求解空间角问题的两个技巧

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究求空间角问题在高中数学立体几何中比较常见.常见的命题形式有求异面直线所成的角、求直线与平面所成的角、求二面角及其余弦值.此类题目对同学们的空间想象与逻辑思维能力有较高的要求.解答此类问题的常用技巧主要有巧用定义和构造向量.
一、巧用定义
空间角包括异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角.运用定义法求解空间角问题，需首先仔细观察几何图形，根据异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的定义添加辅助线，确定对应的平面角，然后运用勾股定理、正余弦定理求出空间角的大小.
例1.在三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB =AC =1，PB =PC =5.设点E 为PA 的中
点，D 为AC 的中点，F 为PB 上一点，且PF =2FB ，PA ⊥AC ，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.
解：因为AB =AC =1，PB =PC =5，
PA =PA ，所以△PAB ≅△PAC ，因为PA ⊥AC ，所以PA ⊥AB ，PA =PC 2-AC 2=2,
所以PA ⊥平面ABC ，过点E 作EH ⊥平面PBC 于点H ，连接CH ，
则∠ECH 即为直线CE 与平面PBC 所成角，易知BC =2，
设点A 到平面PBC 的距离为h ，
由V P -ABC =V A -PBC 得13∙S △ABC ∙PA =1
3
∙S △PBC ∙h ，
解得h =2
3
，
因为点E 为PA 的中点，所以EH =12h =1
3
，
因为CE =2，所以sin ∠ECH =EH CE =.解答本题，需首先明确各个点、线段、平面的位置
及其关系，然后根据直线与平面所成角的定义，过点
E 作EH ⊥平面PBC 于点H ，连接CH ，便可找到直线CE 与平面PBC 所成角对应的平面角∠ECH .然后根据等体积法求得EH 、CE ，再根据正弦函数的定义就
能求得问题的答案.
二、构造向量
对于空间角问题，我们也可以采用向量法来求解.在建立空间直角坐标系或选定基底后，求得各个点的坐标、各个向量的方向向量，便可通过向量的坐标运算求得空间角的大小.对于异面直线所成的角，只需求得两条直线的方向向量，运用数量积公式求解；对于直线与平面所成的角，需求得直线的方向向量和平面的法向量，运用数量积公式求得其夹角，则该夹角的余角即为所求的角；对二面角，需分别求得两个半平面的法向量，则其夹角或补角即为二面角的平面角.
例2.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA =CC 1=2CB ，求直线
BC 1与直线AB 1夹角的余弦值.
解：设 AC =a ， CB =b ， CC 1=c
，且||a =||c =2，||||b =1，
则 AB 1= AB + BB 1=a +b
+c ，
BC 1=c -b ，则|
| AB 1=（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2a b +2a c +2b c ，
因为2a b =2b c =2a c =0，所以|
|
AB 1=3.同理可得 BC 1=（c -b ）2=5，
又 AB 1∙
BC 1=(c -b )∙(a +b +c )=3故cos < AB 1， BC 1>= AB 1∙
BC 1||
AB 1|
| BC 1
=
>0，所以 AB 1与 BC 1的夹角的余弦值，即为直线 AB 1与直线
BC 1夹角的余弦值.
我们以 AC 、 CB 、 CC 1为基底，将 AB 1与 BC 1用三
个基底表示出来，便可直接运用向量的数量积公式求得两异面直线所成角的余弦值.
一般来说，定义法的适用范围较广，向量法的适用范围较窄.在使用向量法时，需特别注意题目中所给的图形是否方便建立空间直角坐标系.有时解答空间角问题可以同时运用上述两种方法.
（作者单位：江苏省射阳中学）
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