河北省承德市隆化县存瑞中学2015届高三上学期第二次质检数学试卷(文科)Word版含解析

河北省承德市隆化县存瑞中学2015届高三上学期第二次质检数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}．则（∁R A）∩B=( )
A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：不等式的解法及应用．
分析：已知集合A={x|x＞1}，算出∁R A，然后根据交集的定义进行求解．
解答：解：∵集合A={x|x＞1}，
∴∁R A={x|x≤1}，∵B={x|﹣1＜x＜2}，
∴（∁R A）∩B={x|﹣1＜x≤1}，
故选B．
点评：此题主要考查了两个知识点补集的运算和交集的运算，是一道很基础的送分题，计算时认真即可．
2．i是虚数单位，复数的实部为( )
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：把给出的复数分子分母同时乘以1﹣i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则实部可求．解答：解：由=．
所以复数的实部为1．
故选C．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．
3．log29×log34=( )
A．B．4 C．2 D．
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用换底公式和对数的性质求解．
解答：解：log29×log34
=
=
=4．
故选：4．
点评：本题考查对数化简求值，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用．
4．若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为( )
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
专题：待定系数法．
分析：把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），
代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，
∴a=1，
故选B．
点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．
5．等差数列{a n}的前n项和S n，若a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，则S13等于( )
A．152 B．154 C．156 D．158
考点：等差数列的前n项和．
专题：方程思想．
分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，代入等差数列的前n项和公式，即可求出s13；或者将a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4两式相加，利用等差数列的性质进行求解．
解答：解：解法1：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a3+a7﹣a10=a1+2d+a1+6d﹣a1﹣9d=a1﹣d=8①；a11﹣a4=a1+10d﹣a1﹣3d=7d=4②，
联立①②，解得a1=，d=；
∴s13=13a1+d=156．
解法2：∵a3+a7﹣a10=8①，a11﹣a4=4②，
①+②可得a3+a7﹣a10+a11﹣a4=12，
∵根据等差数列的性质a3+a11=a10+a4，
∴a7=12，
∴s13=×13=13a7=13×12=156．
故选C．
点评：解法1用到了基本量a1与d，还用到了方程思想；
解法2应用了等差数列的性质：{a n}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，a m+a n=a p+a q．
特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则a m+a n=2a p．
6．已知函数f（x）=，则f[f]=( )
A．B．﹣C．1 D．﹣1
考点：函数的值．
专题：计算题．
分析：根据2013＞2000算出f=32，再根据32＜2000算出f（32）=32=2cos，利用三角
函数的诱导公式算出cos的值，即可得到本题答案．
解答：解：∵2013＞2000，
∴f=22013﹣2008=32．
又∵32＜2000，
∴f（32）=2cos=2cos（）=2cos（）=﹣1
因此，f[f]=f（32）=﹣1
故选：D
点评：本题给出分段函数，求特殊的函数值．着重考查分段函数的函数值求法、指数运算和三角函数的诱导公式等知识，属于基础题．
7．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么( )
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
分析：本题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，我们根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案．
解答：解：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；
若l⊥m时，α与β可能平行也可能相交，故②为假命题；
故①②都是假命题
故选D
点评：要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧（左）视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为( )
A．16 B．64 C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，根据已知中正视图和侧（左）视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
∴该几何体的体积V==×4×4×4=，
故选：D
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，由已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．
9．设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于( ) A．﹣B．C．﹣3 D．3
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正切函数．
专题：平面向量及应用．
分析：利用⇔，即可得出tanα，再利用两角差的正切公式即可得出．
解答：解：∵，∴2cosα﹣sinα=0，即tanα=2．
∴=，
故选B．
点评：熟练掌握⇔、两角差的正切公式是解题的关键．
10．若m是2和8的等比中项，则椭圆的离心率是( )
A．B．C．或D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由方程是椭圆方程求得m的范围，再由m是2和8的等比中项求得m的值，
得到椭圆的长半轴长和半焦距，代入离心率公式得答案．
解答：解：由为椭圆方程，得m＞0且m≠1，
又m是2和8的等比中项，
∴m2=2×8=16，m=4．
即a2=4，b2=1，c2=a2﹣b2=3，
则a=2，c=．
e=．
故选：A．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，是基础题．
11．已知函数f（x）=2x+x，，的零点分别为x 1，
x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1＞x2＞x3B．x2＞x1＞x3C．x1＞x3＞x2D．x3＞x2＞x1
考点：函数零点的判定定理．
分析：先求出各函数零点的所在区间，再比较大小即可．
解答：解：令f（x）=2x+x=0，∴2x=﹣x＞0，∴x＜0，∴x1＜0
令=0，∴x=，令p（x）=x，q（x）=在同一坐标系作图如下
∴0＜x2＜1
令=0，则，令p（x）=，q（x）=log 2x在同一坐标系作图如下
∴x3＞1
故选D．
点评：本题主要考查函数零点所在区间的判定方法．属中档题．
12．已知偶函数f（x）在R上的任一取值都有导数，且f′（1）=1，f（x+2）=f（x﹣2），则曲线y=f（x）在x=﹣5处的切线的斜率为( )
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的性质．
专题：导数的概念及应用．
分析：由f（x+2）=f（x﹣2）得f（x+4）=f（x），再两边求导得f′（x+4）=f′（x），结合f（x）为偶函数，得到一个式子，对此式再两边求导，由此和条件可求即f′（﹣5）的值即为所求切线的斜率．
解答：解：由题意知，由f（x+2）=f（x﹣2），得f（x+4）=f（x），
∵f（x）在R上可导，
∴f′（x+4）（x+4）′=f′（x）（x）′，即f′（x+4）=f′（x）①，
∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），
∴f′（﹣x）（﹣x）′=f′（x），即f′（﹣x）=﹣f′（x）②，
∴f′（﹣5）=f′（﹣1）=﹣f′（1）=﹣1，即所求切线的斜率为﹣1，
故选D．
点评：本题考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及函数奇偶性的应用，解题的关键是得出f′（x+4）=f′（x）和f′（﹣x）=﹣f′（x），是一道中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知f（x）=是奇函数，那么实数a的值等于1．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据奇函数的性质f（0）=0，列出方程a﹣=0，再解出a的值．
解答：解：∵f（x）=a﹣为奇函数，∴f（0）=0，即a﹣=0，
解得a=1．
故答案为：1
点评：本题考查奇函数的性质，即f（0）=0的应用．
14．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC，则B=．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：由条件利用正弦定理可得a2+c2﹣b2=ac，由此求得cosB=的值，可得
B的值．
解答：解：在△ABC中，∵sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC，
∴利用正弦定理得：a2+c2﹣b2=ac，
∴cosB==，
∴B=，
故答案为：．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
15．已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a2•a9=2（a5）2，则q=．
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列的性质求解．
解答：解：∵等比数列{a n}的公比q为正数，
且a2•a9=2（a5）2，
∴，
解得q=．
故答案为：．
点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
16．已知圆C的圆心在x轴上，曲线x2=2y在A（2，2）处的切线l恰与圆C在A点处相切，则圆C的圆心坐标为（6，0）．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：先对函数进行求导，根据导函数在点A处的值为切线的斜率可得切线方程，再利用直线与圆相切求出圆心坐标及、半径即可得出答案．
解答：解：∵y=x2
∴y'=x，
当x=2时，y'=2，
∴点A（2，2）处的切线方程为：y﹣2=2（x﹣2），
即：2x﹣y﹣2=0
∵切线l恰与圆C在A点处相切，
而过A（2，2）且与切线l垂直的直线方程为y﹣2=﹣（x﹣2），
令y=0，得x=6，得圆心（6，0），
故答案为：（6，0）
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系．考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于过该点的曲线的切线的斜率．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知=﹣1，求下列各式的值：
（1）；
（2）sin2α+sin αcos α+2．
考点：三角函数的化简求值．
专题：常规题型；计算题．
分析：由已知得tanα=
（1）由于已知tanα，故考虑把所求的式子化为正切的形式，结合tanα=，可知把所求
的式子分子、分母同时除以
cosα即可
（2）同（1）的思路，但所求式子没有分母，从而先变形为分式的形式，分母添1，而
1=sin2α+cos2α，以下同（1）
解答：解：由已知得tanα=
（1）
（2）sin2α+sinαcosα+2
=sin2α+sinαcosα+2（cos2α+sin2α）
=
=
=
点评：本题主要考查了三角函数求值化简中的常用技巧：已知tanα，求形如
①②asin2α+bsinαcosα+ccos2α，对于①常在分子、分母上同时除以cosα，
对于②要先在分母上添上1，1=sin2α+cos2α，然后分子、分母同时除以cos2α，从而把所求的式子化简为含有“切”的形式．
18．设{a n}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22﹣10．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n﹣b n}的前n项和S n．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出a n=2n．
（Ⅱ）由已知条件得，a n﹣b n=2n﹣3n﹣1，由此能求出数列{a n﹣b n}的前n项和S n．
解答：解：（Ⅰ）∵{a n}是公差大于零的等差数列，a1=2，a3=a22﹣10．
∴2+2d=（2+d）2﹣10，
解得d=2，或d=﹣4（舍），
∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．
（Ⅱ）∵{b n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴，
∴a n﹣b n=2n﹣3n﹣1，
∴S n=2（1+2+3+…+n）﹣（1+3+32+…+3n﹣1）
=2×﹣
=．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）由已知容易证PA⊥CE，CE⊥AD，由直线与平面垂直的判定定理可得
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知CE⊥AD，从而有四边形ABCE为矩形，且可得P到平面ABCD的距离PA=1，代入锥体体积公式可求
解答：解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，
所以PA⊥CE，
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD
又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知CE⊥AD，
在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1，CE=CDsin45°=1，又因为AB=CE=1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形，
所以
=，
又PA⊥平面ABCD，PA=1，
所以
点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，运算求解的能力；考查数形结合思想，化归与转化的思想．
20．某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：
第一批次第二批次第三批次
女教师86 x y
男教师94 66 z
已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1．（Ⅰ）求x，y，z的值；
（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1：60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？
（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．
考点：古典概型及其概率计算公式；简单随机抽样；等可能事件的概率．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）人数=总数×频率，可得x，y，再由总和减去其它可得z；
（Ⅱ）由三个批次的人数分别乘以比例，即可得被抽的人数；
（Ⅲ）记第一批次选取的三个教师设为A1，A2，A3，第二批次的教师为B1，B2，第三批次的教师设为C，列举可得总的基本事件数，数出符合条件的基本事件数，由概率公式可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得x=360×0.15=54，y=360×0.1=36，z=360﹣86﹣54﹣36﹣94﹣66=24﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是180，120，60，乘以可得3，2，1，
所以被选取的人数分别为3，2，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为A1，A2，A3，第二批次的教师为B1，B2，第三批次的教师设为C，
则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为
Ω={A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C}共15个﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
其中“来自两个批次”的事件包括Ω1={A1B1，A1B2，A1C，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1C，B2C}共11个，﹣﹣﹣
所以“来自两个批次”的概率．﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题考查古典概型的计算，涉及简单随机抽样，以及列举的方法，属基础题．
21．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；
法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．
解答：解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）
2+（y﹣1）2=9．
法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0
x=0，y=1有1+E+F=0
y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，
即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组
，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知
可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，
由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．
点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．
22．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决；（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
解答：解：（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x3+x2﹣x+2，
∴f'（x）=3x2+2x﹣1…
∴k=f'（1）=4，
又f（1）=3，
∴切点坐标为（1，3），
∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．…
（Ⅱ）f'（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）
由f'（x）=0得x=﹣a或…
（1）当a＞0时，
由f'（x）＜0，得．
由f'（x）＞0，得x＜﹣a或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和．…（2）当a＜0时，
由f'（x）＜0，得．
由f'（x）＞0，得或x＞﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣
此时f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为和（﹣a，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为（﹣∞，﹣a），
；
当a＜0时，f（x）的单调递减区间为单调递增区间为，（﹣a，+∞）
﹣﹣﹣
点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．。