2023年高考数学(理科)一轮复习课件—— 平面向量基本定理及坐标表示
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的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a
＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ ) (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ )
索引
3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a ＋ b ＝ __(_x_1_＋__x_2_，__y1_＋__y_2_)____ ， a － b ＝ __(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)_____ ， λa ＝ ___(λ_x_1_，__λ_y_1)_____，|a|＝____x_12＋__y_21__.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，12，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－21
D.12，－
3 2
索引
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°， 依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°， 则点 B 在 y 轴正半轴上，且|O→B|＝|O→A|＝1， ∴点 B(0，1)，则O→B＝(0，1).
知识梳理 1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__不__共__线__向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，___有__且__只__有_一对实数λ1，λ2，使a＝_____λ_1e_1_＋__λ_2_e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
索引
2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__互__相__垂__直__的向量，叫做把向量正交分解.
解析 法一(定义法) 因为 a∥b，所以存在实数 k，使 a＝kb，即(2，5)＝k(λ， 4)，得k4kλ＝＝25，，解得λk＝＝8554，. 法二(结论法) 因为 a∥b，所以 2×4－5λ＝0，解得 λ＝58.
索引
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 平面向量的坐标运算
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝___(_x_2_－__x_1，___y2_－__y_1_) ______， |A→B|＝__（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1）__2.
索引
2.(2022·成都诊断)如图，原点 O 是△ABC 内一点，顶点 A 在 x 轴上，∠AOB ＝150°，∠BOC＝90°，|O→A|＝2，|O→B|＝1，|O→C|＝3，若O→C＝λO→A＋μO→B，
则μλ＝( D )
A.－
3 3
3 B. 3
C.－ 3
D. 3
索引
解析 由三角函数定义，易知 A(2，0)，B－ 23，12，C(3cos 240°，3sin 240°)，
即 C－32，－32 3. 因为O→C＝λO→A＋μO→B，
所以－32，－32 3＝λ(2，0)＋μ－ 23，12，
所以212λμ－＝－233μ＝2 3－，32，解得λμ＝＝－－33，3，
所以μ＝ λ
3.
索引
3.已知 O 为坐标原点，点 C 是线段 AB 上一点，且 A(1，1)，C(2，3)，|B→C|＝
索引
5.(易错题)已知 A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量A→B共线的单位向量是_±__35_，__－__45_ _. 解析 ∵A→B＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴|A→B|＝5. 故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35，－54.
索引Leabharlann 8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____5 ____.
第五章 平面向量与复数
索引
考试要求
1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其 坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理 解用坐标表示的平面向量共线的条件.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
解析 (1)共线向量不可以作为基底. (3)若 b＝(0，0)，则xx12＝yy12无意义.
索引
2.若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的
坐标为( A )
A.(2，2)
B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1)
D.(2，2)或(3，1)
解析 由题意得P→1P＝13P→1P2且P→1P2＝(3，－3)， 设 P(x，y)，则(x－1，y－3)＝13(3，－3)，
所以 x＝2，y＝2，则点 P(2，2).
索引
3.(2021·银川质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则
向量b的坐标为( D )
A.－65，85 C.65，－85
B.(－6，8) D.(6，－8)
解析 因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，
则|b|＝ 9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
索引
4.(易错题)给出下列三个向量：a＝12，32，b＝(1，－3)，c＝(－2，6).从三个向量
中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为____2____.
解析 易知b∥c，a与b不共线，a与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
索引
4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔___x_1y_2_－__x_2_y1_＝__0__.
索引
常用结论
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等
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诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a
＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ ) (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ )
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3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a ＋ b ＝ __(_x_1_＋__x_2_，__y1_＋__y_2_)____ ， a － b ＝ __(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)_____ ， λa ＝ ___(λ_x_1_，__λ_y_1)_____，|a|＝____x_12＋__y_21__.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，12，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－21
D.12，－
3 2
索引
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°， 依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°， 则点 B 在 y 轴正半轴上，且|O→B|＝|O→A|＝1， ∴点 B(0，1)，则O→B＝(0，1).
知识梳理 1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__不__共__线__向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，___有__且__只__有_一对实数λ1，λ2，使a＝_____λ_1e_1_＋__λ_2_e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
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2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__互__相__垂__直__的向量，叫做把向量正交分解.
解析 法一(定义法) 因为 a∥b，所以存在实数 k，使 a＝kb，即(2，5)＝k(λ， 4)，得k4kλ＝＝25，，解得λk＝＝8554，. 法二(结论法) 因为 a∥b，所以 2×4－5λ＝0，解得 λ＝58.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 平面向量的坐标运算
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝___(_x_2_－__x_1，___y2_－__y_1_) ______， |A→B|＝__（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1）__2.
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2.(2022·成都诊断)如图，原点 O 是△ABC 内一点，顶点 A 在 x 轴上，∠AOB ＝150°，∠BOC＝90°，|O→A|＝2，|O→B|＝1，|O→C|＝3，若O→C＝λO→A＋μO→B，
则μλ＝( D )
A.－
3 3
3 B. 3
C.－ 3
D. 3
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解析 由三角函数定义，易知 A(2，0)，B－ 23，12，C(3cos 240°，3sin 240°)，
即 C－32，－32 3. 因为O→C＝λO→A＋μO→B，
所以－32，－32 3＝λ(2，0)＋μ－ 23，12，
所以212λμ－＝－233μ＝2 3－，32，解得λμ＝＝－－33，3，
所以μ＝ λ
3.
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3.已知 O 为坐标原点，点 C 是线段 AB 上一点，且 A(1，1)，C(2，3)，|B→C|＝
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5.(易错题)已知 A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量A→B共线的单位向量是_±__35_，__－__45_ _. 解析 ∵A→B＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴|A→B|＝5. 故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35，－54.
索引Leabharlann 8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____5 ____.
第五章 平面向量与复数
索引
考试要求
1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其 坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理 解用坐标表示的平面向量共线的条件.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
解析 (1)共线向量不可以作为基底. (3)若 b＝(0，0)，则xx12＝yy12无意义.
索引
2.若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的
坐标为( A )
A.(2，2)
B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1)
D.(2，2)或(3，1)
解析 由题意得P→1P＝13P→1P2且P→1P2＝(3，－3)， 设 P(x，y)，则(x－1，y－3)＝13(3，－3)，
所以 x＝2，y＝2，则点 P(2，2).
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3.(2021·银川质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则
向量b的坐标为( D )
A.－65，85 C.65，－85
B.(－6，8) D.(6，－8)
解析 因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，
则|b|＝ 9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
索引
4.(易错题)给出下列三个向量：a＝12，32，b＝(1，－3)，c＝(－2，6).从三个向量
中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为____2____.
解析 易知b∥c，a与b不共线，a与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
索引
4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔___x_1y_2_－__x_2_y1_＝__0__.
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常用结论
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等