高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质课

【做一做 1】
椭圆������2
9
+
3������62=1
的长轴长为(
)
A.5
B.3
C.6
D.12
解析:由椭圆的方程可知长半轴长 a=6,所以长轴长 2a=12.
答案:D
【做一做 2】
椭圆������2
25
+
���9���2=1
的离心率为
.
答案:45
椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)的离心率. 剖析(1)椭圆的半焦距 c 与长半轴长 a 的比,称作椭圆的离心率. 记作 e=������������. (2)因为 a>c>0,所以离心率 e 的取值范围是 0<e<1. 离心率的大小对椭圆形状的影响:
此时椭圆的标准方程为������2
52
+
1������32=1.
故所求椭圆的标准方程为 ������2
148
+
3������72=1
或������2
52
+
1������32=1.
题型一
题型二
题型三
反思在求椭圆的标准方程时,关键要分清焦点在哪个坐标轴上;当 焦点不确定在哪个坐标轴上时,要分焦点在x轴上、y轴上两种情况 讨论.
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
2c(c2=a2-b2)
对称轴为 x 轴,y 轴,对称中心为原点
离心率
e=ac∈(0,1),其中 c= a2-b2
名师点拨(1)判断曲线关于原点,x轴,y轴对称的方法. 若把方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称. 若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称. 若把方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称. (2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点.
题型一
题型二
题型三
求椭圆方程中的参数
【例 3】 已知方程������������22+y2=1(a>0,a≠1)表示离心率为12的椭圆,求 a 的 值.
分析因为不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上,所以需要分两种 情况来讨论,再根据离心率为12即可求得.
题型一
题型二
题型三
解当焦点在 x 轴上,即 a>1 时,
①当 e 趋近于 1 时,c 趋近于 a,从而 b= ������2-������2越小,因此椭圆越
扁平;
②当 e 趋近于 0 时,c 趋近于 0,从而 b 趋近于 a,因此椭圆越接近
于圆. 椭圆与圆是两种不同的曲线,椭圆的离心率满足不等式 0<e<1.
当 e=0 时,曲线ห้องสมุดไป่ตู้圆.
题型一
题型二
题型三
148
+
3������72=1.
当椭圆的焦点在 y 轴上时,设其标准方程为������������22 + ������������22=1(a>b>0),
则有
������ =
(-6)2 ������2
2������,
+
22 ������2
=
解得 1.
������2 ������2
= =
52, 13.
利用椭圆的方程研究其几何性质
【例1】 求椭圆25x2+16y2=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点
坐标和顶点坐标.
分析:先把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素长半轴长a、短
半轴长b和半焦距c,再求解.
解将方程变形为������2
25
+
1������62=1,由方程知长半轴长
a=5,短半轴长
b=4,所以半焦距 c= 52-42=3,所以长轴长为 2a=2×5=10,短轴长为 2b=2×4=8,离心率 e=������������ = 35,焦点坐标分别为(0,-3),(0,3),顶点坐标分 别为(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0).
2.1.2 椭圆的几何性质
1.掌握椭圆的几何性质. 2.掌握椭圆中长半轴长,短半轴长,半焦距和离心率的几何意义以 及它们之间的关系.
焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质与特征的比较:
焦点的位置 焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准 方程 范围
顶点
轴长
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
y2 a2
答案:D
2 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为13,长轴长为 12,则椭圆的标
准方程是( )
A.���4���2 + ���6���2=1
C.3������62
+
3������22=1
或������2
36
+
3������22 =1
B.���6���2 + ���4���2=1 D.3������22 + 3������62=1
+
x2 b2
=1(a>b>0)
-a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b
A1(-a,0),A2(a,0),
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(0,-b),B2(0,b)
B1(-b,0),B2(b,0)
长轴长为 2a,短轴长为 2b
焦点的位置 焦点 焦距 对称性
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
题型一
题型二
题型三
反思在求椭圆标准方程中的参数时,先要分清焦点在哪个坐标轴 上,再根据椭圆的几何性质求解.注意本题所给方程中的a与椭圆标 准方程中的a不同.
1 椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标为( )
A.(-1,0),(1,0)
B.(-6,0),(6,0)
C.(- 6,0),( 6,0) D.(0,- 6),(0, 6)
题型一
题型二
题型三
反思已知椭圆的方程讨论其性质时,应将方程化成标准形式,找准 长半轴长a与短半轴长b,求出半焦距c,才能正确地解决与椭圆的性 质有关的问题.
题型一
题型二
题型三
利用椭圆的几何性质求它的方程 【例2】 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6),求椭圆的 标准方程.
分析:因为不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上,所以需要分两种 情况来讨论.
题型一
题型二
题型三
解当椭圆的焦点在 x 轴上时,设其标准方程为������������22 + ������������22=1(a>b>0),
则有
������ = 2������,
22 ������2
+
(-6)2 ������2
=
解得 1.
������2 ������2
= =
148, 37.
此时椭圆的标准方程为 ������2
由短半轴长 b=1,得半焦距 c= ������2-1,
所以离心率 e=
������2-1 ������
=
12,解得
a=233.
当焦点在 y 轴上,即 0<a<1 时,
由题意得半焦距 c= 1-������2,
所以离心率 e=
1-������2 1
=
12,解得
a=
23.
综上,a
的值为2 3 或
3
23.