九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法21.2.2公式法习题课件(新版)新人教版

∴������������是整数, ∴m=±1或m=±2. 又∵m是正整数, ∴m=1或m=2.
锦囊妙计 一元二次方程的整数解
有关一元二次方程整数解的问题常常结合 方程的根和整 除的特点讨论解决.
题型五 配方法的应用
例题6 试说明多项式-10x2+7x-4的值恒小于0.
解 -10x2+7x-4 =(-10x2+7x)-4
第二十一章 一元二次 方程
21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法 21.2.2 公式法
考场对接
考场对接
题型一 解一元二次方程
例题1 [鞍山中考]解方程：
(1)(x+3)2-25=0；
(2)x2-10x+24=0； (3)3x2-5x+5=7.
分析 (1)把-25移到等号的右边, 运用直接开 平方法解方程； (2)把24移 到等号的右边, 运用配方法解 方程； (3)先把方程化为一元二次方程的 一般形式, 再用公式法求解.
锦囊妙计 换元法的概念
将代数式中的某个式子看作一个整体, 用 一个字母去替换 它, 从而使问题简化的求解方 法叫作换元法.
)������ =������ +������ ±(������ −������
������ ������
),
∴x1=������+������������+������������−������=1, x2=������+������������−������������+������=������������. ∵方程的两个实数根都是整数,
在解一元二次方程时, 应根据方程的特点, 选取 适当的方法 求解. 若方程可化为(x+n)2 =p(p≥0)的 形式, 则宜选用直接开平方 法求解；若方程的二 次项系数为1, 一次项系数为偶数, 则宜选用 配方 法求解；若选用以上两种方法都不易求解时, 则 选用公式 法求解.
题型二 利用根的判别式判断方程根的情况
例题2 已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0, 不解方程, 判断方程 根的情况.
分析 确定a, b, c的值, 求出Δ的值, 与0比较加 以判断. 解 ∵a=1, b=2m, c=m2﹣1, ∴Δ=b2﹣4ac=(2m)2﹣4×1×(m2﹣1)=4＞0, ∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根.
锦囊妙计 判断一元二次方程根的情况的方法
(1)关于一元二次方程根的情况的问题一般 都与Δ有关, 抓住Δ 与0的大小关系推出一元二次 方程根的情况是解这类题的关键. (2)也可以通 过以下技巧进行判断：①若一元二次方程 ax2+bx +c=0(a≠0)的左边是(或可以写成)完全平方式, 则该方程有两个 相等的实数根； ②若方程中a, c异号或b≠0且c=0, 则该方程有 两个不相等的实数根.
题型三 利用方程根的情况确定系数中字母 的值或取值范围
例题3 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数
根, 则k的取值Biblioteka 围是( B ).A．k＞-1
B．k＞-1且k≠0
C．k＜1
D．k＜1且k≠0
例题4 已知关于x的一元二次方程x2+2x(m-3)=0有实数根, 则m
的取值范围是( C ).
A．m＞2
B．m＜2
C．m≥2
D．m≤2
分析 一元二次方程有实数根包括有两个不 等的实数根和有两个相等的
实数根两种情况, 此时 b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.
根据题意, 得Δ=b2-4ac=22+4(m-3)=4+4m-12=4m-8≥0, 解得m≥2. 故选C.
锦囊妙计 利用根的判别式确定系数中 字母的值或取值范围
(1)若一元二次方程有两个不等的实数根, 则Δ＞0；若一元 二次方程有两个相等的实数根, 则Δ=0；若一元二次方程没有 实数根, 则Δ＜0. 根据以上三种关系建立方程或不等式, 求解后 得到系数中字母的值或取值范围. (2)注意求出的系数中字母的 值或取值范围 一定要使一元二次方程的二次项系数不为0.
∵a=3, b=-5, c=-2,
∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=25+24=49>0,
∴������������ = −(−������)±
������������
������������
=������± ������,
������
∴x1=2, x2=-������������.
锦囊妙计 一元二次方程解法的选取原则
即-10x2+7x -4<0. 故多项式-10x2+7x-4的值恒小于0.
锦囊妙计 确定代数式的最值
将代数式配方成m(x+n)2+p(m≠0)的形 式, 若m＞0, 则当x=-n 时, 代数式取最小值p； 若m＜0, 则当x=-n时, 代数式取最大值p.
题型六 用换元法解方程
例题 7 阅读下面的材料, 解答问题. 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0, 我 们 可 以 将 x2-1 看 作 一 个 整 体 , 设 x2-1=y, 则 原 方 程 可 化 为 y2-5y+4=0, 解得 y1=1, y2=4. 当 y=1 时, x2-1=1, ∴x2=2, ∴x=± ������； 当 y=4 时, x2-1=4, ∴x2=5, ∴x=± ������. 故原方程的根为 x1= ������, x2= - ������, x3= ������, x4=- ������. 上述解题方法叫作换元法, 请利用换元法解方程： (x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
解 (1)移项, 得(x+3)2=25, 直接开平方, 得x+3=±5, ∴x=±5-3, 即x1=-8, x2=2. (2)移项, 得x2-10x=-24, 配方, 得x2-10x+25=-24+25, 即(x-5)2=1, 由此可得x-5=±1, ∴x1=6, x2=4.
(3)原方程可化为3x2-5x-2=0.
题型四 一元二次方程的整数解
例题5 已知关于x的一元二次方程mx2 -(m+2)x+2=0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数, 求正整数m 的值.
分析 (1)要证明方程总有两个实数根, 只需证 明Δ≥0； (2)可先求出方程的解, 再加以讨论解决 问题.
解 (1)证明：∵a=m, b=-(m＋2), c=2,
∴Δ=b2-4ac=[-(m＋2)]2-8m=m2＋4m＋4-8m=m2-4m＋4=(m-2)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)∵������
= −������
±
������ ������ −������ ������ ������
������
������
=������ +������
± (������ −������ ������ ������
解 设x2-x=y, 则原方程可化为y2-4y-12=0, 解得y1=6, y2=-2. 当y =6时, x2-x=6, 即x2-x-6=0, ∴ x=3或x=-2； 当y=-2时, x2-x=-2, 即x2-x+2=0, Δ=(-1)2-4×1×2＜0, ∴该方程无实数解. 故原方程的解为x1=3, x2=-2.