2024届上海市长宁区高三二模数学试题及答案

上海市长宁区2024届高三二模数学试卷
（满分150分，时间120分钟）
一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）
1.已知集合 1,2A ， 1,3,B a ，若A B ，则a ．
2.
不等式213x 的解集为
．
3.在4
1x
的展开式中2
的系数为
．
4.在
5.若3a
6.直线2
7.
8.
的取值9.10.的横
11.
出租车没有载客行驶的里程
出租车空驶率出租车行驶的总里程
．依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型
,,,u f t s k a ，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%x ，则x
．
（精确到0.01）
12.已知平面向量a 、b 、c
满足：a b 2c ，若
0c a c b ，则a b 的最小值为
．
二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）
13.设z C ，则“z z ”是“z R ”的（）
.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.已知直线a 、b 和平面 ，则下列判断中正确的是（）
.A 若//a ，//b ，则//a b ；.B 若//a b ，//b ，则//a ；.C 若//a ，b ，则a b ；.D 若a b ，//b ，则a ．
15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6，9.7，9.5，9.9，9.4，9.8，9.3，10.0．已知这组数据的第x
百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）.A 65；.B 70；.C 75；.D 80．
16.设数列 n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c ，则称数列
n a p ．
.A .C 三、17.
（1）（2） y g x 的值域．
第
18题图
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB AD ，11AA ．（1）求二面角1D AC D 的大小；
（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ．
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球．
（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒
子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；
（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望和方差．
已知椭圆22
:163
x y ，O 为坐标原点．
（1）求 的离心率e ；
（2）设点 1,0N ，点M 在 上，求MN 的最大值和最小值；
（3）点 2,1T ，点P 在直线3x y 上，过点P 且与OT 平行的直线l 与 交于A 、B 两点．试探究：
是否存在常数 ，使得2
PA PB PT 恒成立？若存在，求出该常数的值；若不存在，请说明
理由．
设函数 y f x 的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ，都有 f x k ，则称函数 y f x 有上界，实数k 的最小值为函数 y f x 的上确界．
记集合 0,n n f x M f x y x
在区间上是严格增函数．
（1）求函数2
1y x
（26x ）的上确界：（2）若 32
12ln f x x hx x x M ，求h 的最大值；
（3）设函数 y f x 的定义域为 0, ．若 2f x M ，且 y f x 有上界，求证： 0f x ，
且存在函数 y f x ，它的上确界为0．
上海市长宁区2024届高三二模数学试卷-简答
D 1
B 1
2023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷
参考答案和评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.2； 2. 1,2 ；
3.4；
4.
23
； 5.1； 6.
4
7.无关；
8. 1,02,2
；9.3 ；10.13；
11.20.68；12.2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.C ；14.C ；15.D ；16.B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）
sin 26f x x
.
每空2分，解析式2分
（2） 22sin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x
111
1cos 2sin 222242x x x
，
……..4分
因为0,2x ，所以32,444x ，进而sin 242x
，
…….6分
所以函数
y g x
的值域为12
………8分
18．
（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）设BD 与AC 相交与E ，连接1D E 因为ABCD 为正方形，所以BD AC ，又因为1DD 平面ABCD ，所以DE AC ，…….2分
所以1D ED 即为二面角1D AC D 的平面角，……..4分
由已知DE 1tan D ED
D1
B1
二面角
1
D AC D
的大小为arctan
2
.……..6分
（2）连接
1
BA、
1
BC
因为
11
//
BA CD，所以
1
//
BA平面
1
D AC，…….2分
因为
11
//
BC AD，所以
1
//
BC平面
1
D AC，……..4分
所以平面
11
//
BA C平面
1
D AC，………6分
因为直线BP 平面
11
BA C，所以直线//
BP平面1D AC.………8分
方法二：以AB、AD、
1
AA为x y z
、、轴，建立空间直角坐标系.则
0,0,0
A，
2,0,0
B，
2,2,0
C，
1
0,2,1
D，………2分
因为点P在直线
11
A C上，所以可设
,,1
P a a，……..4分
设平面
1
D AC的法向量为
,,
n x y z
，
由0
n AC
，
1
n AD
，得220
x y
，20
y z
，
所以可取
1,1,2
n
，……..6分
因为
2,,1
BP a a
，所以0
n BP
，进而n BP
，
又因为BP不在平面
1
D AC上，所以直线//
BP平面1D AC.…….8分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1）第一次取出红球的概率为
2
3
，取出白球的概率为
1
3
，…….2分
第一次取出红球，第二次取出红球的概率为
231
342
第一次取出白球，第二次取出红球的概率为
111
326
……..4分
所以第二次取出的球是红球的概率为
112
263
………6分
（2）
2
3
2
9
C1
12
C
P X ，
11
63
2
9
C C1
1
2
C
P X ，
2
6
2
9
C5
2
12
C
P X ，
所以X的分布为
012
115
12212
，……….4分
1154012122123E X
……..6分
2
151342126E X ，所以 2
2
13167
6918
D X
E X E X
，…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
解：（1）设 的半长轴长为a ，半焦距为c ，
则a
，c ，………2分
所以2
c e a
.……..4分
（2）设 ,M x y ，
MN
……2分
因为x ……3分
所以当2x
时，MN ，
……..4分当x 时，
MN 取得最大值为1 .…….6分
（3）设 ,3P a a ， 11,A x y ， 22,B x y ，则直线13:322
l y x a
，………2分
22
22PT a ，
………3分
11111,3,22a PA x a y a x a x
，
22221,3,22a PB x a y a x a x
………4分
将直线l 方程代入椭圆方程得 2
222240x a x a 所以 1222x x a ， 2
1224x x a ，
……..5分
21212125544PA PB x a x a x x a x x a 2
5224
a ,……..6分
得254
PA PB PT ，
所以存在5
4
，使得2PA PB PT 恒成立.
……..8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
x
得 10f x ，0k ，……3分
取21x x ，且2x
，由21x x ，得
21222
1
f x f x x x
①
由2x
，得 12222
122
f x f x k x x x ②①式与②式矛盾，所以假设不成立，即对于任意 0,x ，均有 0f x .……6分
令 10f x x x
，则 231
f x y x x
因为当0x 时，43
0y x
，
所以
2f x y 在 0, 上严格增， 2
y f x M。