2024届河南省名校联盟考前模拟大联考三模数学试题(解析版)

2023—2024学年高三考前模拟考试
数学
考生注意：
1答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.已知直线0Ax By C ++=与直线23y x =-垂直，则（）
A.20A B =-≠
B.20A B =≠
C.20B A =-≠
D.20
B A =≠【答案】D 【解析】
【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【详解】直线23y x =-的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线0Ax By C ++=的斜率为12
-，即1
2
A B -
=-且0A ≠，0B ≠，所以20B A =≠.故选：D.
2.若0,a b ≥∈R ，则化简
2log 322+的结果是（）
A.3a b ++
B.3a b ++
C.2a b ++
D.2a b
++【答案】B 【解析】
【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.
【详解】由2log 323=，
2
a =，
b =可知，
2log 3223a b +=++.
故选：B
3.在(
9
2-的展开式中，第8项的系数为（
）A.144- B.144
C.18
D.18
-【答案】A 【解析】
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对(
9
2-
有(()992
19
9
C 2
2
1C r r
r
r r
r
r r T x --+==⋅-，
则()7777
2
72
2
2
89
21C 436144T x x x =⋅-=-⨯=-.
故选：A.
4.已知关于x 的方程2230x x ++=的一个根为()i ,x a b a b =+∈R ，则22a b a ++=（）
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】C 【解析】
【分析】解复数范围内方程可得a 及2b 的值即可得解.
【详解】由2
230x x ++=可得221212
x -±==-±，
故1a =-，(2
2
2b ==，即221212a b a ++=+-=.
故选：C.
5.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11ADD A 所成的角为1,A C α与AB 所成的角为β，
则（）
A.αβ=
B.π
αβ+=C.π
2
αβ+= D.π4
αβ-=
【答案】C
【解析】
【分析】借助线面角定义与等角定理可得α与1CA D ∠相等，β与1A CD ∠相等，结合线面垂直的性质定理计算即可得.
【详解】连接1A D ，由长方体的性质可得CD ⊥平面11ADD A ，
故1AC 与平面11ADD A 所成的角为
α与1CA D ∠相等，又1A D ⊂平面11ADD A ，故CD ⊥平面1A D ，即1π
2
CDA ∠=
，又//AB CD ，故1AC 与AB 所成的角与1AC 与CD 所成角相等，即β与1A CD ∠相等，又111πA CD CA D CDA ∠+∠+∠=，故1π
π2
CDA αβ+=-∠=
.
故选：C.
6.有以下6个函数：①()f x =+()1
f x x
=
；③()sin f x x =；④()cos2f x x =；⑤()11x
f x x
+-=
；⑥()23f x x =+.记事件M ：从中任取1个函数是奇函数；事件N ：从中任取1个函数是偶函数，事件,M N 的对立事件分别为,M N ，则（）
A.()()()P M P M N P N =+-
B.()
()()P MN P M P N
=C.()
()
()P M N P M P N +=+D.()
(
)
||P M N P M N =【答案】D 【解析】
【分析】首先判断各函数的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判断即可.
【详解】对于①：(
)f x =22
4040x x ⎧-≥⎨-≥⎩
，解得2x =±，所以()0f x ={}|2x x =±，故为偶函数且为奇函数；
对于②()1
f x x =
为奇函数；对于③()sin f x x =为奇函数；对于④()cos2f x x =为偶函数；对于⑤：()11x
f x x
+-=定义域为{}|1x x ≠，为非奇非偶函数；
对于⑥()23f x x =+为非奇非偶函数；
则事件M 为：①，②，③；事件M 为：④，⑤，⑥；事件N 为：①，④；事件N 为：②，③，⑤，⑥；事件M N +为：①，②，③，④；M N +为：⑤，⑥；所以()3162P M =
=，()2163P N ==，()3162P M ==，()
4263P N ==，()4
263P M N +==
，()
2163
P M N +==，所以()()()P M P M N P N ≠+-，()
()()
P M N P M P N +≠+，故A 、C 错误；又MN 为：①；所以MN 为：②，③，④，⑤，⑥，所以()
5
6
P MN =，则(
)
()()
P MN P M P N ≠，故B 错误；又(
)
1|2P M N =，()21
|42
P M N ==，所以()()||P M N P M N =，故D 正确.故选：D
7.已知双曲线22
:1169
x y C -=的左､右顶点分别为12,,A A P 是C 右支上一点，直线12,PA PA 与直线2x =的
交点分别为,M N ，记12,PA A PMN 的外接圆半径分别为12,R R ，则
1
2
R R 的最大值为（）
A.
839
B.
32
C.
63
D.
28
【答案】A 【解析】
【分析】容易知道1916k k
=
，求出M ，N 两点坐标，则968MN k k =+，由正弦定理求外接圆半径，结
合基本不等式分析求解.
【详解】由题意可知：()()124,0,4,0A A -
，
设动点(,)P x y ，则221169x y -
=，即()
2
291616
y x =-，设直线12,PA PA 的斜率分别为1,k k ，根据对称性不妨设0k >，
因为4y k x =
+，14
y k x =-，则()
2
12916
916441616
x y y k k x x x -⋅=⋅==-+-，即1
916k k
=，可知直线PA 方程为：()4y k x =+，则直线PB 方程为：()9
416y x k
=-，令2x =得6M y k =，9
8N y k
=-，即()2,6M k ，92,8N k ⎛⎫-
⎪
⎝
⎭，则9
68MN k k =+，由正弦定理得：12
112
2sin A A R A PA =
∠，22sin MN R MPN
=
∠，
可得12
1211222sin 899682sin A A A A R A PA MN R MN k k MPN ∠===≤+∠，
当且仅当968k k =
，即4
k =时，等号成立，所以
12R R
的最大值为9
.故选：A.
8.下列不等式中正确的是（）
A.
11πe
πe
>
B.1
e
π>
C.2e
2
ππe
<⋅
D.2π
2e lnπ
>
【答案】D 【解析】
【分析】对于A，
11
πe
πe>等价于
lnπln e
πe
>，构造函数()
ln x
f x
x
=利用导数研究即可判断；对于B
，将1
e
π>2e
πe>，然后利用中间值法即可判断；对于C，通过()
e1,0,1
x x x x
π>≥+∈即可判断；对于D，先将
2
π
2
e
lnπ
>等价变形为
2
π
2
e2
ln ln2
π
>
-+
，再构造函数()()
g=e ln ln220
t
t t
-+->研究即可.
【详解】对于A，
11
πe
πe>等价于
lnπln e
πe
>，
设()
ln x
f x
x
=，则()2
1ln x
f x
x
-
'=，
当()
0,e
x∈时，()0
f x
'>，()
f x在()
0,e上单调递增；
()
e,+
x∞
∈时，()0
f x
'<，()
f x在()
e,+∞上单调递减，
因为eπ<，所以()()
e
f fπ
>，即
lnπln e
πe
<，故A错；
对于B
，
1
e
π>
lnπln e
e2
>，等价于2lnπeln e
>，等价于2e
lnπln e
>，
等价于2e
πe>，
又2222 2.5e
π=10.24 2.7e e e
<3.2<10.935=<，故B错；
对于C，设()()
e1,0,1
x
f x x x
=--∈，则()e10
x
f x=
'->，
所以()
f x在()
0,e上单调递增；故()0
f x≥，即()
e1,0,1
x x x
≥+∈，
故()
e1,0,1
x x x x
π>≥+∈，则21e2
e
-
π>，即
2
e
2
ππ
e⋅
>，故C错误；
对于D，
2
π
2
e
lnπ
>，等价于
2
π
eπ
2lnπ
π
>，等价于
2
π
e2
222
ln ln2
πππ
>
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
，即
2
π
2
e2
ln ln2
π
>
-+
，
令
21,1
π2
t⎛⎫
=∈ ⎪
⎝⎭
，则等价于
2
e
ln ln2
t
t
>
-+
，即()()
g=e ln ln220
t
t t
-+->，
所以()()
e1
=e ln e ln2=e ln ln2e
t
t t t t
g t t t h t
t t
⎛⎫
--+--+=
⎪
⎝⎭
'，
所以()22
1110t h t t t t ='-=-+
>在1,12t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上恒成立，所以()h t 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，令()ln 2x s x x =-，则()11
02
s x x -'=<在()2,∞+恒成立，故()ln 2x
s x x =-在()2,∞+上单调递减，所以3ln 3ln 2102
--<<，
故23ln 3ln 21032h ⎛⎫=-<-<
⎪⎝⎭在12,23t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上恒成立，所以()0g t '<在12,23⎛⎫
⎪⎝⎭上恒成立，故()g t 在12,23⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，所以2
2
33222e ln 2ln 2e ln 32π33g g ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
因为2
32
ln e ln ln 23
===<，
所以
2ln 2
3
e e
e
<<，令()ln x f x x =
，则()2
1ln x
f x x -'=，所以()()0,e ,0x f x ∈'>，此时()f x 在()0,e 上单调递增，
2ln 23
2
ln 23
lne e 2
e 2
e
l n l n <=
，因为6
6
11
323928⎛⎫⎛⎫
=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以113
232>，
所以两边取对数得32
32
l n l n >，所以由上
2ln 2
3
2
ln 2
3
lne e 23e 23e
l n l n l n <
=<即2
3
2
3
33
e l n <，即23ln 320e ->，所以2
2
33222e ln 2ln 2e ln 320π33g g ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>=--=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以2π
2e ln ln 220π⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭
，即2π
2
e 2
ln ln 2π
>
-+，
所以2π
e π2lnππ
>，即2π2
e lnπ>，故D 对.
故选：D.
【点睛】思路点睛：关于复杂的指数幂比较大小，常常需要根据其结构特征进行变形、同构、放缩等等，再构造函数利用导数研究其单调性，进而判断大小.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知平面向量()(),2,,3,4a m m m b =+∈=R
，则下列说法正确的有（）
A.,a b
一定可以作为一个基底
B.a
一定有最小值
C.一定存在一个实数m 使得a b a b
+=-
D.,a b
的夹角的取值范围是[]
0,π【答案】BC 【解析】
【分析】对A ：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B ：借助模长定义计算即可得；对C ：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D ：找出反例即可得.
【详解】对A ：若//a b ，即()4320m m -+=，即6m =，此时,a b 不能作基底，故A 错误；
对B ：
a =
==≥
，
故
a
B 正确；
对C ：若a b a b +=- ，则有22
a b a b
+=- 即2
2
2
2
22a b ab a b ab ++=+-
，即0ab =
，即()3420m m ++=，
解得87m =-，即当8
7
m =-时，a b a b +=- ，故C 正确；
对D ：由A 知，若//a b ，则6m =，即,a b 只能同向不能反向，
故,a b
的夹角不可能为π，故D 错误.
故选：BC .
10.已知函数()cos21(0)f x x x ωωω=-+>的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）
A.()f x 的图象可由2cos4y x =的图象平移得到
B.()f x 在ππ,36⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增C.()f x 图象的一个对称中心为π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
D.()f x 图象的一条对称轴为直线π3
x =【答案】BD 【解析】
【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到()π2cos 213f x x ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
=+，由图象平移的性质可得A 错误；由整体代入结合余弦函数的单调性可得B 正确；代入π12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
可得C 错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性质可得D 正确；
【详解】()πcos212cos 213f x x x x ωωω⎛⎫
=+=++ ⎪⎝
⎭
，因为最小正周期为π，所以2π
π=12ωω
=⇒，所以()π2cos 213f x x ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
=+，A ：由以上解析式可得()f x 的图象不可由2cos4y x =的图象平移得到，故A 错误；B ：当ππ,36x ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦
时，ππ2,033x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，
由余弦函数的单调性可得()f x 在ππ,36⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故B 正确；C ：πππ2cos 211012123f ⎛⎫⎛
⎫=⨯++=≠
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故C 错误；D ：当π
3x =
时，π2π3
x +=，此时()1f x =-为最小值，所以()f x 图象的一条对称轴为直线π
3
x =
，故D 正确；
故选：BD.
11.空间直角坐标系中的动点cos ,sin ,πP θθθ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭的轨迹为Γ，
其中[]0,4πθ∈，则下列说法正确的有（）
A.存在定直线l ，使得Γ上的点到l 的距离是定值
B.存在定点Q ，使得Γ上的点到Q 的距离为定值
C.Γ的长度是个定值，且这个定值小于14
D.,M N 是Γ上任意两点，则,M N 的距离的最大值为4【答案】ACD 【解析】
【分析】由题意空间直角坐标系中的动点cos ,sin ,
πP θθθ⎛⎫
⎪⎝
⎭
的轨迹为Γ，其中[]0,4πθ∈，可知，点P 的轨迹Γ为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周，根据条件即可判断。

【详解】由题意空间直角坐标系中的动点cos ,sin ,
πP θθθ⎛⎫
⎪⎝
⎭
的轨迹为Γ，其中[]0,4πθ∈，可知，点P 的轨迹Γ为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周。

对于A ，Γ为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周，所以存在定直线l 即为z 轴，使得Γ上的点到l 的距离是定值为1，A 正确；
对于B ，根据轨迹Γ可得不存在定点Q ，使得Γ上的点到Q 的距离为定值，B 错误；
对于C ，轨迹Γ的长度是14<，C 正确；
对于D,,M N 是Γ上任意两点，则(1,0,0),(1,0,4)M N 的距离的最大值为4,D 正确；故选：ACD
【点睛】求动点轨迹问题方法：直接法；相关点法；定义法；
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.抛物线241y x =+的焦点坐标为______.【答案】170,16⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
【分析】先求2
1
4
x y =
的焦点坐标，再利用图象平移求解新抛物线焦点坐标即可.
【详解】对于抛物线2
14x y =
，124p =，其焦点坐标为10,16⎛⎫
⎪⎝⎭
，而抛物线241y x =+是2
1
4
x y =
由向上平移一个单位形成的，所以抛物线241y x =+的焦点坐标为170,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
.故答案为：170,16⎛⎫
⎪
⎝⎭
13.如图，在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,45,3B A c a ==-= ，B ∠的平分线BD 交边AC 于点,D AB 边上的高为,CF BC 边上的高为,AE BD CF P ⋂=，
,AE CF R BD AE Q ⋂=⋂=，则PQR ∠=__________；PQ =__________.
【答案】①.60
②.
【解析】
【分析】根据题意结合角度关系分析可知：105ADB ∠= ，15CAE ∠= ，即可得结果；根据题意利用正
项定理可得1
2
c a =
，3a =+，根据图形分别求,,BD BP QD ，即可得结果.【详解】在ABC 中，可知18075ACB CAB ABC ∠=∠--∠=o o ，因为60B ∠= ，且BD 为B ∠的平分线，可知30ABD CBD ∠=∠= ，则105ADB ACB CBD ∠∠=+∠=o ，
在Rt ACE 中，可得18015CAE ACB AEC ∠∠-∠=-=o o ，在ADQ △中，可得18060AQD ADB CAE ∠∠-∠=-=o o ，所以60PQR AQD ∠=∠=o ；
因为()
sin105sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304
+==+=+=
，
()
sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304
-=-=-=
，在ABC 中，由正弦定理
sin sin c a ACB BAC =∠∠可得sin 31
sin 2
a ACB c a BAC ∠+==∠，
则31
32
c a a -=
=，解得3a =+，由正弦定理
sin sin a b BAC ABC =∠∠可得sin 6
sin 2
a ABC
b a BAC ∠==∠，
且BD 为B ∠的平分线，则
1
2
AD AB DC BC +==
，可得2AD a =，
在ADQ △中，由正弦定理
sin sin QD AD QAD AQD =∠∠可得sin sin AD QAD
QD AQD
⋅∠=
=∠，
在BCD △中，可知75BDC BCD ∠∠==o ，则3BD BC ==，
在Rt BCF 中，可知13
22BF BC +==
，
在Rt PBF 中，可知3cos BF
BP ABD =
=+∠
所以PQ BD BP QD =--=
故答案为：60 .
14.已知(),,0,1x y z ∈，且x y z xy xz yz k ++---<，则k 的最小值为__________.【答案】1【解析】
【分析】在等边三角形中，令,,AP x BQ y CR z ===，利用三角形的面积，即可求解.【详解】()()()111x y z xy xz yz x z y x z y ++---=-+-+-，注意到
()()11,11,(1)1x x y y z z +-=+-=+-=，
如图：设等边三角形的边长为1，,,P Q R 分别为,,AB BC AC 上的点，设,,AP x BQ y CR z ===，且
(),,0,1x y z ∈，
故APR BPQ CQR ABC S S S S ++< ,
即
()()()11111111122222222
x z y x z y -+-+-<⨯⨯⨯
，故()()()1111x z y x z y -+-+-<，即1x y z xy xz yz ++---<，所以1k ≥，故答案为：1
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.多年统计数据表明如果甲､乙两位选手在决赛中相遇，甲每局比赛获胜的概率为2
3
，乙每局比赛获胜的概率为
1
3
.本次世界大赛，这两位选手又在决赛中相遇.赛制为五局三胜制（最先获得三局胜利者获得冠军）.（1）现在比赛正在进行，而且乙暂时以1:0领先，求甲最终获得冠军的概率；
（2）若本次决赛最终甲以3:2的大比分获得冠军，求甲失分局序号之和X 的分布列和数学期望.【答案】（1）
16
27
（2）分布列见解析，5【解析】
【分析】（1）借助题意分析出甲最终获得冠军的所有情况，结合概率公式计算即可得；
（2）借助题意分析出甲失分局序号之和X 的所有可能取值并计算其概率即可得其分布列，由分布列即可得其期望.【小问1详解】
由于乙以1：0领先，那么甲在接下来的比赛中，第2,3,4局连胜3局获得冠军，或第2,3,4局比赛中丢失1局，直到第5局获胜而获得冠军，
所以甲获得冠军的概率33
1321216C 33327P ⎛⎫
⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭；【小问2详解】
甲以3:2的大比分获得冠军，表明第五局一定是甲获胜，前四局中甲､乙比赛结果为2:2平，
即前四局比赛中，甲丢失了2局，分别是第1，2局；
或第1，3局；或第1，4局；或第2，3局或第2，4局或第3，4局，所以X 的取值为3,4,5,6,7,
()()()()()121
3467,5663
P X P X P X P X P X ===========，
X
34567
P
1
616131616
()341067
56
E X ++++=
=.
16.已知数列{}n a 的各项都为正数，且其前n 项和()()2112
n n n a a S -+=.
（1）证明：{}n a 是等差数列，并求n a ；（2）如果()1
814
n n n b a -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）证明见解析，1
2
n n a +=（2）()125459
n n
n T +⨯-=
.【解析】
【分析】（1）借助n a 与n S 的关系，结合等差数列定义计算即可得解；（2）借助错位相减法计算即可得.【小问1详解】当1n =时，()()
11211111121122112a a S a a a a a -+==
⇒=+-⇒=或11
2
a =-，
因为0n a >，所以11a =，
22
111221,221n n n n n n S a a S a a +++=+-=+-，
两式相减得()()2
2
1111112222n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++=+--⇒+=+-，
因为0n a >，所以11
2
n n a a +-=
，故{}n a 是首项为1，公差为1
2的等差数列，
111
22
n n n a a -+=+
=；【小问2详解】
由（1）知()1
434
n n b n -=+⋅，
()()022174114154414434n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ，()()21474114414434n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯++⨯ ，
则(
)()21
374444
434n n
n T n --=+⨯+++-+⨯ ，
()
()21341444434n n n -=+⨯++++-+⨯ ()143443414n
n
n -=+⨯-+⨯-(
)()441
3434
3
n n
n -=+
-+⨯，
所以(
)
()()4411254412545434113999
n n n n n
n n n T -+⨯++⨯-+=⨯--=-=.17.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2AD DC CB ===，4AB =，PAD 为正三角形.
（1）证明：D 在平面PAC 上的射影H 为PAC △的外心（外接圆的圆心）；（2）当二面角P AD C --为120 时，求直线AD 与平面APB 所成角ϕ的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）
217
.【解析】
【分析】（1）PAD 为正三角形，利用三角形全等证明HP HC HA ==，得H 为PAC △的外心.（2）取AB 中点G ，AD 中点O ，可证OG AD ⊥，以O 为原点，,OA OG 所在直线分别为,x y 轴，建立
空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】如图所示，
因为在梯形ABCD 中，AD DC =，又三角形PAD 为正三角形，所以AD DC DP ==.D 在平面PAC 上的射影为H ，即DH ⊥平面PAC ，连接,,HP HC HA ，
由AD DC DP ==，DH 为公共边，有Rt Rt Rt HDA HDC HDP ≅≅ ，所以HP HC HA ==，即H 为PAC △的外心.【小问2详解】
在等腰梯形ABCD 中，取AB 中点G ，连接DG ，
由//DC GB ，2DC GB ==，则四边形CDGB 为平行四边形，有2DG BC ==，又2AD AG ==，则ADG △是边长为2的正三角形，
取AD 中点O ，所以OG AD ⊥，
以O 为原点，,OA OG 所在直线分别为,x y 轴，过O 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
在正PAD 中，PO AD ⊥，
由二面角的平面角的定义可知POG ∠为二面角P AD C --的平面角，则120POG ∠= .
OG =
BD =，DC AG =
，
则有(
)(
)(
)(
)
()1,0,0,,1,,2,,1,0,0A G B C D ---，
在正PAD
中，PO =，由120POG ∠=
，有30POz ∠=
，则330,,22P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
则331,,,1,2222PB PA ⎛⎫⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
.设平面APB 的法向量为(),,m x y z = ，有533
0,22
330,22m PB x y z m PA x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨
⎪⋅=+-=⎪⎩ 令1y =-
，得x z ==
(1,m =-
.
又()2,0,0AD =-
，
所以21sin cos ,7m AD
m AD m AD
ϕ⋅===
.
18.已知函数()(
)()()2
2
cos 4sin ,4sin 8cos f x ax x a x
x g x a x x x x =--=--.
（1）如果16a =，求曲线()()y f x g x =+在πx =处的切线方程；（2）如果对于任意的π0,2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
都有()0f x >且()0g x >，求实数a 满足的条件.【答案】（1）8y x =-（2）2πa =.【解析】
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）由题意可得8a >，借助导数讨论函数()f x 的单调性，结合零点的存在性定理可得使()0f x >时有
28πa <≤，再借助导数讨论函数()g x 的单调性，可得22π8πa ≤≤+，即可得解.
【小问1详解】
当16a =时，()()8cos y f x g x x x =+=，
记()8cos L x x x =，则()()()()8cos sin π8,π8πL x x x x L L ''=-⇒=-=-，
所以切线方程为()8π8πy x +=--，即8y x =-；【小问2详解】
π02
x <<
，且()()
2
0cos 4sin f x ax x a x x >⇒>-，()()
204sin 8cos g x a x x x x >⇒->，
所以有(
)2
cos 4sin 8cos cos 8cos 8ax x a x
x x x ax x x x a >->⇒>⇒>，
()()
()22πcos 4sin ,00,π2f x ax x a x x f f a ⎛⎫
=--==- ⎪⎝⎭
，
()()8sin 4cos f x x a x x x ⎡⎤=-+⎣⎦'，令()()8sin 4cos h x a x x x =-+，()()()8sin 4cos ,00h x a x x x h =-+=，
()()()8cos 4cos 4sin 12cos 4sin h x a x x x x a x x x =-+-=--'，
如果()()1200a h x h x -≤⇒≤⇒'在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减()()π02h h x h ⎛⎫⇒>> ⎪⎝⎭
，
即有()()()00h x f x f x '<⇒<⇒在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减()()()00f f x f x ⇒>⇒>，此时与()0
f x >矛盾，故120812a a ->⇒<<，令()()12cos 4sin a x x x x μ--=，
则()()16sin 4cos x a x x x μ'=--，因为π12,0,
2a x ⎛
⎫<∈ ⎪⎝
⎭
，所以()()0x h x μ<⇒''在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，()()π02h h x h ⎛⎫>> ⎪⎝''⎭
'，
而()π0120,2π02h a h ⎛⎫
=->=⎪⎭
'-'<
⎝，故由零点存在定理，可知存在1π20,
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭，使得()10h x '=，也就是当()10,x x ∈时，()0h x '>，当1π,
2x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0h x '<，进一步分析可知存在21π,
2x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，使得()f x 在()20,x 上单调递增，
在2π,
2x ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，要使得()0f x >恒成立，必有()π00,02f f ⎛⎫
≥≥
⎪⎝⎭
，22ππ08π2f a a ⎛⎫
=-≥⇒<≤ ⎪⎝⎭
，()()
2π
84cos ,0cos 02
g x a x x x x '=--<<
⇒>，因为8a >，
所以由()02
g x x ≥⇒≤
'，
如果
2π
8π22
a >⇒>+，此时()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，
()()00g x g >=，满足题意，
如果()2
88πa g x <≤+⇒在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减，要使()0g x >恒成立，必有()222
π00,0π0π8π2g g a a ⎛⎫≥≥⇒-≥⇒≤≤+ ⎪⎝⎭
，所以当2πa ≥时，()0g x >恒成立，综上有2πa =.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数先推导出()0f x >时的a 的取值范围，再推导出()0g x >时的a 的取值范围，综合两者所得即可得解.
19.已知椭圆2
21:19
x C y +=的左､右顶点分别为12,A A ，上､下顶点分别为12,B B ，记四边形1122A B A B 的
内切圆为2C ，过1C 上一点T 引圆2C 的两条切线（切线斜率均存在且不为0），分别交1C 于点,P Q （异于T ）.（1）求直线TP 与TQ 的斜率之积的值；
（2）记O 为坐标原点，试判断,,P O Q 三点是否共线，并说明理由.
【答案】（1）1
9
-
（2）,,P O Q 三点共线，理由见解析【解析】
【分析】（1）由题意计算出圆2C 的方程后，可设圆2C 的切线方程为()y n k x m -=-，结合切线定义计算可得()
2
2
2
109201090m k mnk n --+-=，则TP 与TQ 的斜率为该方程的两解，结合韦达定理与m 、n
的关系计算即可得直线TP 与TQ 的斜率之积；
（2）设()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线TP 的方程为1y tx b =+，则21
9y x b t
=-+，结合点到直线的距离公式可得(
)2
2
2111918990t x
tb x b +++-=，计算可得120x x +=，同理可得120y y +=，所以,,P O Q 三
点共线.【小问1详解】
由题意得()()213,0,0,1A B ，故直线21A B 的方程为
13
x
y +=，即330x y +-=.由对称性可知圆2C 的圆心坐标为()0,0，因为点()0,0到直线21A B
310
10
=
，所以圆2C 的半径为
31010
，所以圆22
29:10C x y +=，
设(),T m n ，则2
219
m n +=，
由题可设圆2C 的切线方程为()()0y n k x m k -=-≠，则圆心()0,0
10
=
，整理得(
)
2
2
2
109201090m k mnk n --+-=，
设过点(),T m n 所引的圆2C 的两条切线的斜率分别为12,k k ，
则()2122109*109n k k m -=-，由22
19m n +=，得2219
m n =-，
代入()*式中，可得21221019911099
m k k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--，故直线TP 与TQ 的斜率之积为19
-
；【小问2详解】
不妨设直线TP 的方程为()10y tx b k =+≠，则圆心2C 到直线TP
10=，解得2219910t b +=，直线TP 与椭圆1C 的方程联立可得()222111918990t x tb x b +++-=，
设()11,P x y ，则21129919b x m t -=+，将2219910
t b +=代入，可得()()
22122999910819191019t t x t m t m ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==++，由（1）可设直线TQ 的方程为219y x b t
=-+，设()22,Q x y ，同理可得()
2222222291999998110901110191199b t t x t m m m t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此120x x +=，
设直线()1:0TP x wy u w =+≠
31010=，解得2219910w u +=，将直线TP 与椭圆221:19x C y +=联立，则()
222119290w y wu y u +++-=，设()11,P x y ，则211299
u y n w -=+，将2219910w u +=代入，得()()
22122999981109109w w y w n w n +--==++，
设直线29:TQ x y u w =-+，同理可得()
222819109w y w n -=+，故120y y +=，
所以P ，O ，Q 三点共线．
【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。