(2021年整理)最新版精选2019高考数学《导数及其应用》专题完整考试题(含参考答案)

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2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校:__________ 姓名:__________ 班级：__________ 考号：__________
一、填空题
1．曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 ． 答案 520x y +-=
2．若函数f (x )＝ax 4
＋bx 2
＋c 满足(1) 2f '=，则(1)f '-= ． 3．函数f (x )＝1
2x －sin x 在区间[0，π］上的最小值为 ．
4．已知
A 、
B 、
C 是直线l 上的三点，向量,,OA OB OC 满足
()[2'(1)]ln OA f x f x OB x OC =+-⋅，则函数()y f x =的表达式为 ▲ ．
5．设函数()2ln f x x x =+,若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为y ax b =+，则a b += ．
6．给出下列命题：①函数)(x f y =的图象与函数3)2(+-=x f y 的图象一定不会重合； ②函数)32(log 22
1++-=x x y 的单调区间为),1(∞+；
③ππ---=+⎰e dx e x x 1)(cos 0
；
④双曲线的渐近线方程是x y 4
3±=，则该双曲线的离心率是45
．
其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上）． 答案 ③
7．已知函数f(x)= ()2f π'sinx+cosx ，则()4
f π
= .
8．函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '= ▲ 。

二、解答题
9．已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值
之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数在开区间(99)m m --, 上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．
10．已知函数21()2,()log 2
a f x x x g x x ==－（a ＞0，且a ≠1），其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数,且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数)． （Ⅰ）求a 的值；
(Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B (x 2，y 2）(x 1<x 2)是函数y ＝g （x ）的图象上两点，21
021
()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数),证明:102x x x <<．
11．过点A (2，1)作曲线()f x =l ． (Ⅰ）求切线l 的方程；
（Ⅱ)求切线l ，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ．
12．设函数()32221f x x mx m x m =---+-（其中2m >-）的图象在2x =处的切线与直线
512y x =-+平行。

（1） 求m 的值和该切线方程；(2）求函数()f x 的单调区间;(3)证明：对任意的
[]12,0,1x x ∈，有()()124
.27
f x f x -≤
13．设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a
=-
>>且为常数. ⑴当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明； ⑵当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；
⑶若0k <,且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数。

14．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2
＋cx ＋d(a 、b 、c 、d ∈R ），且函数f （x)的图象关于原点对称，其图象x ＝3处的切线方程为8x －y －18＝0。

（1)求f （x)的解析式；
(2）是否存在区间[],a b ，使得函数f （x)的定义域和值域均为[],a b ？若存在，求出这样的一个区间[],a b ；若不存在，则说明理由;
（3)若数列｛a n }满足：a 1≥1,a n+1≥/(1)n f a +，试比较错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!与1的大小关系,并说明理由。

15．某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥
面工程费用为(2x +万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。

（1）试写出y 关于x 的函数关系式；
（2）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小?
16．如图1,OA ,OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤。

为观光旅游需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ,OB 平行的栈桥MG ，
MK ,且以MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，
测得CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线EF 的方程是200(0)xy x =>，设点M 的坐标为
(,)s t ．(题中所涉及长度单位均为米,栈桥及防波堤都不计宽度）
(1）求三角形观光平台MGK 面积的最小值；
（2）若要使MGK ∆的面积不小于320平方米,求t 的范围．(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研）（本小题满分16分)
17．设函数y=f （x ）对任意实数x,都有f(x)=2f （x+1),当x ∈ [0，1］时，f(x ）=
274
x 2
（1-x ）。

（Ⅰ）已知n ∈N +，当x ∈[n ，n+1]时，求y=f(x ）的解析式; （Ⅱ)求证:对于任意的n ∈N +,当x ∈［n,n+1］时，都有|f （x ）｜≤
n
12； (Ⅲ）对于函数y=f(x ）(x ∈[0，+∞),若在它的图象上存在点P ，使经过点P 的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由.
E
D C O F G
H
A B
C
D A F G
H
18．如图：在一个奥运场馆建设现场,
现准备把一个半径为m 的球形工件吊起平放到6m 高的平台上，工地上有一个吊臂长12DF =m 的吊车，吊车底座FG 高1.5m .当物件与吊臂接触后，钢索CD 长可通过顶点D 处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度,并判断能否将该球形工件吊到平台上？
19．已知函数a ax x x x f +-+-=
ln )1(2
1
)(2． （I ）若2
3=a ，求函数)(x f 的极值；
(II)若对任意的)3,1(∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围．（2010辽宁丹东一模)
关键字：求函数的极值；恒成立问题；求参数的取值范围；不能参变分离
20．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位：元/千克）满足关系式2)6(103
-+-=
x x a
y ，其中63<<x ， a 为常数,已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
⑴求a 的值;
⑵若该商品的成本为3元/千克， 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21．设1
()(0)x x f x ae b a ae
=+
+>。

（I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；
(II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3
2
y x =；求,a b 的值.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）
22．设函数32()f x ax bx cx d =+++是奇函数，且当3x =-时，()f x 取得极小值23-。

（1)求函数()f x 的解析式；
（2)求使得方程11
()4033
f x nx n '--++=仅有整数根的所有正实数n 的值；
（3)设()|()(31)|g x f x t x =+-，（[1,1]x ∈-),求()g x 的最大值()F t ．
23．现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD 铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．
方案一：如图（1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中间，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；
方案二：如图(2)，若从长方形ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值。

24．已知函数c bx x ax x f -+=4
4ln )(（x>0）在x = 1处取得极值c --3，其中,,a b c 为常数。

（1)试确定,a b 的值;
（2）讨论函数f(x ）的单调区间;
（3）若对任意x>0，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.（16分)
25．设函数2()x x
f x c e
=
+（e =2。

71828是自然对数的底数,c R ∈）。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间、最大值; （Ⅱ)讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数. (2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理)试题（含答案)）
26．已知函数32()ln ,()2a
f x x
g x x ax bx x
=-=+-+（其中,a b R ∈），且函数()g x 在1x =时取得
极值。

（1）若函数()g x 在1x =时取得的极值为2,求()g x 的解析式 （2)求函数()f x 的单调区间
（3）若2()()4xf x g x '≤+在1
[,2]e
（e 为自然对数的底数）上恒成立，求实数a 的取值范围。

(文）
27．设函数x x f ln )(=，x
b
ax x g +=)(，函数f （x )的图像与x 轴的交点也在函数g （x )的图像
上，且在此点处)(x f 与)(x g 有公切线．
⑵
求a ，b 的值；
⑵ 设0x >,试比较)(x f 与)(x g 的大小．（本题满分16分）
28．已知2x =是函数2()ln 12f x a x x x =+-的一个极值点. (Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间。

（13分)
29．已知函数)(,4)(23R x bx ax x x f ∈+++=在2x =处取得极小值． （Ⅰ）若函数)(x f 的极小值是4-，求)(x f ;
（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值不小于6-，问：是否存在实数k ，使得函数)(x f 在[],3k k +上单调递减。

若存在,求出k 的范围；若不存在,说明理由。

30．已知函数21
()2
g x x a =-，()2()1h x x g x =⋅+,若对任意(0,2]x ∈,不等式()10g x x -≤恒成立，
（1）求实数a 的取值范围；
（2)在区间[,1]t t +上满足不等式()1h x ≥的解有且只有一个，求实数t 的取值范围（直接写答案，不必写过程）；
(3）若()f x =2()2h x x x -+, 试判断在区间(0,)m 内是否存在一个实数b ，使得函数()f x 的图像在
x b =处的切线的斜率等于21m m --,并说明理由．。