江西省南昌市初中教育集团化联盟2019-2020学年中考数学模拟试卷

江西省南昌市初中教育集团化联盟2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.
23π-
B.
23
π
C.π
D.π-2．如图，在△ABC 中，以边BC 为直径做半圆，交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，若＝2
＝
2
，则下外说法正确的是（ ）
A.AB ＝AE
B.AB ＝2AE
C.3∠A ＝2∠C
D.5∠A ＝3∠C
3．已知，则
等于（ ） A.1
B.3
C.-1
D.-3
4．不等式组的整数解之和为( ) A.–3
B.–1
C.1
D.3
5．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下： ①分别以点DE 为圆心，大于DE 的长为半径作弧两弧交于F ； ②作射线BF ，交边AC 于点H ；
③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ； ④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；
所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A.①②③④
B.④③①②
C.②④③①
D.④③②①
6．电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元．数据4559000000用科学记数法表示为（ ） A ．845.5910⨯；
B ．945.5910⨯；
C ．94.55910⨯；
D ．104.55910⨯．
7．2018年某区域GDP （区域内生产总值）总量为90.03亿元，用科学计数法表示90.03亿为（ ）
A ．9.003×1010
B ．9.003×109
C ．9.003×108
D ．90.03×108
8．二次函数y=ax 2
+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=a
x
与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ＝15，CD ⊥AB 于M ，如果sin ∠ACB ＝，则AB ＝（ ）
A.24
B.12
C.9
D.6
10．如果反比例函数2
a y x
-=（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（ ） A ．a<0
B ．a>0
C ．a<2
D ．a>2
11．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，求这两年的年利润的平均增长率，设企业这两年的年利润平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．300（1+x ）2＝507 B ．300（1﹣x ）2＝507 C ．300（1+2x ）＝507 D ．300（1+x 2）＝507
12．下列计算正确的是（ ） A ．2242a a a ⋅= B ．236
()a a -=-
C ．222363a a a -=
D ．2
2
(2)4a a -=-
二、填空题
13．如图，AB ∥CD ，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E 的度数是_____．
14．在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于
1
2
AB 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．如果BC ＝5，CD ＝2，那么AD ＝_____．
15．已知抛物线2
=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12
y y ≥时x 的取值范围是___________.
16．如图所示，在66⨯的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线框中的数字不重复，则a c +=_____.
17有意义，则实数x 的取值范围是______．
18．计算(1+1x )÷221
x x x
++的结果为____．
三、解答题
19．如图，己知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A→B→C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒．
（1）当t ＝2.5时，PQ ＝ ；
（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；
（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
20．某幼儿园购买了A ，B 两种型号的玩具，A 型玩具的单价比B 型玩具的单价少9元，已知该幼儿园用了3120元购买A 型玩具的件数与用4200元购买B 型玩具的件数相等． （1）该幼儿园购买的A ，B 型玩具的单价各是多少元？
（2）若A ，B 两种型号的玩具共购买200件，且A 型玩具数量不多于B 型玩具数量的3倍，则购买这些玩具的总费用最少需要多少元？
21．某校为了调查初三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了初三男生和女生各50人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了初三男生的学习时间的频率分布表和女生学习时间的频率分布直方图（学习时间x ，单位：小时，0≤x≤6）． 男生周日学习时间频率表
（2）从这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到一男一女的概率．
22．计算：020194sin 60|2|(1)--+-．
23．如图,在平面直角坐标系中,已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是()()()2,2,4,0,4,4A B C -.
(1)请在图中,画出ABC ∆绕着点O 逆时针旋转90后得到的111A B C ∆,则111AC
B ∠的正切值为 . (2)以点O 为位似中心,将AB
C ∆缩小为原来的
1
2
,得到222A B C ∆,请在图中y 轴左侧,画出222A B C ∆,若点()P m n ,是ABC ∆上的任意一点,则变换后的对应点'P 的坐标是 .
24．有一块含30°角的直角三角板OMN ，其中∠MON ＝90°，∠NMO ＝30°，ON ＝，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC 的顶点B 与点O 重合，BC 边落在OM 上，点A 恰好落在斜边MN 上，将等边△ABC 从图1的位置沿OM 方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与斜边MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）（0＜t ＜6）． （1）等边△ABC 的边长为 ；
（2）在运动过程中，当 时，MN 垂直平分AB ；
（3）当0＜t ＜6时，求直角三角板OMN 与等边△ABC 重叠部分的面积S 与时间t 之间的函数关系式．
25．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ． （1）若∠BAD ＝70°，则∠BCA ＝ °； （2）若AB ＝12，BC ＝5，求DE 的长： （3）求证：BE 是⊙O 的切线．
【参考答案】*** 一、选择题
13．70° 14．3
15．x≤-2或x≥3 16．3 17．x≥-3 18．
11
x + 三、解答题
19．（1；（2）223(05)5
1640(58)
t t S t t t ⎧
<⎪=⎨⎪-+-<⎩……（3）存在．当t ＝165，t ＝4011，t ＝3.4时，△PQC 为等腰三角形． 【解析】 【分析】
（1）如图1，过Q 作QE ⊥AC 于E ，连接PQ ，求出QE ，PE ，利用勾股定理即可解决问题． （2）由三角形的面积公式即可求得；
（3）存在，如图2，连接CQ ，PQ ，分三种情况①当CQ=CP 时，②当PQ=CQ 时，③当PQ=PC 时，列方程求解即可． 【详解】
（1）如图1，过Q 作QE ⊥AC 于E ，连接PQ ，
在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB
10， ∵t ＝2.5， ∴AQ ＝5，AP ＝2.5， ∴QE ∥BC ，
AQ QE AE
AB BC AC ∴==, 51068
QE AE ∴
==, ∴QE ＝3，AE ＝4， ∴PE ＝4﹣2.5＝1.5， ∴PQ
5
=，
． （2）如图1，△ABC 被直线PQ 扫过的面积＝S △AQP ， 当Q 在AB 边上时，S ＝
*21163
2255
AP QE t t t ⋅==，（0＜t≤5） 当Q 在BC 边上时，△ABC 被直线PQ 扫过的面积＝S 四边形ABQP ， ∴S 四边形ABQP ＝S △ABC ﹣S △PQC ＝
12×8×6﹣12
（8﹣t ）•（16﹣2t ）＝﹣t 2
+16t ﹣40，（5＜t≤8）； ∴经过t 秒的运动，△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式是：
S ＝2
23(05)51640(58)
t
t t t t ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩…… ．
（3）存在．
当点Q 在AB 边上时，如图2，连接CQ ，PQ ，
由（1）知QE ＝
65t ，CE ＝AC ﹣AE ＝8﹣85t ，PQ
＝5
t ，
∴CQ =， ①当CQ ＝CP 时，
8t =-，
解得；t ＝
，
②当PQ ＝CQ 时，
=
解得：t ＝
40
11
或8（不合题意舍去）， ③当PQ ＝PC 时，
t ＝8﹣t ， 解得：t≈3.4； 当点Q 在BC 边上时， ∵∠ACB ＝90°，
∴△PQC 是等腰直角三角形， ∴CQ ＝CP ， ∴8﹣t ＝16﹣2t ，
∴t ＝8，∴P ，Q ，C 重合，不合题意， 综上所述：当t ＝165，t ＝4011
，t ＝3.4时，△PQC 为等腰三角形． 【点睛】
三角形综合题，考查了平行线分线段成比例定理，解直角三角形，勾股定理，多边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
20．（1）该幼儿园购买的A ，B 型玩具的单价各是26元，35元；（2）购买这些玩具的总费用最少需要5650元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以求得该幼儿园购买的A ，B 型玩具的单价各是多少元；
（2）根据题意可以得到费用与购买A 型和B 型玩具之间的关系，从而可以解答本题． 【详解】
解：（1）设购买A 型玩具的单价是x 元，则购买B 型玩具的单价是（x+9）元，
31204200
9
x x =+， 解得，x ＝26，
经检验，x ＝26是原分式方程的解， ∴x+9＝35，
答：该幼儿园购买的A ，B 型玩具的单价各是26元，35元；
（2）设购买A型玩具a件，则购买B型玩具（200﹣a）件，所需费用为w元，
w＝26a+35（200﹣a）＝﹣9a+7000，
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝﹣9×150+7000＝5650，
答：购买这些玩具的总费用最少需要5650元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
21．（1）该校初三年级周日学习用时较长的是男生；（2）3 5
【解析】
【分析】
（1）分别求出男生和女生周日学习用时的平均数，由此判断即可；
（2）从被抽到的100名学生中周日学习用时在[5，6]内的学生中男生由2人，女生由4人，列树状图求得抽到1男1女的概率即可．
【详解】
解：（1）由频数分布直方图得女生学习时间的平均数为：1 50
（10×1.5+10×2.5+14×3.5+8×4.5+2×5.5）＝2.75；
由男生周日学习时间频率表得男生学习时间的平均数为：
0.5×0.34+1.5×0.36+2.5×0.38+3.5×0.22+4.5×0.14+5.5×0.06＝3.39，
∵2.75＜3.39，
∴该校初三年级周日学习用时较长的是男生；
（2）这100名学生中周日学习用时在5≤x≤6内的学生中，男生有3人，女生有2人，列树状图如图所示，由树状图可知，共有20种情况；
刚好抽到一男一女的有12种等可能结果，
所以刚好抽到一男一女的概率为123 205
．
【点睛】
此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．﹣3．
【解析】
【分析】
本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值和乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
解：原式＝4212132
⨯--=-=-． 【点睛】
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握三角函数、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
23．（1）图详见解析，1111tan 3
AC B ∠=；（2）图详见解析，变换后的对应点P '的坐标是11(,)22
m n --. 【解析】 【分析】
1）依据旋转的方向、角度和旋转中心，即可得到△ABC 绕着点O 逆时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1，进而得到∠A 1C 1B 1的正切值；.
（2）依据点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的1
2
，即可得到△A 2B 2C 2，以及变换后的对应点P′的坐标． 【详解】
(1)如图所示,111A B C ∆即为所求；由题可得，1112
1tan 6
3
AC B ∠=
=； (2)如图所示,222A B C ∆即为所求，
∵点()P m n ,是ABC ∆上的任意一点，点O 为位似中心， ∴变换后的对应点P '的坐标是11(,)22
m n --
.
【点睛】
此题主要考查了利用旋转变换以及位似变换作图，得出图形变换后对应点位置是解题关键．
24．（1）3；（2）3；（3
）22(03)
(36)
t S t +<=-<<….
【解析】 【分析】
（1）根据，∠OMN ＝30°和△ABC 为等边三角形，求证△OAM 为直角三角形，然后即可得出答案． （2）易知当点C 与M 重合时直线MN 平分线段AB ，此时OB ＝3，由此即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD ⊥FM 于D ．根据S ＝S △MEB ﹣2S △MDC ，计算即可．②当3＜t ＜6时，S ＝S △MEB ． 【详解】
解：（1）在Rt △MON 中，∵∠MON ＝90°，ON ＝
M ＝30° ∴OM
＝6，
∵△ABC为等边三角形
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAM＝90°
∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，
∴OA＝1
2
OM＝
1
2
×6＝3．
故答案为3．
（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，所以t＝3．故答案为3．
（3）易知：OM＝6，MN＝
，S△OMN＝
1
2
×6＝
∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，
∴∠BEM＝90°．
①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．
∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，∴∠CFM＝∠M＝30°，
∴CF＝CM，
∵CD⊥FM，
∴DF＝DM，
∴S△CMF＝2S△CDM，
∵△MEB∽△MON，
∴
2
MEB
MON
S BM
S MB
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
∴S△MEB
2+
∵△MDC∽△MON，
∴
2
MDC
MON
S MC
S MN
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
∴S△MDC
2+
∴S＝S△MEB﹣2S△MDC
＝﹣2
84
+．
②当3＜t＜6时，S＝S△MEB
＝2
822
-+，
综上所述，S
＝
2
2
(03)
(36)
t
t
+<
<<
…
．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（1）70；（2）144
13
；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答；
（2）根据勾股定理求出AC，证明△DEB∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算，得到答案；
（3）连接OB，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质得到OB∥DE，根据平行线的性质得到BE⊥OB，根据切线的判定定理证明结论．
【详解】
（1）∵BD＝BA，
∴∠BDA＝∠BAD＝70°，
由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA＝70°，
故答案为：70；
（2）在Rt△ABC中，AC
＝13，
∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠CBA＝90°，∴△DEB∽△ABC，
∴DE BD
AB AC
=，即
12
1213
DE
=，
解得，DE＝144 13
；
（3）连接OB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠BCE＝∠BAD，
∵BD＝BA，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠BDA＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD，
∴∠OBC＝∠BCE，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DC，
∴BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、圆周角定理是解题的关键．。