4.5 相似三角形的性质及其应用(1)-学习文档

4.5 相似三角形的性质及其应用（1）
相似三角形的对应线段（对应边，对应边上的中线、高线、对应角的平分线）之比等于相似比．
1.如ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE ∶BC=2∶3，那么下列各式错误的是(C ).
（第1题）（第2题） （第3题） （第4题）
2.如图所示，在△ABC 中，D 论中，正确的是(C ).，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE∥BC，点
F 为BC 边上一点，连结AF 交DE 于点
G ，则下列结
3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，过点O 作AB 的垂线与弦AC 交于点D ，连结BC ，若OD=3，⊙O 的半径为4，则CD 等于(A ).
A.1.4
B.1.8
C.2.4
D.2.6
4.如图所示，边长为12的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上.若BF=3，则小正方形的边长为(A ). A.
4
15
B.23
C.4
D.5 （第5题）（第6题）（第7题） （第8题）
5.如图所示，Rt△OAB 的顶点与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=3BO ，当点A 在反比例函数
y=
x 9
（x ＞0）的图象上移动时，点B 坐标满足的函数表达式为(A ). A.y=-x 1（x ＜0） B.y=-x 3
（x ＜0）
C.y=-x 31（x ＜0）
D.y=-x
91（x ＜0）
6.如图所示，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB 的长为 10 ．
7.如
ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果
FD BF =32，那么BC
BE
= 3
2
． 8.如图所示，已知在△ABC 中，AB=3，AC=2，D 是边AB 上的一点，∠ACD=∠B，∠BAC 的平分线AQ 分别与CD ，BC 交于点P ，Q ，那么
AQ AP 的值为3
2
． 9.如图所示，MN 经过△ABC 的顶点A ，MN∥BC，AM=AN ，MC 交AB 于点D ，NB 交AC 于点E ，
连结DE ．
（第9题）
（1）求证：DE∥BC．
（2）若DE=1，BC=3，求MN 的长． 【答案】(1)∵MN∥BC，∴
.∵AM=AN，∴
BD AD =EC
AE
.∴DE∥BC. (2)∵DE∥BC，∴
.∴MN=2AM=3.
10.如图所示，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.
（1）求证：BE 2
=EG·EA.
（2）连结CG ，若BE=CE ，求证：∠ECG=∠EAC.
（第10题）
【答案】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°.∵AE⊥BD，∴∠BGE=90°=∠ABC.
∵∠BEG=∠AEB，∴△ABE ∽△BGE.∴
BE EA =EG
BE .∴BE 2
=EG·EA. (2)由(1)证得BE 2=EG·EA，∵BE=CE，∴CE 2
=EG·EA.∴EG CE =CE
AE .∵∠CEG=∠AEC，∴△CEG
∽△AEC.∴∠ECG=∠EAC.
11.如图所示，等腰直角三角形ABC 的直角边长为3，P 为斜边BC 上一点，且BP=1，D 为AC 上一点.若∠APD=45°，则CD 的长为(C ).
（第11题） （第12题） （第13题）（第14
题）
12.如图所示，D 是等边三角形ABC 边AB 上的一点，且AD ∶DB=1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ∶CF 等于(B ).
13.如图所示，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ），在△ABC 内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，则DE 等于(C ).
14.如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA⊥CA 交DB 的延长线于点E ，若AB=3，BC=4，则AE AO 的值为24
7
. 15.如
ABCD 中，过点A 作AE⊥BC，垂足为点E ，连结DE ，F 为线段DE 上一点，
且∠AFE=∠B.若AB=5，AD=8，AE=4，则AF 的长为 25 ．
（第15题）（第16题）（第16题答图）
16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD 交AC 边于点E ，且AE=4，则BE·DE=
20 .
【解析】如答图所示，延长CA 到点F ，使得AF=AB ，连结BF ，则∠F=∠ABF=2
1∠BAC.∵∠BAC=2∠BDC ，∴∠F=∠BDC.又∵∠FEB=∠DEC ，∴△FEB ∽△DEC.∴
CE
BE
=DE FE .∵AE=4，AB=AC=6，∴EF=10，CE=2.∴2BE =DE
10
.∴BE·DE=20. 17.如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A(
3
4
，3
5
)，点D 的坐标为（0，1）. （1）求直线AD 的函数表达式. （2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标.
(第17题) 图1
图2
（第17题答图）
【答案】(1)设直线AD 的函数表达式为y=kx+b.将A （
34，3
5），D （0，1）代入，得.∴直线AD 的函数表达式为y=
2
1
x+1. (2)∵直线AD 与x 轴的交点为（-2，0），∴OB=2.∵点D 的坐标为（0，1），∴OD=1.∴BD=22OD OB =5.∵y=-x+3与x 轴交于点C （3，0），∴OC=3.∴BC=5. ①如答图1所示，当∵△BOD ∽△BCE 时，则BC BO =CE OD ,∠BCE=∠BOD=90°,∴52=CE
1
，解得CE=
25.∴点E 的坐标为（3, 2
5
）.
②如答图2所示，当△BOD ∽△BEC 时，则,解得BE=25，CE=5. 过点E 作EF⊥x 轴于点F ，易知△BEF ∽△BCE,∴
，解得EF=2.
∴CF=2
2
EF CE =1.∴OF=2.∴点E 的坐标为(2，2).综上可得点E 的坐标为(3，2
5)或(2，2）.
18.如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC ，BD 交于点E ，且AC⊥BD．
（1）求证：CD 2
=BC·AD．
（2）F 是BC 边上一点，连结AF 与BD 交于点G ，如果∠BAF=∠DBF，求证：2
2
AD AG =BGBD ．
（第18题）
【
答
案
】
(1)∵AD∥BC
，
∠BCD=90°
，
∴∠ADC=∠BCD=90°.∵AC⊥BD
，
∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°.∴∠ACD=∠CBD.∴△ACD ∽△DBC.∴
CD AD =BC
CD
，即CD 2
=BC·AD.
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF.∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF.∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG ∽△DBA.∴
.∵△ABG ∽△DBA ，∴
AB BG =BD
AB .∴AB 2
=BG·BD.∴.
（第19题）
19.【深圳】如图所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN 的直角顶点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE=2PF 时，AP= 3 .
20.【杭州】如图所示，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG⊥BC 于点G ，AF⊥DE 于点F ，∠EAF=∠GAC. （1）求证：△ADE ∽△ABC. （2）若AD=3，AB=5，求
AG
AF
的值.
（第20题）
【答案】(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°.∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB.又∠EAD=∠BAC，∴△ADE ∽△ABC. (2)由(1)知△ADE ∽△ABC ，∴AB AD =AC AE =5
3
.∵AFE=∠AGC,∠EAF=∠CAG,∴△EAF ∽△CAG.∴
AG AF =AC AE .∴AG AF =5
3
. 21.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF ，BE 是△ABC 的中线，且AF⊥BE，
垂足为点P ，设BC=a ，AC=b ，AB=c.求证：a 2+b 2=5c 2
.该同学仔细分析后，得到如下解题思路： 先连结EF ，利用EF 为△ABC 的中位线得到△EPF ∽△BPA ，故
，设PF=m ，
PE=n ，用m ，n 把PA ，PB 分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF 中利用勾股定理计算，消去m ，n 即可得证.
（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程. （2）利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，E ，F 分别为线段AO ，DO 的中点，
连结BE ，CF 并延长交于点M ，BM ，CM 分别交AD 于点G ，H ，如图2所示，求MG 2+MH 2
的值.
图1图2
（第21题）
【答案】(1)设PF=m ，PE=n ，连结EF.∵AF，BE 是△ABC 的中线，∴EF 为△ABC 的中位线，AE=
21b ，BF=21a.∴EF∥AB，EF=2
1
c.∴△EPF ∽△BPA.∴
∴PB=2n，PA=2m.在Rt△AEP 中，∵PE 2
+PA 2
=AE 2
，∴n 2
+4m 2
=
4
1b 2①.在Rt△BFP 中，∵PF 2+PB 2=BF 2
，∴m 2+4n 2=41a 2②.①+②得5（n 2+m 2）=41（a 2+b 2），在Rt△EFP 中，∵PE 2+PF 2=EF 2，∴n 2+m 2=
41c 2.∴5·41c 2=4
1（a 2+b 2）.∴a 2+b 2=5c 2
.
(2)∵四边形ABCD 为菱形，∴BD⊥AC.∵E，F 分别为线段AO ，DO 的中点，由(1)的结论得MB 2
+MC 2
=5BC 2
=5×32
=45.∵AG∥BC，∴△AEG ∽△CEB.∴.∴AG=1.同理可得DH=1，
∴GH=1.∵GH ∥BC ，∴.∴MB=3MG ，MC=3MH.∴9MG 2+9MH 2=45.∴
MG 2+MH 2=5.。