云南省昆明市第六中学2021年高三数学文测试题含解析

云南省昆明市第六中学2021年高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）且S n=++…+，则S n的整数部分的所有可能值构成的集合是（）
A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}
参考答案：
A
【考点】数列递推式．
【分析】数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．可得：a n+1﹣a n=＞0，可得：数列{a n}单调递增．可得a2=，a3=，a4=.=＞1， =＜1．另一方面： =﹣，可得S n=++…+=3﹣，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．
【解答】解：∵数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．
可得：a n+1﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n，因此数列{a n}单调递增．
则a2﹣1=，可得a2=，同理可得：a3=，a4=．
=＞1， =＜1，
另一方面： =﹣，
∴S n=++…+=++…+=﹣=3﹣，当n=1时，S1==，其整数部分为0；
当n=2时，S2=+=1+，其整数部分为1；
当n=3时，S3=++=2+，其整数部分为2；
当n≥4时，S n=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．
综上可得：S n的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．
故选：A．
2. 在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，则
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
选取向量为基底，用基底表示，然后计算．
【详解】由题意，，
．
故选D．
【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．3. 已知集合，，则等于
（A）
（B）
（C）
（D）
参考答案：
C
略
4. 已知集合，,若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（）．
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
5. 右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
参考答案：
D
6. 函数y=（x3﹣x）2|x|图象大致是（）
A．B．C．D．
参考答案：B
【考点】函数的图象．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数y为奇函数，它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，结合所给的选项得出结论．
【解答】解：由于函数y=（x3﹣x）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，
当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．
7. 已知第一象限内的点M既在双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．1+D．2+
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF1F2为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可．
【解答】解：∵设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，
∴抛物线的准线方程为x=﹣c，
若△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，
由于点M也在抛物线上，
∴过M作MA垂直准线x=﹣c
则MA=MF2=F1F2，
则四边形AMF2F1为正方形，
则△MF1F2为等腰直角三角形，
则MF2=F1F2=2c，MF1=MF2=2c，
∵MF1﹣MF2=2a，
∴2c﹣2c=2a，
则（﹣1）c=a，
则离心率e===1+，
故选：C
8. （2）设，则“”是“”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
参考答案：
A
9. 已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 已知函数，且，，，则（）A．B． C. D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数y＝f(x)是R上的偶数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 参考答案：
2－x＋1
12. 在平面直角坐标系数xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线x﹣y+m=0上存在点P，使得
2PA=PB，则实数m的取值范围是．
参考答案：
[﹣2，2]
【考点】直线的一般式方程．
【分析】设P（x，x+m），由2PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4﹣x2，可得：m=﹣x±，x∈[﹣2，2]．通过三角函数代换即可得出．
【解答】解：设P（x，x+m），
∵2PA=PB，
∴4|PA|2=|PB|2，
∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，
化为（x+m）2=4﹣x2，
∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，
∴m=﹣x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m=﹣2cosθ±2sinθ
=±2sin（θ±）∈[﹣2，2]，
实数m的取值范围是[﹣2，2]，
故答案为[﹣2，2]．
13. 已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______.
参考答案：
2
由，所以。

根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。

14. 如图所示，函数的图象在点P处的切线方程是，则。

参考答案：
2
15. 设
，则的最小值是__________.
参考答案：
16. 若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数
在上是增函数，则a＝＿＿＿.
参考答案：
在上是增函数，则，所以。

若，则函数单调递
增，此时有，，此时不成立，所以不成立。

若，则函数
单调递减，此时有，，此时成立，所以.
17. 若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称
为m函数，现给出下列函数：
①；②；③；④
其中为m函数的序号是。

（把你认为所有正确的序号都填上）
参考答案：
② ③
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 多面体中，，
，，。

（1）在BC上找一点N,使得AN∥面BED
（2）求证：面BED⊥面BCD
参考答案：
【解】证明：（1）令BC中点为N，BD中点为M，连结MN、EN
∵MN是△ABC的中位线
∴ MN∥CD …………………………2分
由条件知AE∥CD ∴MN∥AE 又MN=CD=AE
∴四边形AEMN为平行四边形
∴AN∥EM …………………………4分
∵AN面BED, EM面BED
∴AN∥面BED……………………6分
（2）∵AE⊥面ABC, AN面ABC
∴AE⊥AN 又∵AE∥CD,AN∥EM∴EM⊥CD………………8分
∵N为BC中点，AB=AC∴AN⊥BC
∴EM⊥BC………………………………………………10分
∴EM⊥面BCD…………………………………………12分
∵EM面BED ∴面BED⊥面BCD ……14分
19. 设不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
参考答案：
略
20. （12分）
已知数列的前项和满足N*)，且
（I）求的值和的表达式；
（II）是否存在正整数，使成立？若存在，则求出这样的正整数；若不存在，请说明理由。

参考答案：解析：（I）又，∴……………（2分）①
当时，②①－②，得
又，由可得
于是是等比数列，其首项为，公比为，所以……（6分）
（II）不等式，即.，整理得，
令，则不等式变为，解之得即………（8分）
假设存在正整数使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，为整数，
则只能是
因此，存在正整数. …………………（12分）
21. 已知矩阵
（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
参考答案：
（1）；
（2）.
【分析】
(1)利用矩阵的乘法运算法则计算的值即可；
(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.
【详解】（1）因为，
所以
==．
（2）矩阵A的特征多项式为
.
令，解得A的特征值.
【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．
22. (本小题满分10分) 设命题：关于的不等式且的解集为
;命题的定义域为，如果为真，为假，求的取值范围
参考答案：
，所求或
略。