13-14数列高考题汇编(含答案)

13-14数列高考题汇编
1（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ7）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若
21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ C ）
A.3
B.4
C.5
D.
2（2013·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ4）相同 下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：
1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列； 3:p 数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；
其中的真命题为（ D ）
12
34
23
14.
,.
,.
,.
,A p p B p p C p p D p p
3（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ6）设首项为1，公比为23
的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（ ）
A.12-=n n a S
B. 23-=n n a S
C. n n a S 34-=
D. n n a S 23-=
4（2013·福建高考理科·Ｔ9）已知等比数列{}n a 的公比为q ，记
m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，c n =a m(n-1)+1·a m(n-1)+2·…·a m(n-1)+m ，()*,N n m ∈，则以
下结论一定正确的是（ ）
A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m q
B. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2
C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2
m q D. 数列{}n c 为等比数列，公比为m
m q
5【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）
139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列
6【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，S 3=12，则a 6等于（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
7.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
二、填空题
8【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则
1220ln ln ln a a a +++= 。

9.【2014年北京卷（理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时
{}n a 的前n 项和最大.
10.【2014年安徽卷（理12）】数列}{n a 是等差数列，若5,3,1531+++a a a 构成公比为q 的等比数列，则=q _________．
11（2013·安徽高考理科·Ｔ14））如图，互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A
n+1
的面积均相等。

设.n n OA a 若a 1
=1,a 2
=2则数列n a 的通项公式是_______。

O
三、解答题
12（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ17）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a == （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1
,.n n n n
b b n S na =求数列的前项和
13. （2013·天津高考文科·Ｔ19）已知首项为32
的等比数列{}n a 的前n 项和为
(*)n S n ∈N ,
且234,2,4S S S -成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13
*)6
1(n n S n S +≤∈N
14.(2013·天津高考理科·T19)已知首项为32
的等比数列{a n }不是递减数列,其前
n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式. (2)设*()1
n n n
T S n S ∈=-N ,求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.
15. （2013·湖北高考理科·T18）已知等比数列{}n α满足： 23123||10,125.a a a a a -== （Ⅰ）求数列{}n α的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得12111
....1m
a a a ++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由.
16（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3
132
+=n n a S ，则}{n a 的通项公式是=n a ________
17.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d,a n .
(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.
18（2013·江苏高考数学科·Ｔ19）设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，
n S 是其前n 项和。

记c
n nS b n n +=
2
，*
N n ∈，其中c 为实数。

（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）；
19.（2013·江西高考理科·Ｔ17）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：
222n n S (n n 1)S (n n)0-+--+=
(1)求数列{a n }的通项公式a n . (2)令n 22n n+1b =
(n+2)a ，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意n N*∈，都有n
5
T 64
<. 20.（2013·江西高考文科·Ｔ16）正项数列｛a n ｝满足2n n a (2n 1)a 2n 0---=. (1)求数列｛a n ｝的通项公式a n ； (2)令b n =n
1
(n 1)a +，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .
21.（2013·广东高考理科·Ｔ19）设数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，已知
211212
1,
33
n n S a a n n n +==---，n *∈N .
（1）求2a 的值；
（2）求数列｛n a ｝的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有12
11
174
n a a a +++
<.
22.（2013·广东高考文科·Ｔ19）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n *+=--∈N 且2514,
,a a a 构成等比数列． (1) 证明：2a = (2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有
1223
11111
2
n n a a a a a a ++++
<．
23【2014年全国大纲卷（18）】（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
24.【2014年山东卷（理19）】(本小题满分12分）
已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)1(1
1+--n n n a a n
求数列}{n b 的前n 项和n T 。

25.【2014年四川卷（理19）】设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x
f x =的图象上（*n N ∈）。

（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
26.【2014年广东卷（理19）】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足
2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =，
(1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式。

27.【2014年湖北卷（理18）】已知等差数列{a }n 满足： 1a ＝2，且123,,a a a 成等比数列. （1） 求数列{a }n 的通项公式.
（2） 记n S 为数列{a }n 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800?n S n >+若存在，求n 的最
小值；若不存在，说明理由.
（Ⅱ）根据{}n a 的通项公式表示出{}n a 的前项和公式,令n S 60800n >+，解此不等式。

28.【2014年江西卷（理17）】（本小题满分12分） 已知首项都是1的两个数列（），满足.
(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若，求数列的前n 项和.
29.【2014浙江卷（理19）】（本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足*
12(2)()n b
n a a a n N ⋅⋅⋅=∈.
若{}n a 为等比数列，且12a =，326b b =+. ⑴求n a 与n b ； ⑵设*11
()n n n
c n N a b =
-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S . ①求n S ；
②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k n S S ≥
参考答案
三、解答题
12【解题指南】（I ）根据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和公差，再
根据等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出{}n a 的通项公式. （II ）将（I ）中
的通项公式代入到n
n na b 1
=
中,采用裂项相消法求和.
【解析】（I ）设等差数列}{n a 的公差为d ，则d n a a n )1(1-+=.
因为⎩⎨⎧==9
19724a a a ，所以⎩⎨⎧+=+=+)8(21846111d a d a d a ，解得21,11==d a .
所以}{n a 的通项公式为2
1
+=n a n . （II ）因为)1
11(2)1(21+-=+==
n n n n na b n n 所以)1
1131212
1
1[2+-
+⋅⋅⋅+-+-=n n S n 12+=
n n
. 13【解题指南】(Ⅰ)
由234,2,4S S S -成等差数列求等比数列{}n a 的公比，然后写出其
通项公式；
(Ⅱ) 写出等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，表示1+n n
S S ，分n 为奇数或偶数讨论起
最大值，进而得出证明.
【解析】(Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ，由234,2,4S S S -成等差数列，所以
324342S S S S +=-，4324S S S S =--，可得432,a a =-于是43
1.2
a
q a ==-又13,2
a =所以等比
数列{}n a 的通项公式为11313()(1).222
n n n n a --=
⨯-=-⋅ (Ⅱ)12,2(21)11111(),1()11221()2,22(21)n n n n n n n n n n n S S S n ⎧
+⎪+⎪
=--+=--+=
⎨⎪--+⎪-⎩
为奇数,为偶数, 当n 为奇数时，1
n n S S +随n 的增大而减小，所以111113.6n n S S S S +≤+= 当n 为偶数时，1n n
S S +
随n 的增大而减小，所以221125.12
n n S S S S +
≤+= 故对于*n ∈N ，有13
.16
n n S S ≤+
14【解题指南】(1)由
S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列求等比数列{a n }的公比,然后写
出其通项公式.
(2)写出等比数列{a n }的前n 项和为S n ,表示1=-n n n
T S S ,分n 为奇数或偶数讨论其最
值.
【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q ，由S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列，所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3,于是25
31
.4
a q a ==又{a n }不是递减数列且13,2a =所以1.2
q =- 故等比数列{}n a 的通项公式为11313()(1).2
22
n n n n a --=⨯-=-⋅
(2)由(1)
得11,121()121,2n
n n n
n S n ⎧+⎪⎪=--=⎨⎪-⎪⎩为奇数,为偶数,
当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，
所以131,2
n S S <≤=故1111325
0.236
n n S S S S <-≤-=-= 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，所以231,4
n S S =≤<故
2211347
0.4312
n n S S S S >-
≥-=-=- 综上，对于*n ∈N ，总有71125.6n n S S -≤-
≤所以数列{}n T 的最大项的值为5
6
与最小项
的值为.712
-
15【解题指南】（Ⅰ）用a 1和公比
q 表示,解方程组.（Ⅱ）求和。

【解析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为
q ，则由已知可得3312
11125,
||10,
a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩
解得15,33,
a q ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
或15,
1.
a q =-⎧⎨
=-⎩，故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-.
（Ⅱ）若1533
n n a -=⋅，则
1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为1
3
的等比数列，
从而131[1()]191953[1()]111031013
m
m
m n n
a =⋅-=
=⋅-<<-∑.
若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则
111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为1
5
-，公比为1-的等比数列，
从而11
,21(),
1502().
m
n n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N ,
故11
1m
n n
a =<∑.
综上，对任何正整数m ，总有1
1
1m
n n
a =<∑.故不存在正整数m ，使得
12
11
1
1m
a a a +++
≥成立.
17【解题指南】(1)由a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列可以求得a 1与
d 的关系,进而可求
得d 与a n .
(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n 项和的性质求解.
【解析】(1)由题意得,5a 3·a 1=(2a 2+2)2,
d 2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n =-n+11或a n =4n+6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n , 因为d<0,所以d=-1,a n =-n+11,则 n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-12
n 2+
212
n; n ≥12时,|a 1|+|a 2|+…+|a 11|+|a 12|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 11-a 12-…-a n =S 11-(S n -S 11)= -S n +2S 11=12
n 2-21
2
n +110.
综上所述,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=22121,11,22
121110,12.22
≤≥⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩n n n n n n
18（1）若0=c ，得(1)2
n n S n d
b a n -=
=+
.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以4122b b b =, 即：⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322
d a a d a ，化简得d 2
≠0,所以d=2a.
因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a .
从而对于所有的k,n ∈N *,有S nk =(nk)2a=n 2k 2a=n 2S k .
19【解题指南】(1)由题目中的等式求出n S ，然后由n S 求a n ；（2）化简n b ，观察
结构特征，选取求和的方法求T n .
【解析】（1）由222n n S (n n 1)S (n n)0-+--+=得2n n [S (n n)](S 1)0-++= 由于{}n a 是正项数列，所以2n n S 0,S n n >=+.于是，当n 2≥时，
22n n n 1a S S (n n)[(n 1)(n 1)]-=-=+----=2n ,又因为11a s 2==符合上式.综上，数列{}
n a 的通项公式为n a 2n =. (2)因为n a 2n =，n 22n n+1
b =(n+2)a ，所以n 2222
n+1111b =[](n+2)4n 16n (n 2)
=-+. 则n 222222222
1111111111
T [1]1632435
(n 1)(n 1)n (n 2)=
-+-+-++
-+--++ 22221111115[1](1)162(n 1)(n 2)16264
=
+--<+=++ 20【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求n a ，分析｛b n ｝通项公式的特点
选择正确的求和方法.
【解析】(1)由2n n a (2n 1)a 2n 0---=，得n n (a 2n)(a 1)0-+=.由于｛a n ｝是正项数列，所以n a 2n =. (2)由n a 2n =，b n =
n
1
(n 1)a +，则n 1111
b ().2n(n 1)2n n 1
=
=-++
所以n 1111111111n
T (1)(1)2223
n 1n n n 12n 12(n 1)
=
-+-++
-+-=-=-+++.
21【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前
n 项和的关系及不
等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.
【解析】（1）因为11a =，在
21212
33n n S a n n n +=---中令1n =，可得24a =； （2）由已知可得32112233n n S na n n n +=---，即1(1)(2)
23
n n n n n S na +++=-①，则当2
n ≥时，1(1)(1)
2(1)3
n n n n n S n a --+=--②，①-②可得12(1)(1)n n n a na n a n n +=---+，也就
是1(1)(1)n n n a na n n ++=-+，同除以(1)n n +可得111n n a a
n n
+-=+，数列{n a n }是公差为1
的等差数列，且111
a
=，所以n a n n =，2n a n =，显然11a =也满足2n a n =，即所求通
项公式为2n a n =. （3）当1n =时，21117
114
a ==<结论成立； 当2n =时，1211157
1444
a a +=+=<结论成立； 当3n ≥时，
211111(1)1n a n n n n n
=<=---，则22212
11
11111
1434
n a a a n +++
=+++++
1111
142334
(1)
n n <+++++
⨯⨯-511111142334
1n n =
+-+-++
--717
44
n =-<，即对一切n *∈N ，121117
4
n a a a ++
+
<成立. 22【解题指南】
本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n 项和的关系及不
等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.
【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，因为0n a >，所以2a =
（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22
114444n n n n n a S S a a -+=-=--，()2
221442n n n n a a a a +=++=+，
因为0n a >，所以12n n a a +=+，当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列. 因为2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a =⋅，()()2222624a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-=，又因为21312a a -=-=，则{}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）
()()
1223
111
1111
1
133557
2121n n a a a a a a n n ++++
=++++
⋅⋅⋅-+
11111111111
[(1)()()(
)](1).233557
21212212
n n n =-+-+-++-=-<-++
23解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+- 若0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不成立
若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤ 当0d <时，数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足540
a a ≤⎧⎨
≥⎩即
1040105
1030
32d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨
+≥⎩，又因为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =- 此时103(1)133n a n n =--=-
（2）由（1）可得1111111
()(133)(103)(313)(310)3133103
n n n b a a n n n n n n +=
===-⨯------ 所以111111111
(())(())()31073743133103
n T n n =---+---++-⨯--
1111111111(()()())()310774
31331031031010(310)
n
n n n n ---+---++
-=--=-----24解：（I ）
,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===
412
2421,,S S S S S S =∴成等比
解得12,11-=∴=n a a n
（II ）)1
21
121()1(4)
1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n
)
1
21
121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1
221211+=
+-=∴n n
n T n )
1
21
121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当1
22
21211++=
++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n n
T n ,1
222,1
22 25解：（1）点(,)n n a b 在函数()2x
f x =的图象上，所以2n a
n b =，
又等差数列{}n a 的公差为d 所以1
112222
n n n n a a a d n a n b b ++-+===
因为点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，所以8
7842a b b ==，所以
8
7
24d b b =
=2d ⇒= 又12a =-，所以221(1)
232
n n n S na d n n n n n -=+=-+-=- 26【解析】23420S a =-，3233520S S a a =+=-，又315S =，
37a ∴=，234208S a =-=，又212222(27)37S S a a a a =+=-+=-，
25a ∴=，112273a S a ==-=，
综上知13a =，25a =，37a =；
（２）由（１）猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明．
①当1n =时，结论显然成立；
②假设当n k =（1k ≥）时，21k a k =+，
则3(21)357(21)(2)2
k k S k k k k ++=++++=⨯=+，又2
1234k k S ka k k +=--，
21(2)234k k k ka k k +∴+=--，解得1246k a k +=+，
12(1)1k a k +∴=++，即当1n k =+时，结论成立；
由①②知，*,21n n N a n ∀∈=+．
27【解析】（1）设数列{a }n 的公差为d ，依题意，d,2d,24d ++成等比数列，故有
2(2d)2(24d)+=+
化简得2d 40d -=，解得0d =或4d = 当0d =时，a 2n =
当4d =时，a 2(n 1)442n n =+-⋅=-
从而得数列{a }n 的通项公式为a 2n =或a 42n n =-。

（2）当a 2n =时，2n S n =。

显然260800n n <+ 此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立。

当a 42n n =-时，2[2(4n 2)]
22
n n S n +-=
=
令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），
此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41。

综上，当a 2n =时，不存在满足题意的n ；
当a 42n n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41。

28【解析】（1）11120,0n n n n n n n a b a b b b b +++-+=≠
同时除以1n n b b +，得到
1
1
20n n n n a a b b ++-+=……………………………………………………2分 112n n
n n
a a
b b ++∴
-=即：12n n c c +-=……………………………………………………3分 所以，{}n c 是首项为
1
1
1a b =，公差为2的等差数列…………………………………4分 所以，12(1)21n c n n =+-=-……………………………………………………5分
(2) 21n
n n
a c n
b =
=-，()1213n n a n +∴=-………………………………………6分 ()()2341133353233213n n n S n n +∴=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯
()()345123133353233213n n n S n n ++∴=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯………………………9分
两式相减得：
()()()23412223233321318223n n n n S n n +++-=+⨯++
+--⨯=---⨯…………………11分
()2913n n S n +∴=+-⨯…………………12分
29解：（Ⅰ）∵a 1a 2a 3…a n =（n ∈N *） ①，当n≥2，n ∈N *时，
②， 由①②知：
，令n=3，则有
．∵b 3=6+b 2，∴a 3=8．
∵{a n }为等比数列，且a 1=2，∴{a n }的公比为q ，则
=4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q=2．
∴
（n ∈N *）．又由a 1a 2a 3…a n =
（n ∈N *）得：
，
，∴b n =n （n+1）（n ∈N *）．
（Ⅱ）（i ）∵c n ==
=
．
∴S n =c 1+c 2+c 3+…+c n =
=
==
；
（ii ）因为c 1=0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0；当n≥5时，
，
而=＞0，得，
所以，当n≥5时，c n ＜0，综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k=4。