人教版中考数学决胜一轮复习第4章三角形

人教版中考数学决胜一轮复习第4章三角形
第四章三角形
第1课时角、相交线与平行线
1．如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是( B)
A．认B．真
C．复D．习
2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( C)
A B C D
3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°.要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( B)
A．10° B．20°
C．50° D．70°
4．如图，下列说法错误的是( C)
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
5．如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么下列结论错误的
是( D )
A ．∠BAO 与∠CAO 相等
B ．∠BA
C 与∠AB
D 互补 C ．∠BAO 与∠ABO 互余 D ．∠ABO 与∠DBO 不等
6．(原创题)若∠α＝42°30′，则∠α的余角的度数是__47.5__°.
7．(原创题)如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，过点O 作射线ON ⊥OM .若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为__55或125__°.
8．(原创题)如图，点D 是线段AB 的中点，点C 是线段AD 的中点，CD ＝1 cm ，若点P 是直线AB 上的一点，当BP ＝2 cm 时，AP 的长为__2或6__cm.
9．如图，点E 是AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使BC ∥AD ，则可添加的条件为__答案不唯一，如∠C ＝∠CDE 等__.(任意添加一个符合题意的条件即可)
10．如图，将矩形ABCD 折叠，折痕为EF ，BC 的对应边B ′C ′与CD 交于点M ，若∠B ′MD ＝50°，则∠BEF 的度数为__70__°.
11．一个角的余角是这个角的补角的1
3
，求这个角的度数．
解：设这个角为x°，则余角为(90－x )°，补角为(180－x )°，由题意得，(90－x )
＝1
3
(180－x )，解得x ＝45，即这个角为45°. 12．如图，∠AOB ＝40°，OP 平分∠AOB ，点C 为射线OP 上一点，作CD ⊥OA 于点D ，在∠POB 的内部作CE ∥OB ，求∠DCE 的度数．
解：∵∠AOB ＝40°，OP 平分∠AOB ，∴∠AOP ＝∠POB ＝20°.∵CD ⊥OA ，∴∠ODC ＝90°，∴∠DCP ＝∠ODC ＋∠AOP ＝110°.∵CE∥OB ，∠PCE ＝∠POB ＝20°.∴∠DCE ＝∠DCP ＋∠PCE ＝130°.
13．取一张长方形的纸片，按如图的方法折叠，然后回答问题．
AE 与EF 垂直吗？为什么？
解：AE 与EF 垂直．理由如下：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB′，∠2＝∠FEC′.∵∠1＋∠AEB ＋∠2＋∠FEC ＝180°，∴2(∠AEB′＋∠FEC′)＝180°，∴∠AEB′＋∠FEC′＝90°，即∠AEF ＝90°，故AE 与EF 垂直．
14．(改编题)如图，从①∠1＝∠2、 ②∠C ＝∠D 、 ③∠A ＝∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，写出一个正确的命题，并给出证明．
你选的条件是：__________，结论是：__________.
解：答案不唯一，如选条件：①②，结论：③.证明：如图所示，当∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB∥EC ，∴∠D ＝∠4.∵∠C ＝∠D ，∴∠4＝∠C ，∴DF∥AC ，∴∠A ＝∠F.
15．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，∠C ＝∠DAC ．
(1)尺规作图：作∠ADB 的平分线，交AB 于点E (保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，求证：DE ∥AC ． 解：(1)如图：
(2)证明：∵∠ADB ＝∠C ＋∠DAC ，∠C ＝∠DAC ，∴∠ADB ＝2∠C ．∵DE 是∠ADB 的平分
线，∴∠ADB＝2∠BDE，∴∠BDE＝∠C，∴DE∥AC．
第2课时三角形及其性质
1．下列图形中，∠1一定大于∠2的是( C)
A B C D
2．长度分别为2,7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( C)
A．4 B．5
C．6 D．9
3．已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( B) A．3条B．4条
C．5条D．6条
4．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD的大小为( D)
A．3 B．4
C．4.8 D．5
5．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( B)
A．20° B．35°
C．40° D．70°
6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE ⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( A)
A．4.8 B．4.8或3.8
C．3.8 D．5
7．为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C ＝90°，
BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1__>__10.(选填“>”“<”或“＝”)
8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股“章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＋AB ＝10，BC ＝3，求AC 的长．如果设AC ＝x ，则可列方程为__x 2
＋9＝(10－x )2
__.
9．(改编题)如图，三角形纸片ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点E 为AB 中点．沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕EF 交BC 于点F .已知EF ＝3
2
，则BC 的长是__32__.
10．(改编题)等腰三角形ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数．
解：若∠A 为顶角，则∠B ＝(180°－∠A )÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°－2×80°＝20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°；故∠B ＝50°或20°或80°.
11．(改编题)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，求证：BF ＝2DE .
证明：过D 作DG ⊥AC 于G.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，CD ＝DB ．又
DE ⊥AB ，DG ⊥AC 于G ，∴DG ＝DE.∵BF ⊥AC ，DG ⊥AC ，∴DG∥BF.又CD ＝DB ，∴CG ＝GF ，∴BF
＝2DG ＝2DE.
12．如图，已知AC ⊥BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向
旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，DB ．求线段DB 的长度．
解：∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△CAD 是等边三角形．∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°，过点D 作DE ⊥BC 于E.∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝30°.在Rt△CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°，∴DE ＝1
2
CD ＝2，CE ＝23，∴BE ＝3.在Rt △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7.
13．在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答．．．．．．．．．．．．．．．过程．．
.
解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，∴CD ＝14－x.由勾股定理得：
AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，∴152－x 2＝132－(14－x )2，解得x
＝9，∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝1
2
×14×12＝84.
14．(2018·重庆)如图，直线AB ∥CD ，△EFG 的顶点F ，G 分别落在AB ，CD 上，GE 交
AB 于点H ，GE 平分∠FGD ．若∠EFG ＝90°，∠E ＝35°，求∠EFB 的度数．
解：∵在△EFG 中，∠EFG ＝90°，∠E ＝35°，∴∠FGH ＝90°－35°＝55°.∵GE 平分∠FGD ，∴∠FGH ＝∠HGD ＝55°.∵AB∥CD ，∴∠HGD ＝∠FHG ＝55°.∵∠FHG 是△EFH 的外角，∴∠FHG ＝∠EFB ＋∠E.∴∠EFB ＝∠FHG －∠E ＝55°－35°＝20°.
15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，E ，F 分别是BG ，AC 的中点． (1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ； (2)连接EF ，若AC ＝10，求EF 的长．
(1)证明：∵AD ⊥BC 于D ，∴∠BDG ＝∠ADC ＝90°，∵BD ＝AD ，DG ＝DC ，
∴△BDG≌△ADC (SAS )，∴BG ＝AC ．∵AD ⊥BC 于D ，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝1
2
BG ，
DF ＝1
2
AC ，∴DE ＝DF.∵DE ＝DF ，BD ＝AD ，BE ＝AF ，∴△BDE≌ △ADF (SSS )，∴∠BDE ＝∠ADF ，
∴∠EDF ＝∠EDG ＋∠ADF ＝∠EDG ＋∠BDE ＝∠BDG ＝90°，∴DE ⊥DF.
(2)解：如图所示：∵AC ＝10，∴DE ＝DF ＝12AC ＝1
2
×10＝5.∵∠EDF ＝90°，∴EF ＝
DE 2＋DF 2＝52＋52＝52.
第3课时全等三角形
1．根据下列已知条件，能画出唯一确定的△ABC的是( C)
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
2．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，
不能
．．判定△POC≌△POD的选项是( D)
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
3．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( C)
A．1个B．2个
C．3个D．4个
4．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__答案不唯一，如AB＝ED__(只需写一个，不添加辅助线)．
5．如图，已知直线l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的边长为__5__.
6．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是
网格线的交点)和点A 1.画出一个格点△A 1B 1C 1，并使它与△ABC 全等且A 与A 1是对应点．
略
7．(2018·泰州)如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，AC ，DB 相交于点O .求证：OB ＝OC ．
证明：在Rt△ABC 和Rt△DCB
中⎩
⎪⎨
⎪⎧
BD ＝AC ，
CB ＝BC ，∴Rt△ABC≌Rt△DCB (HL )，∴∠OBC ＝∠
OCB ，∴BO ＝CO.
8．(改编题)如图，五边形ABCDE 中有一正三角形ACD ，若AB ＝DE ，BC ＝AE ，∠E ＝115°，求∠BAE 的度数．
解：∵正三角形ACD ，∴AC ＝AD ，∠ACD ＝∠ADC ＝∠CAD ＝60°，∵AB ＝DE ，BC ＝AE ，∴△ABC≌△AED ，∴∠B ＝∠E ＝115°，∠ACB ＝∠EAD ，∠BAC ＝∠ADE ，∴∠ACB ＋∠BAC ＝∠BAC ＋∠DAE ＝180°－115°＝65°，∴∠BAE ＝∠BAC ＋∠DAE ＋∠CAD ＝65°＋60°＝125°.
9．(改编题)如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，连接AC ．已知AC ＝6，求四边形ABCD 的面积．
解：过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E ，∵∠BAD ＝90°，∴∠EAD ＝∠CAB ．在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADC ＋∠B ＝180°.又∠ADC ＋∠ADE ＝180°，∴∠ADE ＝∠B ．在△ADE 和△ABC 中，∵∠EAD ＝∠CAB ，AB ＝AD ，∠ADE ＝∠B ，∴△ADE ≌△
ABC ，故四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积，即四边形ABCD 的面积＝12AC ×AE ＝12
×6×6
＝18.
10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，连接BE ，DF .
(1)根据题意，补全原形； (2)求证：BE ＝DF . (1)解：如图所示；
(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ．又∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝12OA ，OF ＝1
2
OC ，∴OE ＝OF.∵在△BEO 与△DFO 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧
OE ＝OF ，∠BOE ＝∠DOF ，OB ＝OD ，
∴△BEO≌△DFO (SAS )，∴BE ＝DF.
11．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE )，且∠
EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .
(1)求证：OM ＝ON ；
(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．
解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠DAO ＝45°，∠OBA ＝45°，∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°，∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON ，∴△OAM≌△OBN (ASA )，∴OM ＝ON ；
(2)如图，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∵正方形的边长为4，∴OH ＝HA ＝2，∵E 为OM 的中点，∴HM ＝4，则OM ＝22
＋42
＝25，∴MN ＝2OM ＝210.
12．已知：如图①，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC ．
(1)探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC．
(2)应用：如图③，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC ＝__________.(用含a的代数式表示)
(1)证明：在AB边上取点E，作∠AED＝∠C．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∵AD ＝AD，∠AED＝∠C，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴DC＝DE.∵∠C＋∠B＝180°，∠AED＝∠C，∠AED＋∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠B，∴DE＝DB，∴DB＝DC；(2)应用：2a.
第4课时 解直角三角形
1．在∠A ，∠B 都是锐角的△ABC 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin B －222
＝0，则∠C 的度数是( C )
A ．75°
B ．90°
C ．105°
D ．120°
2．△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方体边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误．．
的是( C )
A ．sin α＝cos α
B ．tan
C ＝2 C ．sin β＝cos β
D ．tan α＝1
3．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的正切值等于( D )
A ．25
5
B ．255
C ．2
D ．12
4．一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )
A ．4sin θ 米2
B ．4cos θ 米2
C ．(4＋4tan θ
) 米2
D ．(4＋4tan θ) 米2
5．在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos ∠B ＝2
2
，则BC 边长为( D ) A ．7 B ．8 C ．8或17
D ．7或17
6．如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为__1__.
7．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)＝sin αcos β－cos
αsin β.例如sin 90°＝sin(60°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝
3
2
×
32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是__6－24
__. 8．(原创题)计算：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－2
＋|tan 60°－2|＋2cos 30°.
解：原式＝4＋2－3＋2×
3
2
＝6－3＋3＝6. 9．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝2
2，AC ＝ 2.
求：(1)BC 的长； (2)sin ∠ADC 的值．
解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵cos C ＝
2
2
，∴∠C ＝45°，在Rt△ACE 中，CE ＝AC·cos C ＝1，∴AE ＝CE ＝1，在Rt△ABE 中，tan B ＝13，即AE BE ＝1
3，∴BE ＝3AE ＝3，∴BC
＝BE ＋CE ＝4；
(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝1
2BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1，∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC
＝45°，∴sin ∠ADC ＝
22
. 10．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1)m.请计算
说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？
解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ．在Rt△ABD 中，∠ABD ＝90°－∠A ＝60°，则AD ＝tan ∠ABD ×BD ＝3BD ；在Rt△BCD 中，∠C ＝45°，∴CD ＝BD ．∴AC ＝AD ＋CD ＝3BD ＋
BD ＝(3＋1)BD ＝2(3＋1)，解得：BD ＝2＜2.1.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为
2.1 m 的圆形门．
11．如图，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝3
4.
(1)求边AC 的长；
(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB
的值．
解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E.在Rt△AEB 中，∠AEB ＝90°，tan ∠ABC ＝AE BE ＝3
4，设
AE ＝3x ，BE ＝4x ，根据勾股定理，得AB ＝5x ＝5，则x ＝1，∴AE ＝3，BE ＝4，∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt△AEC 中，∠AEC ＝90°，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝32＋12＝10；
(2)如图BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于F ，则BF ＝CF ＝1
2BC ＝2.5，∴EF ＝FC －EC
＝2.5－1＝1.5.∵∠AEC ＝∠DFC ＝90°，∴DF ∥AE ，∴AD DB ＝EF FB ＝
1.5
2.5＝3
5
.
12．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌
CD ．她在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42°，测得隧道底端B 处的俯角为30°(B ，C ，D 在同一条直线上)，AB ＝10 m ，隧道高6.5 m(即BC ＝6.5 m)，求标语牌CD 的长(结果保留
小数点后一位)．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，3≈1.73)
解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，依题意有∠DAE ＝42°，∠BAE ＝30°.在Rt△AEB 中，BE ＝12AB ＝12×10＝5(m )，AE ＝AB ×cos ∠BAE ＝10×cos 30°＝10×3
2
＝53(m )．在Rt△DAE
中，∵tan ∠DAE ＝DE AE
，∴DE ＝53×tan 42°≈5×1.73×0.90＝7.785(m )．∴CD ＝DE ＋BE －BC ＝7.785＋5－6.5≈6.3(m )．∴标语牌CD 的长约为6.3 m.
13．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11 m ，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A ＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18 m ，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tan α＝6，tan β＝3
4
，求灯杆AB 的长度．
解：过点B 作BF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点A 作AG ⊥AF ，交BF 于点G ，则FG ＝AC ＝11.由题意得∠BDE ＝α，tan ∠β＝34.设BF ＝3x ，则EF ＝4x ，在Rt△BDF 中，∵tan ∠BDF ＝BF
DF ，
∴DF ＝
BF tan ∠BDF
＝
3x 6＝12x ，∵DE ＝18(m )，∴1
2
x ＋4x ＝18(m )．∴x ＝4(m )．∴BF ＝12(m )，∴BG ＝BF －GF ＝12－11＝1(m )，∵∠BAC ＝120°，∴∠BAG ＝∠BAC －∠CAG ＝120°－90°＝30°.∴AB ＝2BG ＝2(m )，∴灯杆AB 的长度为2 m.。