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代 数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几 个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母 视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字 视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
x 1 x 1
x 1 x 1
解析：两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解
得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．
解：（1）去分母，得x+1+x﹣1=0，解得x=0，
经检验，x=0是分式方程的解；
（2）去分母，得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3，
经检验，x=﹣3是分式方程的解．
归纳总结
解得 x=4.
600 x
600 5x
30.
4
经检验，故x=4原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五 本章数学思想和解题方法
例7.已知：2a b 3 ，求
a 2b 14
a2 a2
b2 b2
的值.
解析：由已知可以变形为用b来表示a的形式，可
得 a 4 b ，代入约分即可求值.
4x
(x2
4)
x2
4
( 3)2 ( 3)2 3, 所以结果与x的符号无关.
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显
然现在解不出a的值，若将
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用公式变形求值就简单多了．
归纳总结
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与 所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值 问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
C. 90 90 3 x x 1
B. 90 90 3 x 1 x
D. 90 90 3
x 1 x
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次
又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一 次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.求第
4
一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
y3
3
分式方程 的应用
一审二设三找四列 五解六检七写，尤 其不要忘了验根
行程问题、工程问 题、销售问题等
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。