浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期4月统一测试数学试题

浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期4月统一测试数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得
A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．22．已知0
a>，函数()x
=-．
f x ax xe
（I）求曲线()
f处的切线方程：
=在点(0,(0))
y f x
（II）证明()
f x存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得()
£+对任意xÎR成立，求实数b的取值范围．
f x a b
（II ）令()(1)0x f x a x e =-+=¢，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e ¢=+，
当(,2)x Î-¥-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当(2,)x Î-+¥时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，
当x ®-¥时，()0g x <，()10g -=，当x ®+¥时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：
所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且
()()0f m a g m ¢=-=，
当(,)x m Î-¥时，()a g x >，则()0f x ¢>，()f x 单调递增，当(),x m Î+¥时，()a g x <，则()0f x ¢<，()f x 单调递减，
x m =为
()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；
（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max
{()}
()1(1),m f x a f m a m m e m -=-=-->-，
令()2()1,(1)x h x x x e x =-->-，
若存在a ，使得()f x a b £+对任意x ÎR 成立，等价于存在(1,)x Î-+¥，使得()h x b £，即
min ()b h x ³，
()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+¢-，1x >-，
当(1,1)x Î-时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ³-，
所以实数b 的取值范围[),e -+¥.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x Î-+¥，使得()h x b £，即min ()b h x ³.
答案第241页，共22页。