初二数学上期末第一次模拟试题附答案

一、选择题
1．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x =
B ．3x =-
C ．3x =±
D ．以上均不对 2．下列计算正确的是（ ） A ．22a a a ⋅=
B ．623a a a ÷=
C ．2222a b ba a b -=-
D ．3339()28a a
-=- 3．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．设原来参加游览的学生共x 人．则所列方程是（ ）
A ．
18018032x x -=- B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032
x x -=+ 4．计算22
1(1)(1)x x x +++的结果是（ ） A ．1
B ．1+1x
C ．x +1
D ．21(+1)x 5．多项式2
91x 加上一个单项式后﹐使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（ ）
A ．6x ±
B ．-1或4814x
C ．29x -
D ．6x ±或1-或29x - 6．按照如图所示的运算程序，能使输出y 的值为5的是（ ）
A ．1,4m n ==
B ．2,5m n ==
C ．5,3m n ==
D ．2,2m n ==
7．2a =1，b 是2的相反数，则a+b 的值是（ ） A ．1
B ．-3
C ．-1或-3
D ．1或-3 8．下列计算正确的是（ ） A ．224x x x +=
B ．222()x y x y -=-
C ．26()x y x y =3
D ．235x x x
9．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．0
D ．2021- 10．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）
A ．∠1＝2∠2
B ．∠1+∠2＝180°
C ．∠1+3∠2＝180°
D ．3∠2﹣∠1＝180° 11．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥C
E ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则
DE 的长是（ ）
A ．1.5
B ．2
C ．
22
D ．10
12．如图，在ABC 中，AB 边上的高为（ ）
A ．CG
B ．BF
C ．BE
D ．AD
二、填空题
13．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020
n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．
14．约分：22618m n mn
=-________________ 15．已知x-3y=-1，那么代数式3-2x+6y 的值是________
16．一个三角形的面积为3xy －4y ，一边长是2y ，则这条边上的高为_____． 17．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．
18．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为___________．
19．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________
20．如图，已知ABC 的角平分线BD ，CE 相交于点O ，∠A=60°，则
∠BOC=__________．
三、解答题
21．解方程：
（1）
x 21x 1x -=- （2）3142
x x -=-+ 22．已知点()0,A y 在y 轴正半轴上，以OA 为边作等边OAB ，其中y 是方程31222y +-31
y =-的解． （1）求点A 的坐标；
（2）如图1，点P 在x 轴正半轴上，以AP 为边在第一象限内作等边APQ ，连QB 并延长交x 轴于点C ，求证：OC BC =；
（3）如图2，若点M 为y 轴正半轴上一动点，点M 在点A 的上边，连MB ，以MB 为边在第一象限内作等边MBN △，连NA 并延长交x 轴于点D ，当点M 运动时，DN AM -的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．
23．分解因式：
()()144m m ++
()32228x xy -
24．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．
（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；
（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；
（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．
25．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．
（1）____________；
（2）____________．
26．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线．
（1）已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；
（2）设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据分式等于0的条件：分子为0，分母不为0解答．
【详解】
由题意得：2
90,30x x -=-≠，
解得x=-3，
故选：B ．
【点睛】
此题考查分式的值等于0的条件，熟记计算方法是解题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
A 、
B 两项利用同底数幂的乘除法即可求解，
C 项利用合并同类项法则计算即可，
D 项利用分式的乘方即可得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A 、原式=a 3，不符合题意；
B 、原式=a 4，不符合题意；
C 、原式=-a 2b ，符合题意；
D 、原式=3
278a -
，不符合题意， 故选：C ．
【点睛】
此题考查了分式的乘方，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
设原来参加游览的学生共x 人，增加2人后的人数为（x+2）人，用租价180元除以人数，
根据后来每名同学比原来少分摊3元车费列方程．
【详解】
设原来参加游览的学生共x 人，由题意得
18018032
x x -=+， 故选：D ．
【点睛】
此题考查分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据同分母分式加法法则计算．
【详解】
221(1)(1)x x x +++=211(1)1
x x x +=++， 故选：B ．
【点睛】
此题考查同分母分式加法，熟记加法法则是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据完全平方公式计算解答．
【详解】
解：添加的方法有4种，分别是：
添加6x ，得9x 2+1+6x=（3x+1）2；
添加﹣6x ，得9x 2+1﹣6x=（3x ﹣1）2；
添加﹣9x 2，得9x 2+1﹣9x 2=12；
添加﹣1，得9x 2+1﹣1=（3x ）2，
故选：D ．
【点睛】
此题考查添加一个整式得到完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键． 6．D
解析：D
【分析】
根据题意逐一计算即可判断．
【详解】
A 、当m=1，n=4时，则m n <，∴2224210y n =+=⨯+=，不合题意；
B 、当m=2，n=5时，则m n <，∴2225212y n =+=⨯+=，不合题意；
C 、当m=5，n=3时，则m n >，∴3135114y m =-=⨯-=，不合题意；
D 、当m=2，n=2时，则m n >，∴313215y m =-=⨯-=，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
7．C
解析：C
【分析】
根据平方及相反数定义求出a 、b 的值，代入a+b 计算即可．
【详解】
∵2a =1，b 是2的相反数，
∴1a =±，b=-2，
当a=1时，a+b=1-2=-1，
当a=-1时，a+b=-1-2=-3，
故选：C ．
【点睛】
此题考查求代数式的值，根据平方及相反数定义求出a 、b 的值是解题的关键． 8．D
解析：D
【分析】
根据整式的加法法则，乘法法则，积的乘方计算法则，完全平方公式分别计算进行判断．
【详解】
A 、2222x x x +=，故该项错误；
B 、222()2x y x xy y -=-+，故该项错误；
C 、2363()x y x y =，故该项错误；
D 、23
5x x x ，故该项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查整式的计算，正确掌握整式的加法法则，乘法法则，积的乘方计算法则，完全平方公式是解题的关键． 9．A
解析：A
【分析】
关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．
【详解】
解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得
a-1=2017，1-b=2020．
解得a=2018，b=-2019，
∴()
()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选：A ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 10．D
解析：D
【分析】
根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．
【详解】
解：∵2∠是ACD △的外角，
∴12C ∠+∠=∠，
∴∠C=∠2-∠1，
∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵AB BD =，
∴2BAD ∠=∠，
∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，
∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，
∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．
故选：D ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 11．B
解析：B
【分析】
根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB ≅
∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE 的值．
【详解】
∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，
∴∠E=∠ADC=90︒，
∴∠EBC+∠BCE=90︒，
∵∠BCE+∠ACD=90︒，
∴∠EBC=∠DCA ，
在∆CEB 和∆ADC 中，∠E=∠ADC ，∠EBC=∠DCA ，BC=AC ，
∴∆CEB ≅∆ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
12．A
解析：A
【分析】
在ABC 中，过C 点向AB 所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB 上的高，由此可得答案．
【详解】
解：ABC 中，AB 边上的高为：.CG
故选：.A
【点睛】
本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．
二、填空题
13．4038【分析】先根据已知图形得出代入方程中再将左边利用裂项化简解分式方程可得答案【详解】由图形知：∴∵∴故填：30；【点睛】本题考查图形的变化规律解题的关键是根据已知图形得到以及裂项的规律
解析：4038
【分析】
先根据已知图形得出()1n a n n =+，代入方程中，再将左边利用
()11111
n n n n =-++裂项化简，解分式方程可得答案．
【详解】
由图形知：112a =⨯，223a =⨯，334a =⨯，
∴ ()1n a n n =+，556=30a =⨯， ∵ 123201922222020
n a a a a +++⋅⋅⋅+=， ∴2222122334201920202020
n +++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯， 1111121223201920202020n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭
，
4038n =，
故填：30；4038．
【点睛】
本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得到()1n a n n =+，以及裂项的规
律()11111
n n n n =-++． 14．【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简【详解】故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变 解析：3m n
-
【分析】
根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简．
【详解】 22
618m n mn =-3m n -， 故答案为：3m n
-
． 【点睛】
此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 15．5【分析】把3-2x+6y 化为3-2(x-3y)再代入求值即可【详解】∵x ﹣3y=-1∴原式=3-2(x-3y)=3-(-2)=5故答案为：5【点睛】本题考查了代数式求值熟练运用整体思想是解本题的关键
解析：5
【分析】
把3-2x+6y 化为3-2(x-3y)，再代入求值即可.
【详解】
∵x ﹣3y=-1，
∴原式=3-2(x-3y)=3-(-2)=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了代数式求值，熟练运用整体思想是解本题的关键．
16．3x －4【分析】利用面积公式计算即可得到答案【详解】设这条边上的高为a 由题意得：∴ay=3xy-4y ∴a=3x-4故答案为：3x-4【点睛】此题考查多项式除以单项式法则：用多项式中的每一项分别除以单
解析：3x －4
【分析】
利用面积公式计算即可得到答案．【详解】
设这条边上的高为a，
由题意得：1
234
2
y a xy y ⋅⋅=-，
∴ay=3xy-4y，
∴a=3x-4，
故答案为：3x-4．
【点睛】
此题考查多项式除以单项式法则：用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加．17．9【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题
解析：9
【分析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
由点P（x-y，y）与点Q（-1，-5）关于x轴对称，得x-y＝-1，y＝5．
解得x＝4，y＝5，
x+y=4+5=9，
故答案为：9
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
18．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为
10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1
解析：25
【分析】
分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．
【详解】
解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25；
当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意．
故答案为：25
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键．
19．【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD 进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度
【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共
解析：10
【分析】
过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．
【详解】
解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．
∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，
∴OM OE ON 5===，
又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，
∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，
∴M ，O ，N 三点共线，
∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．
20．【分析】根据三角形的内角和定理角平分线的定义即可得【详解】BDCE 是的角平分线故答案为：【点睛】本题考查了三角形的内角和定理角平分线的定义熟练掌握角平分线的定义是解题关键
解析：120︒
【分析】
根据三角形的内角和定理、角平分线的定义即可得．
【详解】
60A ∠=︒，
180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，
BD 、CE 是ABC 的角平分线，
11,22
OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ()1602OBC OCB ABC ACB +=
∠+∠∴=∠∠︒， ()180********OBC OCB BOC ∠=︒-︒∴∠+∠=︒=-︒，
故答案为：120︒．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
三、解答题
21．（1）2x =；（2）1x =-．
【分析】
（1）等式两边同时乘()1x x -去分母，再按照整式方程的解法求解即可；
（2）等式两边同时乘()+2x 去分母，再按照整式方程的解法求解即可．
【详解】
（1）解：等式两边同时乘()1x x -得：()()2
21=1x x x x ---， 去括号得：222+2=x x x x --，
移项并合并同类项得：=2x --，
解得：2x =，
经检验2x =是原分式方程的根；
（2）解：等式两边同时乘()+2x 得：()3142x x -=-+，
去括号得：3148x x -=--，
移项并合并同类项得：77x =-，
解得：1x =-，
经检验1x =-是原分式方程的根．
【点睛】
本题考查分式方程的解法，化分式方程为整式方程是关键．
22．（1）()0,4A ；（2）见解析；（3）DN AM -的值不变，其值为12．
【分析】
(1)解分式方程求出y 即可知道A 点坐标；
(2)证明△AOP ≌△ABQ ，进而得到∠ABQ=∠AOP=90°，再由∠AOB=∠ABO=60°得到∠BOC=∠OCB=30°，由此可以证明CO=CB ；
(3)证明△ABN ≌△OBM ，得到OM AN =，60BAN BOM ∠=∠=︒，进而求出∠DAO=60°，在Rt △DAO 中求出DA=2AO=8，最后DN-AM=(DA+AN)-(MO-AO)= (DA+AN)-(AN-AO)=8+4=12．
【详解】
解：(1)∵y 是方程3132221
y y +=--的解， 方程两边同时乘以最简公分母2(1)-y ：解得4y =
经检验4y =是原方程的解
∴点()0,4A ．
(2)∵APQ 、ABO 都是等边三角形
∴AO AB =，AP AQ =，60BAO PAQ ∠=∠=︒，
∴PAO BAQ ∠=∠，
∴()≌
PAO QAB SAS △△，∴90QBA POA ∠=∠=︒， ∵ABO 是等边三角形，
∴60AOB ABO ∠=∠=︒，∴30COB CBO ∠=∠=︒
∴CO BC =．
(3)其值不会变化，且12DN AM -=，理由如下：
∵AOB ∆、MBN ∆都是等边三角形，
∴4BO AB AO ===，MB BN =，60BAO ABO MBN ∠=∠=∠=︒，
∴OBM ABN ∠=∠，
∴()ABN OBM SAS ≌
△△， ∴OM AN =，60BAN BOM ∠=∠=︒，
∴4AN OM OA AM AM ==+=+，
∵18060OAD OAB BAN ∠=︒-∠-∠=︒，
∴
30ADO ∠=︒
∴28AD AO ==
∴4812DN AM AN AD AM AM AM -=+-=++-=
即DN AM -的值不变，其值为12． 【点睛】
本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
23．（1）()2
2m +；（2）()()222x x y x y +- 【分析】
（1）将原代数式去括号计算后，直接利用完全平方公式因式分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解．
【详解】
解：()()144m m ++
244m m =++
()2
2m =+； ()32228x xy -
()
2224x x y =- ()()222x x y x y =+-．
【点睛】
本题考查因式分解．一般因式分解时能提取公因式先提取公因式，再看能否运用公式因式分解．
24．（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，
点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）；
（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；
（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．
【详解】
解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，
点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1
（2，0）， 如图；B 1（2，0）；
（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，
则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，
则点P 为所求，如图；
（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，
11MB MC -最大=C 1B 1，如图．
【点睛】
本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．
25．（1）∠ADE=∠ADF ；证明见解析；（2）AE=AF ；证明见解析．
【分析】
（1）∠ADE=∠ADF ，根据DE ⊥AB ，DF ⊥AC 及AD 为∠BAC 的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF ；
（2）AE=AF ，根据（1）可知证明△AED ≌△AFD ，即可证得AE=AF ．
【详解】
（1）结论1：∠ADE=∠ADF ，证明如下：
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠AED=∠AFD=90︒，
∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD ，
∴∠ADE=∠ADF ；
（2）结论2：AE=AF ，证明如下：
由（1）可知：△AED ≌△AFD ，
∴AE=AF ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．
26．（1）10°；（2）12DAE
，证明见解析． 【分析】
（1）根据三角形的内角和等于180︒列式求出BAC ∠，再根据角平分线的定义求出BAE ∠，根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAE BAD BAE ∠=∠-∠代入数据计算即可得解；
（2）根据三角形的内角和等于180︒列式表示出BAC ∠，再根据角平分线的定义求出BAE ∠，根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAE BAD BAE ∠=∠-∠整理即可得解．
【详解】
解：（1）40B ∠=︒，60C ∠=°，
180180406080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， AE ∵是角平分线， 11804022BAE BAC ，
AD 是高，
90904050BAD
B ， 504010DAE BAD BAE ；
（2）1
()2．
B α∠=，()
C βαβ∠=<，
180()BAC ，
AE ∵是角平分线， 1190()22BAE BAC ，
AD 是高，
9090BAD
B ， 1190[90()]()22DAE BAD BAE ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握定理与概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．。