四川省树德中学2020学年高二数学5月阶段性测试试题 文(含解析)

四川省树德中学2020学年高二数学5月阶段性测试试题 文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -⋅=，z 是复数z 的共轭复数，则下列关于复数z 的说法正确的是（ ） A. 1i z =-- B.
2z =
C. 2z z ⋅=
D. 复数z 在复平面内表示的点在第四
象限 【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的除法求出z ，然后求出z ，z ，以及对应点的坐标，依次排除答案。

【详解】由(1)2i z i -⋅=，可得22(1)22
=11(1)(1)2
i i i i z i i i i +-=
==-+--+，
∴z =
，=1z i --，2z z ⋅=，复数z 在复平面内表示的点为(1,1)-，在第二象限；
故答案选C
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法以及复数的几何意义，属于基础题。

2.若曲线()sin f x x x =在2
x π=处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则实数a 等于
（ ） A. -2 B. -1
C. 1
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数()sin f x x x =在2
x π=
处的导数值，这个导数值即函数图像在该点处切线的斜率，
然后根据两直线垂直的条件列出方程即可求解实数a 。

【详解】由题可得：()sin cos f x x x x '=+，()12
f π
'=，
∴曲线()sin f x x x =在2
x π=处的切线的斜率为1，
Q 曲线()sin f x x x =在2
x π=
处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，且直线
210ax y ++=的斜率为2
a -
， ∴()1=12
a
-⨯-，解得：2a =；
故答案选D.
【点睛】本题考查导数的几何意义，两直线垂直的条件，属于基础题。

3.在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按ϕ：124x x
y y
⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线为l ，若以
坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（ ） A. 4cos sin 4ρθρθ-= B. cos 16sin 4ρθρθ-= C. cos 4sin 4ρθρθ-= D. cos 8sin 4ρθρθ-=
【答案】A 【解析】 【分析】
根据直线22x y -=直角坐标方程，将直线上的点按坐标变换1
24x x
y y
⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到直线l 的方程；
利用直角坐标与极坐标的互化公式，写出直线l 的极坐标的方程；
【详解】将直线22x y -=按1
24x x
y y ϕ⎧=⎪=''⎪⎨⎩：变换后得到的直线l ，1222x y -= ，即
440x y --=，化为极坐标方程为4cos sin 4ρθρθ-=.
故选A.
【点睛】本题考查了坐标变换的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
31
812863
y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）
A. 300万元
B. 252万元
C. 200万元
D. 128万元
【答案】C 【解析】 【分析】
求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.
【详解】由题意，函数31812863
y x x =-+-，所以2
81y x '=-+，
当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，
所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5.
过抛物线2
2x t
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为（ ）
A.
3
π B.
3π或23
π C.
6
π
D.
6π或56
π 【答案】B 【解析】 【分析】
抛物线的标准方程是2
32y x =，故焦点坐标为3,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线的参数方程为3cos 8
sin x t y t αα
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩（α为直线的倾斜角），代入抛物线方程得到关于t 的方程，其两个根为12,t t ，再利用122t t -=求出α．
【详解】消去参数t 得到抛物线方程为：2
3
2
y x =
， 设直线的参数方程为3cos 8
sin x t y t α
α⎧
=+⎪⎨⎪=⎩（α为直线的倾斜角）， 故2
2
39
sin cos 0216
t t αα-
-=，设两个根为12,t t ， 则122t t -=且1223
2sin t t α
-=，
因[
)0,α∈π
，故sin α=，3πα=或者23πα=，故选B ．
【点睛】如果直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t α
α=+⎧⎨=+⎩
（t 是参数且t R ∈，α是直线的倾斜角），
那么t 表示(),P x y 与()00,P x y 之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．
6.已知变量x ，y 之间的线性回归方程为0.4
7.6ˆy
x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 变量x ，y 之间呈现负相关关系
B. m 的值等于5
C. 变量x ，y 之间的相关系数0.4=-r
D. 由表格数据知，该回归直线必过点(9,4) 【答案】C 【解析】
分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为11(9,
)4
m
+，代入回归直线的方程，即可求
解5m =，得到样本中心(9,4)，再根据,x y 之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案.
详解：由题意，根据上表可知681012632119,444
m m
x y +++++++====，
即数据的样本中心为11(9,
)4
m
+， 把样本中心代入回归直线的方程，可得110.497.64
m
+=-⨯+，解得5m =， 则
11115
444
m ++==，即数据的样本中心为(9,4)， 由上表中的数据可判定，变量,x y 之间随着x 的增大，y 值变小，所以呈现负相关关系，
由于回归方程可知，回归系数ˆ0.4b
=-，而不是0.4r =，所以C 是错误的，故选C. 点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
7.函数2
1
()ln(2)x f x x e
-=+-的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解。

【详解】由于函数()f x 的定义域为R ，且在R 上为连续函数，可排除A 答案； 由于
1(0)ln 2f e -=-，1ln 22e >=
，1
12
e -< ，所以1(0)ln 20
f e -=->，可排除C
答案；
当x →+∞时，()f x →-∞，故排除D 答案； 故答案选B.
【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题
8.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（ ） A. 甲 B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】A 【解析】 【分析】
分别假设第一名是甲、乙、丙、丁，然后分析四个人的话，能够求出结果． 【详解】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件； 当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件； 当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件； 当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件． 故选：A ．
【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．
9.若a b b a e e ππ--+≥+，则有（ ） A. 0a b +≤
B. 0a b -≤
C. 0a b -≥
D.
0a b +≥
【答案】D 【解析】 【分析】
构造函数()x x f x e π-=-，利用导数研究函数()f x 的单调性，利用函数单调性即可得到答案。

【详解】构造函数()()x x f x e x R π-=-∈， ()ln ()x x
f x e x R ππ-'=+∈ 由于0x π>，ln 0π>，0x e ->，则()0f x '>在R 上恒成立，
∴函数()x x f x e π-=-在R 上为单调递增函数，
又Q ()()a
b
b
a b b a a e e
e e
f b f a ππππ----+≥+⇔-≥-⇔≥-，
由于函数()x
x
f x e π-=-在R 上为单调递增函数，则0b a a b ≥-⇔+≥， 故答案选D
【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数单调性以及不等式的问题，解题的关键是根据题干构造出函数，属于中档题。

10.已知曲线C 的参数方程为4cos sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点，若曲线T 的
极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到曲线T 的距离的最大值为（ ）
B. 2+
C. 4+
D. 【答案】B 【解析】
Q M 在曲线C 上的动点，∴M 点的坐标为()4,sin cos αα；曲线T 的直角坐标方程为：
220y x +=，则点M 到T
的距离为
d ==()tan 2ϕ=，()[]sin 1,1αϕ+∈
-Q ∴d 的最大值为 2+B .
点睛：（1）在解决极坐标方程这类题型时，常用的方法是转化成直角坐标方程求解。

（2）求解椭圆、圆上的点到直线距离的最值问题时，将椭圆、圆的参数方程求出，带入点到值线的距离公式转化成三角函数求解。

11.已知函数()x
f x e ex a =-+与1
()ln g x x x
=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A. [,)e -+?
B. [1,)-+∞
C. (,1]-∞-
D. (,]e -∞-
【解析】 【分析】
由已知，得到方程1(ln )x
e ex a x x
-+=-+在(0,)+∞上有解，构造函数，求出它的值域，得到a 的取值范围. 【详解】若函数
()e ex x f x a =-+与()1
ln g x x x
=+
的图象上存在关于x 轴对称的点， 则方程1(ln )x
e ex a x x
-+=-+在(0,)+∞上有解，
即1
ln x
a ex e x x =---
在(0,)+∞上有解， 令1()ln x
h x ex e x x =---，
则22111'()x x
x h x e e e e x x x
-=--+=-+，
所以当01x <<时，'()0h x >，当1x >时，'()0h x <， 所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()h x 在1x =处取得最大值011e e ---=-， 所以()h x 的值域为(,1]-∞-， 所以a 的取值范围是(,1]-∞-， 故选C.
【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于x 轴对称的点求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意关于x 轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目.
12.已知函数()1x
f x e ax =--在区间(1,1)-内存在极值点，且恰有唯一整数解0x 使得
0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）（其中e 为自然对数的底数， 2.71828...e =）
A. 22
1
[,)2e e e
- B. 222
11[,1)(1,]22e e e e ---U C. (1,)e e -
D. 22
11[,)(1,)2e e e e e e
---U
【解析】 【分析】
对函数求导， 函数()1x
f x e ax =--在区间(1,1)-内存在极值点等价于导数在区间(1,1)-有根，可求出a 的大范围，然后研究出函数的单调区间，画出函数的大致图像，结合图像分析恰有唯一整数解0x 使得0()0f x <的条件，即可求出实数a 的具体范围。

【详解】由题可得：()=x f x e a '-要使函数()1x
f x e ax =--在区间(1,1)-内存在极值点， 则()==0x
f x e a '-有解，即ln (0)x a a =>，且1ln 1a -<< ，解得：
1
a e e
<<， 令()=0x
f x e a '->，解得：ln x a >，则函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞， 令()=0x
f x e a '-<，解得：ln x a <，则函数()f x 的单调减区间为(,ln )a -∞
由题可得(0)0f =
（1） 当1ln 0a -<<，即
1
1a e
<<时，函数()f x 的大致图像如图：
所以要使函数()1x
f x e ax =--恰有唯一整数解0x 使得0()0f x <，则(1)0
(2)0f f -<⎧⎨-≥⎩
，解得：
2211
[,)2e e x e e
--∈，
（2）当0ln 1a <<，即1a e <<时，函数()f x 的大致图像如图：
所以要使函数()1x
f x e ax =--恰有唯一整数解0x 使得0()0f x <，则(1)0
(2)0f f <⎧⎨
≥⎩
，解得：
(1,)x e e ∈-，
综上所述：22
11
[,)(1,)2e e x e e e e
--∈-U ， 故答案选D.
【点睛】本题主要考查函数极值点存在的问题，以及函数值的取值范围，研究此类题的关键是借助导数研究函数单调性，画出函数大致图像，结合图像分析问题，考查学生转化的能力以及数形结合的思想，属于中档题。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷横线上）。

13.已知复数(
)(
)
2
2
563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m 为__________． 【答案】2 【解析】
解：因为复数（m 2
-5m+6）+(m 2
-3m)i 是纯虚数，所以实部为零，即m 2
-5m+6=0，m=2,m=3,(舍去)，只有填写2.
14.观察下列不等式：213122+
<，221151233++<，2221117
12344
+++<，222211119
123455
++++<按此规律，第n 个不等式为__________．
【答案】()222221111121
123451
1n n n ++
+++++<++L
【分析】
直接利用归纳推理求解。

【详解】第一个不等式左边有两项，第二个不等式左边有3项，第三个不等式左边有4项，依此类推：第n 个不等式左边有1n +项，
又每个不等式的左边最后一项的分母都是右边分母的平方， 每一个不等式的右边的分子都是分母的2倍减去1， 所以第n 个不等式为：()222221111121123451
1n n n ++
+++++<++L . 【点睛】本题主要考查了归纳推理及考查观察能力，属于基础题。

15.在极坐标系中，已知(2,)6
A π
，5(4,
)6
B π
，则A ，B 两点之间的距离AB 为__________．
【答案】【解析】 【分析】
先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y ，进行代换将极坐标化成直角坐标，再在直角坐标系中算出两点间的距离即可． 【详解】根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点52,
,4,66A B ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，的直角坐标为：
A B AB ），（），-∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，本题解题的关键是能进行极坐标和直角坐标的互化．
16.若函数2
1()ln 22
f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增，则4a b +的最小值是__________． 【答案】-4 【解析】
对函数求导可得：22()x bx a f x x
++'=，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增等价于()f x '
在
区间[1,2]上大于等于零恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，利用二次函数的图像讨论出a ，b 的关系，再结合线性规划即可得到4a b +的最小值。

【详解】Q 函数2
1()ln 22
f x a x x bx =+
+在区间[1,2]上单调递增， ∴22()20a x bx a
f x x b x x ++'=++=≥在区间[1,2]上恒成立，即220x bx a ++≥在区间
[1,2]上恒成立，令2()2h x x bx a =++，其对称轴：x b =-，
当1b -≤，即1b ≥-时，220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：
1(1)210b h a b ≥-⎧
⎨
=++≥⎩
，由线性规划可得：min (4)14(1)3a b +=+⨯-=-； 当2b -≥，即2b ≤-时，220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：
2(2)440
b h a b ≤-⎧
⎨
=++≥⎩ ，由线性规划可得：min (4)44(2)4a b +=+⨯-=-； 当12b <-<，即21b -<<-时，220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：
2
21
()0
b h b a b -<<-⎧⎨-=-≥⎩ ，则244a b b b +≥+，由于24b b +在21b -<<-上的范围为(4,3)--，则443a b -<+<-， 综上所述4a b +的最小值是-4.
【点睛】本题考查导数与函数单调性、线性规划、函数与不等式等知识，考查学生综合运用数学知识的能力，运算能力以及逻辑思维能力，属于难题。

三、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.设函数()ln (0)f x x a =>.
（1）若点(1,1)在曲线()y f x =上，求曲线在该点处的切线方程；
（2）若()f x 有极小值2，求a . 【答案】（I ）230x y +-=（II ）2a = 【解析】 【分析】
（I ）代入()1,1求得a ，得到函数解析式，求导得到()1f '，即切线斜率；利用点斜式得到切线方程；（II ）求导后经讨论可知当0a >时存在极小值，求得极小值24f a ⎛⎫
⎪⎝⎭，
令242f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，解方程得到a .
【详解】（I ）因为点()1,1在曲线()y f x =上，所以1a = ()ln f x x ⇒=
又()1f x x
'=
=，所以()112f '=-
在该点处曲线的切线方程为()1
112
y x -=--，即230x y +-=
（II ）有题意知：()f x 定义域()0,∞+，()1f x x '=-=
（1）当0a ≤时，()0f x '<
此时()f x 在()0,∞+上单调递减，所以不存在极小值 （2）当0a >时，令()=0f x '可得2
4
=x a 列表可得
所以()f x 在204a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在24,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增
所以极小值为：22442ln f a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
所以24
2ln
2a
-= 2a ⇒= 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值的问题，关键在于能够通过求导确定函数的单调性，从而根据单调性得到符合题意的极值点，从而问题得到求解.
18.某企业开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名技术人员，将他们随机分成两组，每组20人，第一组技术人员用第一种生产方式，第二组技术人员用第二种生产方式.根据他们完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：
（1）求40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m 合计 第一种生产方式 第二种生产方式 合计
（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20()P K k ≥
0.050 0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）详见解析；（2）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 【解析】 【分析】
（1）根据茎叶图中的数据可得中位数的值，然后分析图中的数据可完成列联表．（2）由列联表中的数据求出2K ，然后结合所给数据得到结论． 【详解】（1）由茎叶图知7981
802
m +=
=， 即40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数为80． 由题意可得列联表如下：
（2）由列联表中的
数据可得2
2
40(151555)10 6.63520202020
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点睛】独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②计算2K ；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．
注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k 值与求得的2K 相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1p -．
19.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以原点O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.
（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B
是曲线3C 与2C 的交点，A ，B 均异于原点O ，且AB =，求α的值. 【答案】（1）()()22
2224,24x y x y -+=+-=；（2）3π
4
. 【解析】 【分析】
（1）根据曲线1C 的参数方程，消去参数，即可得到1C 的普通方程；由4sin ρθ=两边同时乘以ρ，即可得到2
4sin ρρθ=，进而可得2C 的直角坐标方程；
(2)根据1C 的直角坐标方程先得到其极坐标方程，将θα=分别代入1C 和2C 的极坐标方程，
求出A ρ和B ρ，再由A B AB ρρ=
-=.
【详解】解：（1）由222x cos y sin ϕϕ
=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得1C 的普通方程为()2
224x y -+=.
由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，又sin y ρθ=，222
x y ρ+=，
所以2C 的直角坐标方程为()2
224x y +-=.
（2）由（1）知曲线1C 的普通方程为()2
224x y -+=， 所以其极坐标方程为4cos ρθ=.
设点A ，B 的极坐标分别为(),A ρα，(),B ρα， 则4cos A ρα=，4sin B ρα=，
所以4cos sin 4
A B AB πρρααα⎛
⎫=
-=-=-= ⎪⎝
⎭
所以sin 14πα⎛⎫
-
=± ⎪⎝
⎭，即()42
k k Z ππ
απ-=+∈， 解得()34
k k Z π
απ=+
∈， 又0απ<<，所以34
π
α=.
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
20.已知函数2
()ln 2(0)f x a x a x
=
+->. （1）若对于任意(0,)x ∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；
（2）记()()()g x f x x b b R =+-∈.当1a =时，函数()g x 在区间1
[,]e e -上有两个零点，求
实数b 的取值范围. 【答案】（1）2
(0,)e
；（2）2
(1,1]e e
+- 【解析】 【分析】
（1）利用导数求出函数的单调区间，根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使
()2(1)f x a >-恒成立，需使函数的最小值大于2(1)a -，从而求出实数a 范围。

（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，在根据函数()g x 在区间1
[,]e e -上有两个零点，可
得：()
10()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪⎪
≥⎨⎪<⎪⎩
，即可求出实数b 的取值范围。

【详解】（1）22
22'()a ax f x x x x -=-
+=，由'()0f x >解得2
x a
>；由'()0f x <解得2
0x a
<<
. 所以()f x 在区间2(,)a
+∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减， 所以当2
x a
=
时，函数()f x 取得最小值min 2()y f a
=.
因为对于任意(0,)x ∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a
>-即可.
则22
ln 22(1)
2a a a
a
+->-，由2ln a a a >解得20a e
<<， 所以a 得取值范围是2(0,)e
.
（2）依题意得2()ln 2g x x x b x =+-+-，则22
2
'()x x g x x +-=，
由'()0g x >解得1x >，由'()0g x <解得01x <<. 所以函数()g x 在区间1
,e e -⎡⎤⎣⎦上有两个零点，
所以()
10
()0(1)0
g e g e g -⎧≥⎪⎪≥⎨⎪<⎪⎩
，解得211b e e <≤+-.所以b 得取值范围是2
(1,1]e e +-.
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值以及零点问题，属于中档题。

21.近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在M 省的发展情况，M 省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A ，B 两项指标数,(1,2,3,4,5)i i x y i =，数据如下表所示：
==2s ==. （1）试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测当A 指标数为7时，B 指标数的估计值；
（3）若城市的网约车A 指标数x 落在区间(3,3)x s x s -+之外，则认为该城市网约车数量过多，会对城市交通管理带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至A 指标数x 回落到区间(3,3)x s x s -+之内.现已知2020年11月该城市网约车的A 指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由.
附：相关公式：()()
n
i
i
x x y y r --=
∑，1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑$，$a
y bx =-$.
0.55≈
0.95≈.
【答案】（1）0.95r ≈，y 与x 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y 与x 的关
系；（2）$
35
102
y x =+，当7x =时，$ 4.6y =；（3）要介入进行治理. 【解析】 【分析】
（1）由已知数据可得,x y ，利用公式，求得相关系数r ，即可作出判断，得到结论；
（2）由（1），求得b
$和ˆa ，求得回归直线的方程，代入7x =，即可求得回归方程； （3）由(3,3)(1,11)x s x s -+=-，而1311>，即可得到结论． 【详解】（1）由已知数据可得2456855x ++++=
=，34445
45
y ++++==.所以相关
系数
5
()
x x y y r --=
0.95=
=≈.
因为0.75r >，所以y 与x 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.
（2）由（1）可知()5
15
2
1()632ˆ010()i i i i i x x y y b x x ==--===-∑∑，354ˆ2ˆ510a y bx =-=-⨯=， 所以y 与x 之间线性回归方程为35
102
ˆy x =+. 当7x =时，35
76102
ˆ 4.y
=⨯+=. （3）()()3,31,11x s x s -+=-，而1311>，故2020年11月该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理.
【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用问题，其中解答中，认真审题，正确理解题意，利用公式准确计算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
22.已知函数()ln f x x =，2
()(21)g x ax a x =-+（0a ≠且12
a ≠
），2()3h x x kx =++.
（1）若函数()()()F x f x g x =+在(0,]e 上的最大值为1，求a 的值；
（2）若存在1(,)x e e
∈使得关于x 的不等式2()()0xf x h x +≥成立，求k 的取值范围.
【答案】（1）12a e =-或2a =-；（2）2321
e e k e
-+>-
【解析】 【分析】
（1）利用导数结合定义域讨论出函数的单调区间，根据单调区间求出函数的最小值，从而解出a 的范围； （2）关于x
的
不等式2()()0xf x h x +≥存在1,x e e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
成立，等价于不等式
22ln 3x x x k x ++≥-在1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，令22ln 3
()x x x h x x
++=-，对函数()h x 求导，求出函数()h x 在1,x e e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上的单调区间，从而求出()h x 的最小值，即可求出k 的取值范围。

【详解】（1）因为(21)(1)'()ax x F x x --=，令'()0F x =，11x =，21
2x a
=，
当
1
02a
<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)e 上单调递减， 所以()f x 在区间(0,)e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-.
当0a >，21
02x a
=
>， 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1
(,1)2a
上单调递减，(1,)e 上单调递增， 所以最大值1可能在1
2x a
=或x e =处取得，
而21111()ln
()(21)2222f a a a a a a =+-+11
ln 024a a
=-<， 所以2
()ln (21)1f e e ae a e =+-+=，解得1
2
a e =-. 当112e a <
<时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1
(,)2e a
上单调递增，
所以最大值1可能在1x =或x e =处取得，
而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，
所以2()ln (21)1f e e ae a e =+-+=， 解得12
a e =-，与2112x e a <=<矛盾. 当12e a
≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,)e 单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾. 综上所述，12
a e =-或2a =-. （2）关于x 的不等式2()()0xf x h x +≥存在1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
成立， 等价于不等式22ln 3x x x k x ++≥-1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
有解， 设22ln 3()x x x h x x ++=-，1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22
23'()x x h x x +-=-， 当'()0h x >即11x e
<<时，()h x 递增，当'()0h x <，即1x e <<时，()h x 递减， 又21321e h e e e -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，223()e h e e e ++=-，∵1()0h h e e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，∴2321e e k e -+>-. 【点睛】本题主要考查利用导数讨论函数的单调区间，最大最小值的问题以及分离参数法，综合性比较强，有一定难度。