高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解word资料9页

高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐
标系习题及详解
一、选择题
1．(文)(2019·黑龙江哈三中)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )
A ．(0，2－1)
B ．(2－1，2＋1)
C ．(－2－1，2＋1)
D ．(0，2＋1)
[答案] A
[解析] 圆的方程x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意知圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0距离大于a ，即|a －1|2
>a ，解得－1－2<a <－1＋2，∵a >0，∴0<a <2－1.
(理)(2019·宁德一中)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A ．－3<m <1
B ．－4<m <2
C ．0<m <1
D ．m <1 [答案] C
[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径．∵圆x 2
＋y 2－2x －1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝|1－0＋m |2
<2，
∴|m ＋1|<2，∴－3<m <1，故所求的m 的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C. 2．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
[答案] A
[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1，
∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．
3．(文)(2019·青岛市质检)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )
A ．2
B ．1＋ 2
C ．2＋
22
D ．1＋2 2
[答案] B
[解析] 圆心C (1,1)到直线x －y －2＝0距离d ＝2，∴所求最大值为d ＋r ＝2＋1. (理)(2019·山东肥城联考)若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a 等于( )
A ．±1
B ．±2
4
C ．±2
D ．±32
[答案] B
[解析] 圆(x －3)2＋(y －1)2＝4，半径为2， 由题意圆心(3,1)到直线的距离是1， ∴
|3a |a 2＋1
＝1，∴a ＝±2
4.
4．(2019·深圳中学)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则( )
A ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0
B ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0
C ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0
D ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0 [答案] A
[解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，圆心C (－1,2)，半径r ＝5，点在圆内，设l 斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，
∵|AB |＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3， ∴
|－k －2＋4k |k 2＋1
＝3，∴k ＝－5
12，当斜率不存在时，直线x ＝－4也满足．故选A.
5．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不确定
[答案] C
[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝⎛⎭⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为
24<12
， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.
6．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )
A ．66条
B ．72条
C ．74条
D ．78条
[答案] B
[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有1
2×(12×11)
＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.
7．(2019·温州十校)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点
F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则|OM |－|MT |等于( )
A ．b －a
B ．a －b C.a ＋b
2
D ．a ＋b
[答案] A
[解析] 如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a .
又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，
∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |)＝|FT |－a ＝b －a ，故选A.
8．(文)(2019·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，1
4 C.⎝⎛⎭⎫－1
4，0
D.⎝
⎛⎭⎫－∞，14 [答案] A
[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛
⎭
⎫
a ＋
b 22＝
1
4
，故选A. (理)(2019·泰安质检)如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，
且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
kx －y ＋1≥0kx －my ≤0
y ≥0
表示的平面区域的面积是( )
A.1
4
B.12 C ．1
D ．2
[答案] A
[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆的两交点M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴圆心在直线x ＋y ＝0上，且两直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
k ＝1－k 2＋⎝⎛⎭
⎫－m 2＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝1
m ＝－1，∴不等式组化为⎩⎪
⎨⎪⎧
x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0
，表示的平面区域如图，故其面积S ＝
1
2
|OA |·y B ＝1
4
.
9．(文)若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )
A ．两个椭圆
B ．一个椭圆及双曲线的一支
C ．两双曲线的各一支
D ．双曲线的一支 [答案] D
[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，
故C 点的轨迹为双曲线的一支．
(理)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )
A ．0.5小时
B ．1小时
C ．1.5小时
D ．2小时
[答案] B
[解析] 以A 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系，则A (102t,102t )，B (40,0)．
当满足下列条件时，B 城市处于危险区内，即(102t －40)2＋(102t )2≤302，解得2－
12
≤t ≤2＋1
2
，
故选B.
10．(2019·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )
A.3
8 B.5
16 C.5
8
D.316
[答案] B
[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴
|a －2b |
a 2＋
b 2
<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫
34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，
S 梯形OABE ＝
⎝⎛⎭⎫14＋1×1
2
＝5
8
，
由几何概型知，所求概率P ＝582＝5
16.
二、填空题
11．(2019·四川广元市质检)已知直线l ：x －2y －5＝0与圆O ：x 2＋y 2＝50相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为______．
[答案] 15
[解析] 圆心(0,0)到直线l 距离d ＝5，圆半径R ＝52，∴弦长|AB |＝2(52)2－(5)2
＝65，
∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12
×65×5＝15.
12．(文)(2019·天津南开区模拟)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线OA 、OB ，A 、B 为切点，则线段AB 的长为________．
[答案] 4
[解析] 圆(x －3)2＋(y －4)2＝5的圆心C (3,4)，半径为r ＝5，|CO |＝5，∴切线长|OA |＝25，
由12|OA |·|CA |＝1
2|OC |·d ，得d ＝2， ∴弦长|AB |＝2d ＝4.
(理)(2019·甘肃质检)若直线2x －y ＋c ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为________．
[答案] 8或－2
[解析] 设直线2x －y ＋c ＝0上点P (x 0，y 0)，按a 平移后移到点P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝x 0＋1y ＝y 0
－1，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝x －1
y 0＝y ＋1代入直线2x －y ＋c ＝0中得2x －y －3＋c ＝0，此时直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴
|－3＋c |
5
＝5，∴c ＝8或－2. 13．(2019·湖南文)若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．
[答案] －1 x 2＋(y －1)2＝1
[解析] 过P 、Q 两点的直线的斜率k PQ ＝
b －(3－a )a －(3－b )＝a ＋b －3
a ＋
b －3
＝1，
∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为⎝⎛
⎭⎫a －b ＋32，b －a ＋32，
∴PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－⎝⎛⎭⎫
x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)
关于直线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(a ，b )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋32＝－a ＋2
2＋3b －3a －2＝1
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝0
b ＝1，
故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.
14．(2019·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．
[答案] (－13,13)
[解析] 由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，∴|c |
13<1，∴－13<c <13.
三、解答题
15．(2019·广东湛江)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．
(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．
[解析] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得|－k －2|k 2
＋1
＝2，即k ＝2±6，从而切线方程为y ＝(2±6)x .
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. ∴所求切线的方程为y ＝(2±6)x x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0
(2)由|PO |＝|PM |得，x 12＋y 12＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0. 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，|PM |取最小值时即 |OP |取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0
得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，3
5. 16．(文)(2019·北京延庆县模考)已知长方形ABCD ，AB ＝22，BC ＝1，以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy .
(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；
(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M 、N 两点，判断是否存在直线l ，使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由．
[解析] (1)由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)． 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，则有
2a ＝|AC |＋|BC |＝(－2－2)2＋(0－1)2＋(2－2)2＋(0－1)2＝4>22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2， 椭圆的标准方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)假设满足条件的直线l 存在，由条件可知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2y 2＝4
y ＝kx ＋2，消去y 并整理得
(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0
∴x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2
＝4
1＋2k 2
若以弦MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →
， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，
∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0， ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k 21＋2k 2
＝0，
解得k ＝±2
检验知k 值满足判别式Δ>0
∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2. (理)(2019·哈三中)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝16.
(1)由动点P 引圆C 的两条切线P A 、PB ，若直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程；
(2)另作直线l ：kx －y －k ＝0，若直线l 与圆C 交于Q 、R 两点，且直线l 与直线l 1：x ＋2y ＋4＝0的交点为M ，线段QR 的中点为N ，若A (1,0)，求证：|AM |·|AN |为定值．
[解析] (1)由k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1得，(k 1＋1)(k 2＋1)＝0，
∴k 1＝－1或k 2＝－1.设切线方程为x ＋y ＝m ，则由圆心到直线距离公式得：m ＝－7±42，
∴P 点轨迹方程为：x ＋y －7±42＝0；
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)x ＋2y ＋4＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －42k ＋1，－5k 2k ＋1 由⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －3)2＋(y －4)2＝16y ＝k (x －1)消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋9＝0此方程两根即Q 、R 两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得x N ＝k 2＋4k ＋3k 2＋1，代入y ＝k (x
－1)得y N ＝4k 2＋2k
k 2＋1
，
即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，
又A (1,0)则由两点间距离公式可得： |AM |·|AN |＝10为定值．
17．(文)已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.
(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.
[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x
(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝4m
y 1y 2
＝－4n .
∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，
∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 124·y 22
4＝0.
∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过存在M (4,0)点．
(理)设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－3
2相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .
(1)求曲线w 的方程；
(2)过点F 作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值．
[解析] (1)由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，p 2＝3
2，即p ＝3，∴w ：
x 2＝6y .
(2)设AC ：y ＝kx ＋3
2
，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋32(k ≠0)
x 2＝6y ⇒x 2－6kx －9＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，易求|AC |＝6(k 2＋1)， ∵l 1与l 2互相垂直，
∴以－1k 换k 得|BD |＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， S ABCD ＝1
2|AC ||BD |
＝12×6(k 2＋1)×6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1 ＝18⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1
k 2≥18(2＋2)＝72， 当k ＝±1时取等号，
∴四边形ABCD 面积的最小值为72.。