高三数学高考一轮复习系列教案第十二章 极限、导数和复数 大纲版

第十一章 极限、导数和复数
高考能力要求
1．了解数列极限和函数极限的概念. 2．掌握极限的四则运算法则，会求某些数列和函数的极限.
3
．了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值.
4
．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.
5. 熟记八个基本导数公式(c ,m
x (m 为有理数)，
x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
6．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．
7．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
8．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
9．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.
高考热点分析
1．求数列的极限或已知极限求参数，主要考查数列的有关知识和极限的四则运算法则.
2．求函数的极限或利用函数的极限判断函数在给定点处的连续性，主要考查分段函数的左、右极限及连续的概念，以选择题、填空题为主.
3．利用导数研究函数的单调性，求函数的极大（小）值，求函数在连续区间上的最大、最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题.
高考复习建议
1．从数列或函数的变化趋势来理解极限，复习时应给予足够的重视.
2．在数列或函数极限存在的前提下，求极限时，要注意用好四则运算法则.
3．极限本身便是一种很重要的数学思想方法，应注意体会.
4．导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.
5．重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.
.
11．1 数列的极限
知识要点
1．数列}{n a 的极限是A ，粗略地说，就是当数列的项数n 无限_______时，数列a n 的项_________于A ，这就
是数列极限的描述性定义．
2．极限的四则运算
如果∞→n lim a n ＝A ，∞→n lim b n ＝B ，那么∞→n lim
(a n ±b n )＝ ． ∞→n lim
(a n ·b n )＝ ．
∞→n lim (n
n b a )＝ (B ≠0)
∞
→n lim
(c ·a n )＝ ．
3．三个基本极限 (1) ∞→n lim C ＝
(2) ∞→n lim n 1＝
(3) ∞→n lim q n
＝ (｜q ｜< )
例题讲练
【例1】 求下列极限 (1) 2
2
2435lim
n
n n n n +--+∞→
(2) )]1([lim n n n n -+∞
→
【例2】 已知0)(lim 1
1
2
=--++∞
→b an n n n ，求实数a 、b 的值．
【例3】 设首项为1，公比为q （q >0）的等比数列{n a }的前n 项之和为n S ，又设,1
+=n n S S n T 求n n T →∞
lim ．
【例4】 已知3
1)
1(331lim =
++∞→+n
n n a n ，求a 的取值范围．
小结归纳 1．求数列极限的基本思路是：进行恒等变形后运用极限的运算法则与常用三个极限进行.
2．变形的方法有：(1) 同除以分子分母中的最高次幂；(2) 利用有理化因式变形；(3) 对于无穷项的和与积的极限，必须先求出前n 项的和或积，再求极限.
3．已知极限值求参数：把参数当做已知的实数先求极限，从而得到方程(或不等式)解方程(或解不等式).
4．求数列的极限应注意：
(1) 参加运算的每个数列的极限必须存在；
(2) 分式数列的各项及其极限中的分母均不能为零； (3) 只有有限个数列的四则运算才能进行.
基础训练题 一、选择题
1． 下列命题正确的是
（ ）
A ．若22
lim ,lim a a a a n
n n n ==→∞
→∞
则 B ．若a a a a n n n
n ==∞
→∞
→lim ,lim 2
则 C ．若b
a
b a b b a a n n n n n n n ===∞→∞
→∞
→lim
,lim ,lim 则
D.若0)(lim ,0lim ,lim ==∞=∞
→∞
→∞
→n n n n n n n b a b a 则
2． (2006陕西卷))
11(21
lim
2
2
--+∞
→n n n n 等于 ( )
A ．1
B ．1
2
C ．1
4
D ．0
3． 已知b a ,是互不相等的正数，则n n b
a b a n +-→∞lim
等于（ ）
A ．1
B ．－1或 1
C ．0
D ．－1或0
4． )1
21
121
31
21
1(lim +-+-+-+++-+∞
→n n n n n n n n ＝ （ ）
A ．–1
B ．0
C ．21
D ．1
5． 2
123lim
n n
n →∞++++= （ ）
A ．2
B ．1
C ．12
D ．0
6．（2006湖南理）若数列}{n a 满足：3
1
1=
a ，且对任意正整数m ，n 都有n m n m a a a ⋅=+，则++∞
→21(lim a a n
=+)n a
（ ）
A ．21
B ．
3
2
C ．2
3
D ．2
二、填空题
7． 321
3223lim 23n n n n
n +→∞-+＝ .
8． =----∞→)]1
1()411)(311)(211[(lim 2222n n ．
9．=++++++++∞
→)(lim
11413122
242322n n n C C C C n C C C C .
10．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下
端剪去一个半径为2
1
的半圆后得到图形P 2，然后依次
剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、，P n ，，记纸板P n 的面积为S n ，则=∞
→n n S lim .
三、解答题 11．求)0(22lim 1
1>+++-∞
→a a a n n n n n
12．有一系列椭圆，满足条件（1）中心在原点；（2）以x
＝1为准线；（3）离心率n n e )(21=，n ＝1，2，3，…，
求所有这些椭圆的长轴长之和.
13．设正整数列{a n }为一等比数列，且a 2＝4，a 4＝16,
求2
221lg lg lg lim n a a a n
n n n +++++∞
→ .
提高训练题 14．在数列{a n }中，a 1＝
2
3
，且恒有a n ＋1－2a n ＋1＝0，S n 是数列{ a n }的前n 项和． （1）求数列{ a n }的通项a n ； （2）计算n
n n a n
S -→∞lim
.
P 1 P 2
P 3 P 4
15．一动点由坐标平面的原点出发，向右移动1个单位到
A 1(1, 0)，然后向上移动21个单位到A 2 (1, 2
1
)，…，
以后按左、下、右、上方向移动，每次移动的长度为前一次移动长度的一半，求动点的极限位置与原点的距离．
11．2 函数的极限与函数的连续性
知识要点
一、x →∞时，函数)(x f 的极限
(1) 当自变量x 取 值并且 增大时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f 的极限是a ，记作 ，也可记作当x a x f →+∞→)(,.
(2) 当自变量x 取 值并且 增大时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f 的极限是a ，记作 ，也可记作)(,x f x -∞→a →.
(3) 如果 且 ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作 .
(4) 对于常函数)(x f ＝C ，（x ∈R ），也有)
(lim x f x ∞
→＝ ．
二、当0x x →时，函数)(x f 的极限
1．当自变量x 常数)(00x x x ≠时，如果函数
)(x f 一个常数a ，就说当x 趋近于0x 时，函数
)(x f 的极限是a ，记作 .也可记作当0x x →时，
()f x a →；0
lim ()x x f x →也叫做函数)(x f 在点 处的
极限.
2．函数的左、右极限
(1) 如果当x 从点0x x =左侧(即0x x <)无限趋于0x 时，函数)(x f 无限趋近于常数a ，就说a 是函数)(x f 在点0x 处的 ，记作 .
(2) 如果当x 从点0x x =右侧（即0x x >）无限趋于0x 时，函数)(x f 无限趋于常数a ，就说a 是函数)(x f 在点0x 处的 ，记作 .
3． 0
l i m ()x x f x →⇔＝a
4．函数极限的四则运算与 四则运算法则一样. 5．若函数)(x f 在某个区间内连续，且0x 是这个区间内的一个值，则0
lim ()x x f x →＝ .
三、函数的连续性
1．如果函数)(x f 在点0x x =处及其附近有定义，而且 ，就说函数)(x f 点0x 处连续.
2．连续必须满足三个条件：
(1) 函数y ＝f (x )在点0x x =处有 ；
(2) )(lim 0x f x x → ；
(3) )(lim 0
x f x x →＝ .
3．连续和不连续点：如果函数y ＝f (x )在点0x x =对连续的三个条件中有 个不具备，那么函数f (x )在点0x x =处不连续，点0x x =称为此函数的 点. 4．开区间上的连续：若)(x f 在(a ，b )内 都连续，则称)(x f 在开区间(a , b )内连续.
5．闭区间上的连续：对于闭区间[a , b ]上的函数f (x ),如果f (x )在开区间(a , b )内 ，且在a 点右连续，在b 点左连续，则称)(x f 在闭区间[ a ,b ]上连续.
6．最大值、最小值定理
如果函数)(x f 在闭区间[a , b ]上是连续函数，那么)(x f 在闭区间[a , b ]上有 和 .
例题讲练
【例1】 求下列极限 (1) 1
3422lim
+--+∞→x x x x x
(2) )11(lim 22--+∞
→x x x
(3) 1
21
12
2lim
---→x x x x
(4) )1
3
11(
lim 31
+-+-→x x x
【例2】已知函数
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
=
<
<
=
)2
1(
1
)1
(
2
1
)1
0(
)
(
x
x
x
x
x
f
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
=
<
<
=
)2
1(
1
)1
(
2
1
)1
0(
)
(
x
x
x
x
x
f
（1）求)
(x
f在点x＝1处的左、右极限，函数)
(x
f
在点x＝1处是否有极限？
（2）函数)
(x
f在点x＝1处是否连续？
（3）写出函数)
(x
f的连续区间.
【例3】已知22
2
2
lim x mx
x
x
n
++
+
→-
=，求m、n的值．
【例4】已知函数)
(x
f在1
=
x处连续，且
2
1
)
(
lim
1
=
-
→x
x
f
x
，求)1(f的值.
小结归纳
1．函数极限的求法与数列极限的求法类似.
2．求极限)
(
lim
x
f
x
x→
的方法，将0x
x=代入)
(x
f中，
若分母不为零，则)
(
)
(
lim0
x
f
x
f
x
x
=
→
；若分母为零，则分
子分母同时约去因式)
(0x
x-后再求函数的极限．
3．函数)
(x
f在0x
x=处连续的充要条件是0x
x=处
左、右连续．
基础训练题
一、选择题
1．给出下列命题：
⑴若f(x)在0x处无定义，则
lim()
x x
f x
→
一定不存在
⑵)
(
lim
x
f
x
x→
是否存在与f(x)在0x处是否有定义无关
⑶)
(
lim
x
f
x
x+
→
与)
(
lim
x
f
x
x-
→
都存在，则)
(
lim
x
f
x
x→
存在
⑷若)
(
lim
x
f
x
x→
不存在，则2
)]
(
[
lim
x
f
x
x→
必定不存在.
正确命题的个数是（）
A．0 B．1
C．2 D．3
2．函数0
|
|
)
(=
=x
x
x
f在处（）
A．无定义B．不存在极限
C．不连续D．连续
3．=
-
+
→x
x
x
1
1
lim（）
A．1 B．
2
1
C．0 D．－1
4．函数)
(x
f在x＝0x处连续，是)
(x
f在0x
x=处有极
限的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（2006四川理）已知
⎩
⎨
⎧
=
≠
+
=
1
,2
1
,3
2
)
(
x
x
x
x
f
⎩
⎨
⎧
=
≠
+
=
1
,2
1
,3
2
)
(
x
x
x
x
f，下面结
论正确的是（）
A．f(x)在x＝1处连续
B．f(1)＝5
C．2
)
(
lim
1
=
→
x
f
x
D．5
)
(
lim
1
=
→
x
f
x
6．若
322
(2)
()2
4
(2)
x
x
f x x
x
a x
+
⎧
->
⎪
=-
-
⎨
⎪≤
⎩
2
322
(2)
()2
4
(2)
x
x
f x x
x
a x
+
⎧
->
⎪
=-
-
⎨
⎪≤
⎩
在点x＝2 处连
续，则a＝（）
A．
3
1
B．
4
1
C．
4
1
-D．
2
1
-
二、填空题
7．若
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
+
<
=
)0
(
)0
(
)
(
2x
x
a
x
e
x
f
x
为R上的连续函数，则实数
a＝ .
8．_______
lim
9
3
32
=
-
-
→x
x
x
9．函数
2
3
1
2
2
)
(
+
-
-
=
x
x
x
x
f的不连续点是 .
10．（2006北京理）22132
lim 1
x x x x →-++-的值等于
_____________.
三、解答题
11．求下列函数的极限
(1) 357243lim 2323+++-∞
→x x x x x (2) 3
57243lim 23232
+++-→x x x x x
12．已知函数
1 (1)()1log () (1)
2
x x
f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪ 2
(1)
(1) 求f (x )定义域；
(2) 作出f (x )的图象；
(3) 求f (x )的连续区间，并求极限52
lim x →
)(x f 的值．
13．函数0(0)(01)()42(13)4(3)x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪-≥⎩ 20(0)(01)()42(13)4(3)x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪-≥⎩
⑴ 画出函数的图象；
⑵ 在x ＝0，x ＝3处函数()f x 是否连续？ ⑶ 求函数()f x 的连续区间.
提高训练题
14．已知函数()2 3 (15).x f x x x =+--
≤≤ (1) 求函数f (x )的最大值和最小值； (2) 解方程f (x )＝0.
15．（2006福建卷） 如图，连结△ABC 的各边中点得到
一个新的△A 1B 1C 1，又连结的△A 1B 1C 1各边中点得到△A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M 的坐标是 .
11．3 导数的概念及性质(理科)
知识要点
1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x
y
∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a , b )内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a , b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数
值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.
3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点
),(00y x M 处的 .
4．求导数的方法
(1) 八个基本求导公式
)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n ∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝
)('x e ＝ ， )('x a ＝
)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝ (2) 导数的四则运算
)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('v
u ＝ )0(≠v
(3) 复合函数的导数
设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝
，即x u x u y y '⋅'='.
例题讲练
【例1】 若)(a f '＝－3，试求0
()(3)
lim
k f a k f a k k
→+--的值.
【例2】 求下列函数的导数：
(1) 2
1
22+-=x x y (2) ax e x y 2=
【例3】 讨论函数
⎪⎩⎪⎨⎧++=11)(2x x x f ⎪⎩
⎪⎨
⎧++=11)(2x x x f )0()0(>≤x x 在x ＝0处的可导性．
【例4】 已知a >0，函数,1)(x ax
x f -= ),0(+∞∈x ，设120,x a
<< 记曲线y ＝f (x )在点M ))(,(11x f x 处的切线为l .(1) 求l 的方程；(2) 设l 与x 轴的交点为),0,(2x 证明：
① a x 1
02≤<； ② .1,1211a
x x a x <<<则若
小结归纳 1．对例1的解决关键是紧扣定义，把分母凑成对应的)3()(k a k a --+或将分子替代为定义的样子.
2．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限.
3．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导. 4．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础. 基础训练题 一、选择题
1． 一质点的运动方程是S ＝5－32t ，则在一段时间[1，1＋Δt]内的平均速度为 （ ） A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －6 2． 函数)(x f 在0x x =可导，则x f h x f h )
()(0
00lim
-+→（ ）
A ．与0x 、h 都有关
B ．仅与0x 有关与h 无关
C ．仅与h 有关与0x 无关
D ．与0x 、h 均无关
3．（2006安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线
480x y +-=垂直，则l 的方程为
（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=
4． 23)(23++=x ax x f ,若4)1(=-'f ，则a 的值为( )
A ．319
B ．310
C ．313
D ．3
16
5．下列四个等式：
① x x e e 22)(=' ② x x x 2)3(8])3[(7282⋅+='+
③ x
x 2
)(ln 2=' ④ x x a a 222)(='
其中正确的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满
足(1)'()0x f x -≥，则必有 （ ）
A ．(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>
二、填空题
7． 如果曲线23032y x y x x x =+=-=与在处的切线互相垂直，则x 0的值为 . 8．（2006湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2，周长
C(r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)'＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子： ②，②式可以用语言叙述为 ．
9．设曲线C ：y ＝cos x 与直线56
x π
=的交点为P ，曲线C
在P 点处的切线经过（a ，0）点，则a 等于 . 10．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0'(x )，f 2(x )＝f 1'(x )，…，f n ＋1(x )＝
f n '(x )，n ∈N ，则f 2008(x )＝ .
三、解答题 11．已知抛物线42-=x y 与直线2+=x y ，求：
(1) 两曲线的交点；(2) 抛物线在交点处的切线方程．
12．（2006北京理）已知函数cx bx ax x f ++=23)(在点x 0
处取得极大值5，其导函数)(x f y '=的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：
（I ）x 0的值；（II ）a ，b ，c 的值.
13．设)(x f 是定义在R 上的函数，且对任何1x ，2x R ∈，
都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，若(0)0,(0)1f f '≠=，
证明：对任意R x ∈，都有)()(x f x f ='.
11．4 导数的综合运用（理科）
知识要点 1． 函数的单调性
⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）
(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；
② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横
坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后
用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.
2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念
设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；
② 求方程)(x f '＝0的 ；
③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .
3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝
)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有
最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．
(2) 求最值可分两步进行：
① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；
② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，
)(b f 为函数的 .
例题讲练
【例1】 设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求)(x f 的单调区间．
【例2】 已知向量(2cos ,tan())224
x x a π
=+，
(2sin(),tan())2424
x x b ππ
=+-，()f x a b =⋅令．
是否存在实数[0,]x π∈，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）？若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.
【例3】 (2004湖南) 已知函数,)(2ax e x x f =其中0≤a ，e 为自然对数的底数.
(1) 讨论函数)(x f 的单调性；
(2) 求函数)(x f 在区间[0，1]上的最大值.
【例4】 （2006辽宁理）已知函数
321
()3
f x ax bx cx d =+++，其中,,a b c 是以d 为公差的
等差数列，且0,0.a d >>设)(0x f x 为的极小值点. 在[21,0b a
-]上，1)(x x f 在'处取得最大值，在2x 处取得
最小值. 将001122(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ''依次记为,,.A B C （I ）求0x 的值；（II ）若△ABC 有一条边平行于x 轴，且面积为2＋3，求d a
,的值. 小结归纳
研究可导函数)(x f 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(x f 的导函数)('x f ，再找出)('x f ＝0的x 取值或)
('x f >0()('x f <0)的x 的取值范围． 基础训练题 一、选择题
1． 对任意∈x (a ,b )，)(x f '＞0是)(x f 在(a ,b )内单调递增的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 2． 下列说法正确的是 （ ）
A ．函数的极大值就是最大值
B ．函数的极小值就是函数的最小值
C ．函数的最值一定是极值
D ．闭区间上的连续函数一定存在最值 3． 下列说法正确的是 （ ）
A ．当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极大值
B ．当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极小值
C ．当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极值
D ．当)(0x f 为函数)(x f 的极值时，不一定有
0)(0='x f . 4． 函数x x y ln 232-=的单调递减区间是 （ ）
A ．(33
-
，0) B ．(－∞,－3
3) C ．(0，3
3)
D ．)33,(-
-∞和 (0，
3
3
) 5． 函数y ＝x －x
e 的极大值为 （ ）
A ．1
B ．–1
C ．0
D ．不存在
6． 函数)(x f ＝x ＋2cos x 在[0，2
π
]上取最大值时x 的值
为 （ ）
A ．0
B ．6
π
C ．3π
D ．2π
二、填空题 7． 曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线
方程是 . 8． （2006湖南理）曲线1y x
=
和
2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 .
9． 设)(x f 的导数)0(f '存在且0)0(=f ，则x
x f x )
(lim 0→
＝ .
10．用边长为60cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在
四角分别截去一个小正方形，然后围成一个无盖长方体，当水箱底边为 时，水箱容积最大.
三、解答题
11．设2(6,5)a x x x =+，)1,3
1
(x x b -=，]6,0[∈x ．
(1) 求x f ⋅=)(的表达式； (2) 求)(x f 的单调区间；
(3) 试问函数)(x f 在区间[0, 6]上何时取得最大值.
12．已知函数32() (,)f x x ax b a b R =-++∈．
(1) 若1=a ，函数)(x f 的图象能否总在y b =的下
方？说明理由；
(2) 若函数)(x f 在[0，2]上是增函数，2=x 是方程
0)(=x f 的一个根，求证：2)1(-≤f ．
13．（2006山东理）设函数),1ln()1()(++-=x a ax x f 其中
a ≥－1，求)(x f 的单调区间.
提高训练题
14．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.
(1) 讨论)1()1(-f f 和是函数)(x f 的极大值还是极小
值；
(2) 过点A(0，16)作曲线)(x f y =的切线，求此切线
方程.
15．已知32
()f x x ax bx c =+++有极大值()f α和极小
值()f β.（1）求()f α＋()f β的值；（2）设曲线()y f x =的极值点为A 、B ，求证：线段AB 的中点在()y f x =上.
11．5 导数的概念及性质(文科)
知识要点
1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x
y
∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 2．导函数：函数y ＝)(x f 的导数记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.
3．导数的几何意义：函数y ＝)(x f 在点0x 处的导数等于函数所表示的曲线在相应点),(00y x M 处的 .
4．导数公式
(1) )('C ＝ ； )('n x ＝ ；（n ∈N ） (2) ])()(['±x g x f ＝ ；
])(['x Cf ＝
例题讲练
【例1】 若)(a f '＝－3，求0
()(3)l i m
k f a k f a k
k
→+--k a f k a f )()4(-+的
值.
【例2】 已知函数32()f x x ax bx c =+++过点A （1，0），在2x =-处取得极值，并且它的图象与直线33y x =-+在点A 处相切，求a 、b 、c 的值.
【例3】 设2(6,5)a x x x =+，)1,3
1
(x x b -=，
]6,0[∈x ．
(1) 求x f ⋅=)(的表达式； (2) 求)(x f 的单调区间；
(3) 试问函数)(x f 在区间[0, 6]上何时取得最大值.
【例4】 已知函数32() (,)f x x ax b a b R =-++∈． (1) 若1=a ,函数)(x f 的图象能否总在b y =的下方？说明理由；
(2) 若函数)(x f 在[0，2]上是增函数，2=x 是方程0)(=x f 的一个根，求证：)1(f ≤－2．
小结归纳
1．例1的解决关键是紧扣定义，文科只作了解.
2．求函数的导数要熟练掌握求导公式. 3．搞清导数的几何意义，为解决切线等问题打下理论基础.
基础训练题
一、选择题
1． 一质点的运动方程是S ＝5－32t ，则在一段时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为 （ ） A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －6 2． 函数)(x f 在0x x =可导，则h x f h x f h )
()(0
00lim
-+→（ ）
A ．与0x 、h 都有关
B ．仅与0x 有关与h 无关
C ．仅与h 有关与0x 无关
D ．与0x 、h 均无关
3． 对任意∈x (a ,b )，)(x f '＞0是)(x f 在(a ,b )内单调
递增的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
4． 23)(23++=x ax x f ,若4)1(=-'f ，则a 的值为( )
A ．319
B ．310
C ．313
D ．3
16
5． 下列说法正确的是 （ ）
A ．函数的极大值就是最大值
B ．函数的极小值就是函数的最小值
C ．函数的最值一定是极值
D ．闭区间上的连续函数一定有最值 6． 下列说法正确的是 （ ）
A ．当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极大值
B ．当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极小值
C ．当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极值
D ．当)(0x f 为函数)(x f 的极值时，不一定有
0)(0='x f .
二、填空题
7． 设曲线2y x =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为 ．
8． 如果曲线23032y x y x x x =+=-=与在处的切线互相
垂直，则x 0的值为 .
9． 曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线
方程是 . 10．（2006湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长
C(r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)’＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子： ②，②式可以用语言叙述为 ．
三、解答题
11．已知函数32()39.f x x x x a =-+++
（I ）求()f x 的单调递减区间；
（II ）若()f x 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它
在该区间上的最小值．
12．已知抛物线42-=x y 与直线2+=x y ，求：
(1) 两曲线的交点；
(2) 抛物线在交点处的切线方程．
13．（2006湖南文）已知函数.3
13)(23a
x ax x f -+-=
（I ）讨论函数)(x f 的单调性；
（II ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都
与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.
11．6 导数的综合运用（文科）
知识要点 1．函数的单调性
(1) 设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）
注：多项式函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
(2) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；
② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按 的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性．
2．可导函数的极值 (1) 极值的概念
设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值,，称0x 为极大（小）值点.
(2) 求可导函数极值的一般步骤： ① 求导数)(x f '；
② 求方程)(x f '＝0的 ；
③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ； 如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .
3．函数的最大值与最小值
求函数在区间[a ，b]上的最值可分两步进行： ① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；
② 将y ＝)(x f 在各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例题讲练
【例1】 设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围.
【例2】 已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为670x y -+=.
（I ）求()f x 的解析式；（II ）求()f x 的单调区间.
【例3】 若函数3() (0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，且当1=x 时，)(x f 取得极值2-.
(1) 求函数)(x f 的单调区间和极值；(2) 证明：对任意1x 、)1,1(2-∈x ，不等式4|)()(|21<-x f x f 恒成立.
【例4】 （2006福建文）已知)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是（0，5），且)(x f 在区间[－1，4]上的最大值是12.
（I ）求)(x f 的解析式；
（II ）是否存在自然数m ，使得方程037
)(=+x
x f 在区间)1,(+m m 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，说明理由.
小结归纳 1．文科只要求掌握多项式函数的导数求法及多项式函数的单调性、极值、最值.
2．对可导函数而言，存在三个单调区间，即方程0)(='x f 有两个不等的实根，为此我们可以用使函数导数为零的点来划分函数的单调区间.
3．函数的极值、最值、值域及函数的单调性联系密切，极值的讨论要结合单调性，最值的讨论与极值有联系，而值域与最值密切相关，因此关键是确定函数的单调区间.
基础训练题 一、选择题
1． 在曲线12+=x y 的图象上取一点(1, 2)及邻近一点
)2,1(y x ∆+∆+，则x
y
∆∆为 （ ）
A ．21+∆+∆x x
B ．21
-∆-∆x
x
C ．2+∆x
D ．21
+∆-∆x
x 2． 过已知曲线331x y =上一点)3
8
,2(P 的切线方程为（ ）
A ．12x ＋3y ＋16＝0
B ．12x －3y －16＝0
C ．3x ＋12y ＋16＝0
D ．3x －12y －16＝0 3． 函数76223+-=x x y 的单调递增区间是
（ ）
A ．)0,(-∞
B ．),2(∞+
C ．(,0), (2,)-∞+∞
D ．)2,0(
4． 函数4431
)(3+-=x x x f 的极大值是 （ ）
A ．3
4- B ．34
C ．328
- D ．3
28
5． 下列说法正确的是 （ ）
A ．函数的极大值就是最大值
B ．函数的极小值就是函数的最小值
C ．函数的最值一定是极值
D ．闭区间上的连续函数一定存在最值
6． 若ax x x f 2)(2+-=与1
)(+=x a
x g 在区间[1，2]上都
是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1( - B ．]1,0()0,1( - C ．)1,0( D ．]1,0(
二、填空题
7． 设)(x f 的导数)0(f '存在且0)0(=f ，则x
x f x )
(lim 0→
＝ . 8． (2004湖南文) 过点)2,1(-P 且与曲线2
432+-=x x y 在点)1,1(M 处的切线平行的直线方程是 . 9． 已知函数3227y x ax bx =+++在x ＝－1处有极大值，
在x ＝3处有极小值，则a ＝______，b ＝______. 10．用边长为60cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在
四角分别截去一个小正方形，然后围成一个无盖长方体，当水箱底边为 时，水箱容积最大.
三、解答题 11．(2006重庆文)设函数f (x ) ＝x 3 – 3ax 2 ＋ 3bx 的图象
与直线12x ＋y –1＝0相切于点（1,－11）．
（Ⅰ）求a , b 的值；
（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性．
12．（2006山东文）设函数1)1(32)(23+--=x a x x f ，其
中1≥a .（I ）求)(x f 的单调区间；（II ）讨论)(x f 的极值. 13．（2005湖南文）设0t ≠，点P （t ，0）是函数
32()()f x x ax g x bx c =+=+与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （I ）用t 表示a ，b ，c ；
（II ）若函数()()y f x g x =-在（－1，3）上单调递减，
求t 的取值范围.
提高训练题 14．（2006江苏卷）请您设计一个帐篷，它下部的形状是
高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如下图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
15． 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =-⋅-．
（1） 求导数)(x f '；
（2） 若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2]上的最大值
和最小值；
（3） 若)(x f 在]2,(--∞和),2[+∞都是增函数，求a
的取值范围.
11．7 复数的有关概念
知识要点
1．复数：形如 ),(R b a ∈的数叫做复数，其中a , b 分别叫它的 和 ．
2．分类：设复数 (,)z a bi a b R =+∈： (1) 当 ＝0时，z 为实数； (2) 当 ≠0时，z 为虚数；
(3) 当 ＝0, 且 ≠0时，z 为纯虚数. 3．复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.
4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．
5．若z ＝a ＋bi , (a , b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .
6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做 ， 叫虚轴．
7．复数z ＝a ＋bi (a , b ∈R)与复平面上的点 建立了一一对应的关系．
8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.
例题讲练
【例1】 m 取何实数值时，复数z ＝36
2+--m m m ＋
i m m )152(2--是实数？是纯虚数？
【例2】 已知x 、y 为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，求x ．
【例3】 若方程0)2()2(2=++++mi x i m x 至少有一个实根，试求实数m 的值.
【例4】 复数 (,)z x y i x
y R =+∈满足|22|||i z z --=，试求y x 33+的最小值.
小结归纳
1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.
2．设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.
基础训练题 一、选择题
1． 以52-i 的虚部为实部，以225i i +的实部为虚部
的新复数是 （ ） A ．2－2i B ．2＋2i C ．i 55+- D ．i 55+ 2． 下列四个命题中的真命题是
（ ）
A ．2i －1的共轭复数是2i ＋1
B ．任何两个复数都不能比较大小
C ．复数i y x 11+与i y x 22+相等的充要条件是x 1＝x 2
或y 1＝y 2
D ．z z =的充要条件是z R ∈
3． 复数z ＝(a 2－2a )＋( a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则
（ ）
A ．12≠≠a a 或
B ．12≠≠a a 且
C ．02==a a 或
D ．0=a
4． (2004北京理) 满足条件| z – i |＝|3 ＋ 4i | 的复数z 在
复平面上对应点的轨迹是 （ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆 D ．椭圆
5． （2006浙江理）已知ni i m
-=+11，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋ni ＝ （ ） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i
6． 已知1z 、2z 是复数，以下四个结论正确的是 （ ）
⑴ 若1z ＋2z ＝0，则1z ＝0，且2z ＝0 ⑵ |1z |＋|2z |＝0，则1z ＝0，且2z ＝0 ⑶ 若1z ＋1z ＝0，则1z ＝0
⑷ 若|1z |＝|2z |，则向量1oz 和 2oz 重合 A ．仅⑵正确 B ．仅⑵⑶正确 C ．仅⑵⑶⑷正确 D ．仅⑵⑷正确
二、填空题
7． 已知复数R m i m i m z ∈+-+=),()1(2
(1) 当m ＝____时，复数z 为实数； (2) 当________时，复数z 为虚数.
8． 若x －2＋yi 和3x －i 互为共轭复数，则实数x , y 的值
是 . 9． (2004广东) 复数z 与i z 8)2(2-+均是纯虚数，则z
＝ . 10．设z ＝3＋2i ，z 和z 在复平面内对应的点分别为A 和
B ，O 为坐标原点，则∆AOB 的面积为 .
三、解答题
11．已知z z z f -+=|1|)(，且)(z f -＝10＋3i ，求复数z .
12．已知复平面内的点A 、B 对应的复数分别是
i z +=θ21sin 、θθ2cos cos 22i z +-=，其中
)2,0(πθ∈，设AB 对应的复数为z . (1) 求复数z ；
(2) 若复数z 对应的点P 在直线x y 2
1
=
上，求θ的值. 13．在研究复数性质时规定：如果对n 个复数1a ，2a ，…，
n a ，存在不全为零的n 个实数1k ，2k ，…，n k ，使
得++2211a k a k …0=+n n a k 成立，那么1a ，2a ，…，n a 叫做“线性相关”，依此规定，请判断三个复数1,i -,
i 22+是否“线性相关”
，并证明你的结论；若“线性相关”，请给出一组实数.
11．8 复数的代数形式及其运算
知识要点
1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行： 设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则 (1) 21z z ±＝ ； (2) 21z z ⋅＝ ； (3)
2
1
z z ＝ (≠2z ). 2．几个重要的结论：
⑴ )|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++ ⑵ z z ⋅＝ ＝ .
⑶ 若z 为虚数，则2||z ＝ ()2 z =≠填或 3．运算律
⑴ n m z z ⋅＝ . ⑵ n m z )(＝ .
⑶ n z z )(21⋅＝ ),(R n m ∈.
例题讲练
【例1】 计算：i
i
i i i 2121)1()1(2005
4040++-+
+--+
【例2】 若012
=++z z ，求
2006200520032002z z z z +++
【例3】 已知4,a a R >∈，问是否存在复数z ，使其满足ai z i z z +=+⋅32（a ∈R ），如果存在，求出z 的值，如果不存在，说明理由
【例4】 （2005上海）证明：在复数范围内，方程
255||(1)(1)2i
z i z i z i
-+--+=
+（i 为虚数单位）无解．
小结归纳
1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.
2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.
3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.
基础训练题 一、选择题
1． (2004湖南) 复数4)1
1(i
+的值是
（ ）
A ．4i
B ．－4i
C ．4
D ．－4
2． (2004浙江) 已知复数,431i z += i t z +=2,2
1z z ⋅且是 实数，则实数t 等于
（ ）。