人教版八年级上第12章全等三角形热门考点整合应用训练含答案

人教版八年级上第12章全等三角形热门考点整合应用训练含答
案
名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等．
两个概念
概念1：全等形
1．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：
A与________对应；B与________对应；
C与________对应；D与________对应．
(第1题) 概念2：全等三角形
2．如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．
(第2题)
3．如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC
有怎样的位置关系？为什么？
(第3题)
两个性质
性质1：全等三角形的性质
4．【·天水】(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；
(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由．
(第4题)
性质2：角平分线的性质
5．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF＝∠BAE.求证：AF＝BC＋FC.
(第5题)
判定1：全等三角形的判定
6．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)已知DE＝35 cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同)．
判定2：角平分线的判定
7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)猜想写出AB＋AC与AE之间的数量关系并给予证明．
(第7题)
四个技巧
技巧1：构造全等三角形法
8．如图∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.
(第8题)
9．如图，AB＝DC，∠A＝∠D，求证：∠ABC＝∠DCB.
(第9题)
技巧2：构造角平分线法
10．【中考·黄冈】已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.
(第10题)
技巧3：截长(补短)法
11．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC ＝AB＋CD.
(第11题)
技巧4：倍长中线法
12．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.求证：CD＝2CE.
(第12题)
两种思想
思想1：建模思想
13．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.
请你证明他们做法的正确性．
思想2：转化思想
14．如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD的中点，则AF平分
∠BAE，为什么？
(第14题)
答案
1．M ；N ；Q ；P
2．解：AB 与AC ，AE 与AD ，BE 与CD 是对应边；∠B 与∠C ，∠2与∠1，∠BAE 与∠CAD 是对应角．
3．解：AD ⊥BC. 理由略． 4．解：(1)完成作图，如图所示．
(第4题)
证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°.
∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB. ∴CD ＝EB ，即BE ＝CD. (2)BE ＝CD.理由如下：
∵四边形ABFD 和四边形ACGE 都是正方形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°.
∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB. ∴CD ＝EB ，即BE ＝CD.
5．证明：如图，过点E 作EG ⊥AF ，垂足为点G.连接EF. ∵∠BAE ＝∠EAF ，∴AE 为∠BAF 的平分线． 又∵EB ⊥AB ，EG ⊥AF ，∴EB ＝EG.
在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，⎩
⎪⎨⎪⎧EB ＝EG ，AE ＝AE ，
∴Rt △ABE ≌Rt △AGE(HL )，∴AB ＝AG . ∵在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，
∴BC ＝AG.又∵点E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ＝EG .在Rt △EGF 和Rt △ECF 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧EG ＝EC ，EF ＝EF ，∴Rt △EGF ≌Rt △ECF(HL )． ∴GF ＝CF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BC ＋FC.
(第5题)
6．(1)证明：由题意得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°.∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD.在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ADC ＝∠CEB ，∠CAD ＝∠BCE ，AC ＝CB ，
∴△ADC ≌△CEB(AAS )．
(2)解：由题意得AD ＝4a ，BE ＝3a.由(1)知△ADC ≌△CEB ，∴DC ＝BE ＝3a ，CE ＝AD ＝4a ，∴DE ＝DC ＋CE ＝7a.∵DE ＝35 cm ，∴a ＝5 cm .
答：砖块的厚度a 为5 cm .
7．(1)证明：∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠E ＝∠AFD ＝∠DFC ＝90°，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵BD ＝CD ，BE ＝CF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC.
(2)解：AB ＋AC ＝2AE.证明如下：由(1)可知AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠CAD.在△AED 与△AFD 中，∵∠EAD ＝∠CAD ，∠E ＝∠AFD ＝90°，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴AE ＝AF.又∵BE ＝CF ，∴AB ＋AC ＝AE －BE ＋AF ＋CF ＝AE ＋AE ＝2AE.
8．证明：过点B ，C 分别作CA ，BA 延长线的垂线，垂足分别为F ，G. 在△ABF 和△ACG 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠BFA ＝∠CGA ＝90°，∠FAB ＝∠GAC ，AB ＝AC ，
∴△ABF ≌△ACG(AAS )． ∴BF ＝CG.
在Rt △BEF 和Rt △CDG 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧BF ＝CG ，BE ＝CD ， ∴Rt △BEF ≌Rt △CDG(HL )．
∴∠AEB ＝∠ADC.
点拨：判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
9．证明：分别取AD ，BC 的中点N ，M ，连接BN ，CN ，MN ，则有AN ＝ND ，BM ＝MC.
在△ABN 和△DCN 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AN ＝DN ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ，
∴△ABN ≌△DCN(SAS )． ∴∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC. 在△NBM 和△NCM 中，⎩⎪⎨⎪
⎧NB ＝NC ，BM ＝CM ，NM ＝NM ，
∴△NBM ≌△NCM(SSS )． ∴∠NBC ＝∠NCB.
∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN ， 即∠ABC ＝∠DCB.
点拨：证明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD ，BC 的中点就是把中点作为了已知条件．分散证明，也是几何证明中的一种常用技巧．
10．证明：连接AD.
∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴AD 是∠EAF 的平分线． ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.
11．证明：(方法一——截长法)如图①，在BC 上取一点F ，使BF ＝BA.连接EF ，∵CE ，BE 分别平分∠BCD ，∠CBA ，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. 在△ABE 和△FBE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧BA ＝BF ，∠1＝∠2，BE ＝BE.
∴△ABE ≌△FBE(SAS )． ∴∠A ＝∠5.
∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D. 在△EFC 和△EDC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠6＝∠D ，∠3＝∠4，EC ＝EC ，
∴△EFC ≌△EDC(AAS )，
∴FC ＝DC ，∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.
(方法二——补短法)如图②，延长BA 至点F ，使BF ＝BC ，
连接EF ，∵CE ，BE 分别平分∠BCD ，∠CBA ，
∴∠1＝∠2＝12∠ABC ，∠3＝∠4＝12
∠BCD. 在△BEF 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BC ，∠1＝∠2，BE ＝BE ，
∴△BEF ≌△BEC(SAS )．
∴EF ＝EC ，∠F ＝∠3＝∠4.
∵AB ∥CD ，∴∠7＝∠D.
在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠7＝∠D ，∠F ＝∠4，EF ＝EC.
∴△AEF ≌△DEC(AAS )，∴AF ＝CD.
∵BC ＝BF ＝AB ＋AF ，∴BC ＝AB ＋CD.
(第11题)
12．证明：如图，延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB ，则CF ＝2CE. ∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE.
在△BEF 和△AEC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEC ，EF ＝EC ，
∴△BEF ≌△AEC(SAS )．∴∠EBF ＝∠EAC ，BF ＝AC.
过点A 作AG ⊥BC 于点G ，则∠AGC ＝∠AGB ＝90°.
∵∠ABC ＝∠ACB ，AG ＝AG ，
∴△AGC ≌△AGB.∴AC ＝AB.
又∵∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠BAC ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF. ∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD.
又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，
∴BF ＝BD.在△CBF 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CB ，∠CBF ＝∠CBD ，BF ＝BD ，
∴△CBF ≌△CBD(SAS )．
∴CF ＝CD.∴CD ＝2CE.
(第12题)
13．证明：由做法知：
在△ABC 和△EDC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，
∴△ABC ≌△EDC(ASA )．
∴AB ＝ED ，
即他们的做法是正确的．
14．解：连接BF ，EF.
∵点F 是CD 的中点，∴CF ＝DF.
在△BCF 和△EDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝ED ，∠C ＝∠D ，CF ＝DF ，
∴△BCF ≌△EDF(SAS )．
∴BF ＝EF.
在△ABF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，BF ＝EF ，AF ＝AF ，
∴△ABF ≌△AEF(SSS )．
∴∠BAF ＝∠EAF.∴AF 平分∠BAE.。