导数的基本公式与运算法则

y y 3 3 3 3 3 3 ( x ( x 2 2 ) ) ， ， 即 3 即 3 x x 4 4 y y 8 8 3 3 0 0 。 。 2 2 4 4
六、对数求导法
1
2
(x1)3x1
y 观 察 函 数
,
yxs方i法xn : .
(x4)2ex
3
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化
因 f ( x ) ( x ) ( x a ) ( x )
故 f(a)(a)
正确解法:
f(a)lim f(x)f(a)lim(xa)(x)
x a xa xa xa
lim(x) (a) xa
八、小结
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) ; 注[意u(: x)] u(x).
dx dudx
例6 求函 yl数 n six n的导 . 数
解 y ln u ,u six .n
dy dy du 1 cos x cos x coxt
dx du dx u
sin x
注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导”
2.注意中间变量
推广 复 合 函 数 y f{ [( x ) ] } 的 导 数
五、隐函数的导数
即 y f( x ) 形 式 的 函 数 称 为 显 函 数 .
显函方 数程 ： x y 3 1 0 能 确 定 一 个 函 数 y f( x ) 3 1 x，
形如 y sin x ，y ln x的函数。 这种由方程确定的函数称为隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
若参数xy方 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由例如参数 定方 的程 函 . 所 数确
x 2t,
y
t
2
,
消t
去
x 参2数
yt2 (x)2 x 2 24
问题:y消
参
1 困2难x或
无
法消
参
如何
求
导?
由复合函数及反函数的求导法则得
求导运算。
4
-------对数求导法
5
6
适用范围:
有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数
多 个 函 数 相 乘 、 乘 方 、 开 方 和 幂 但指 直 接函 求 导 有数 困 难u 或( 很x 麻) 烦v .( x ) 的 情 形 .
设 y x sx i( n x 0 )求 ,y .
01
ln y sixn ln x 例12
在方程 xy ((tt))中,
设函 x数 (t)具有单调连续 t的 1(x)反 , 函
再x 设 ( t)y , 函 ( t) 都 , 数 且 可 ( t) 0 , 导
dy dy dt dy dx dt dx dt
1 dx
(t ) (t )
dt
dy
即
dy dx
dt dx
dt
例14
i1
i1
( 2 )[ C (x ) ] f C f(x );
(3)
n
[
fi(x)]f1(x)f2(x)
fn(x)
i1
f1(x)f2(x) fn(x).
二、例题分析
例1 求 yx32x2six n 的导 . 数 解： y 3x2 4x co x . s
例2．y=e x (sin x+cos x)，求y. 解：y=(e x )(sin x+cos x) + e x (sin x+co
xye e 0 问题: 隐函数不易显化 x
y
1
或不能显化如何求导?
, 如何求 3 方程中把隐函数的导数
5
解出.
y?
2
如
求隐函数的导数的方法：
4 把方程两边分别对x求导 数,
6 然后从所得的新的
例10. 求由方程eyxye0所确定的隐函数 y 的导数.
解：方程两边分别对x求导得
e y yy+xy0
同理可得 (arcx)cos 1 . 1x2
(arcxt)an11x2; (arccox)t11x2.
常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0
(sin x ) cos x
(tan x ) sec 2 x
(sec x ) sec x tan x
(a x ) a x lna
(loga
x)
1 x lna
解f (0 )h l 0 i(m 0h ) h ln 10 () 1,
f (0 ) h l 0 ilm n 1 ([ 0 h h ) ]ln 1 0 () 1,
f(0)1.f(x)111,x,
x0 x0.
2. 设 f(x ) (x a )(x ),其中 (x) 在 xa处连续,
在求 f (a) 时, 下列做法是否正确?
设v(x), u(v), y f(u),
dy dy du dv. dx du dv dx
1.
例7. 设
ylncosx()e, d y . dx
2.
dy dx
求
1 cos(e
x)
(sin(xe))
ex
3.
解:extan(x)e
yln (xx21),求 y.
4.
y 练 习1. 设 1
x x21 2
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y02
解
x
yy(cx o ln s xsixn 1) x
03
xsixn (cx olsn xs等ix 式n )两边取对数得
x
两边取对数得
f(x ) u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 )
lnf(x)v(x)lnu (x)
f(一x般)地v(x)lnu(x)v(x)u(x)
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
( x ) x 1 (cos x ) sin x
(cot x ) csc 2 x (csc x ) csc x cot x
(e x ) e x
(ln x ) 1 x
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
-ln|x -4|] ，
上式两边对x求导，得
1 2 1 2 1 y 1 y y y x x 1 ( 1 1 ( 1 x x 1 1 2 2 x 1 x 3 1 3 x 1 x 4 1 4 ) ， ) ， 于 是 y y ( 1 1 1 1 ) 。
2 x 1 x 2 x 3 x 4
设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
lny lnx 1 1 3 lnx 1 2 lnx 等值4 式后 两再x 边取加对绝数
对 得
上式两边 x求对导得
y1 1 解 2 1 y x1 3(x1) x4
练y 习(x (x 1 )4 3 )2 xe x1 x1 13 (x 1 1 )x 24 1
1 2x
x2 1
5.
1 解x: 2
1
y x1 x1, y . x1 x1
例8.
y2x2
x21 x
x2 1
2
解:
y 1
1
(2x)
2 x2 1
求 先化简后求导
1 x x2 1
yesixn 2arctx2 a1 n, y .
y (esinx2cosx2 2x)arcx2 t a 1关n 键: 搞清复合函
已 知 yx aa((1t csionstt))， 求d dyx.
dy dy dt dx dx
dt
asint sint aacost 1 cost
解
思考与练习
1.设 f(x) ln(1 x ,x),
x0,求 f(x). x0
当x0时, f(x)1,
当x0时, f ( x ) 1 ,
1 x 当x0时,
v(x) v(x)
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链式求导法）;
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.
反函数的求导法则（注意成立条件）;
( 2 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) ;
(3 )[u (x )] u (x )v (x ) u (x )v (x ) (v (x ) 0 ).
v (x )
v 2 (x )
推论:
n
n
(1) [fi(x)]fi(x);
有些显函数用对数求导法求导很方便 .
y b a x b x a a x b(a0,b0,x0 ,a b 1)
1 2 lny 说x明ln a a[ln bln x] b[l两n x边 取l对n a 数] b
3
yy两 边对ln
a xb
求
a 导x
b x
4
例如,
yb axb xaa xbln
f(x)
u(x)
f(x ) u (x )v (x )[v (x )lu n (x ) v (x )u (x )] u (x )
例13 ． 求 函数 y =
(x - 1)(x - 2) (x - 3)(x - 4)
的导数。
解：先在两边取对数，得
ln
y
=
1 [ln|x
2
-1|+ln|x -2|
-ln|x -3|
02
第三节 导数的基本公式 与运算法则
一、和、差、积、商的求导法则
如 果u函 (x),数 v(x)在x 点 处 可 ,则 导 它 们 的 和 、 差 (分、 母积 不 )在 、 为 x 点 处 商 零也 可,导 并 且
( 1 )[ u ( x ) 定 理v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) ;
= e x(sin x+cos+xe) x(cos x -sin x) =2e x cos x.
例3 求ytaxn的导. 数
解 y(taxn )(sin x) coxs
(sx i)n cc o x o 2 ssxsix n (cx o )sco2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x c . 同理可得 (cx o ) tcs2x c.
Ix内 也 可,导 且 有
f(x)1(y).
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例5 求函 ya数 rcxs的 in导 . 数
解 x siny 在 ( ,)内 单 调 、 可 导 ,
22
且 (sy )i n cy o 0 s ,在 (1,1)内 有
(arcsx)in 1 1 1 1 . (siny) cos y 1 sin2 y 1 x2
它们的导数。
数，
03
但是像
如果函数ug(x)在点x可导, 而y f(u)
01在点 定理ug(x)可导, 则复合函 02数y即 f因[g变(量x)对]在 自变点量求导,
x可导, 且其导数为
等于因变量对中间变量求 导,乘以中间变量对自变
dy f(u)g(x)或dy 量dy求导du.(.链式法则)
dx
x)
1
1 x2
1
注
基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等函数的导数公式和求导法则是
2
初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握.
四、复合函数的求导法则
01
02
前求面简我单们函已数l经— nt会ax n,ex2,等 数s函 ）i数 是n x（ 否2 2复 可 x合 导1函 ，
—基本初等函 数经有限次四则
可导的话，如何 求
运算的结果的导
从而
y¢= -
y x +ey
例 1．1 求椭圆 x2 + y2 =1 在 (2, 3 3) 处的切线方程。
16 9
2
解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得
x 2 y y 0 。 8 9
从而
y¢=-
9x 16y
.
将 x=2 ，y = 3 3 ，代入上式得
2
所求切线的斜率
k = - 3 . 所求的切线方程为 4
数结构
求
esixn 2(1 x2 2
1
2x) 由 外 向 内 逐 层 求 导
x2 1
01
2xc0o2sx2 esinx2 arc0t3axn21
04
例9.
x
1 x2
1
esin x2
解:
01
注
02
复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和
精神支柱. 要深刻理解, 熟练应用——注意不要漏层。
例4 ysexc,求 y.
解
y
1 cosx
( c osx) cos2 x
sin x cos 2 x
sexc taxn
同理可得 (c x )s c cx sc cx ot
三、反函数的导数
定理 如果函x数 (y)在某区I间 y内单调、可 且(y)0, 那么末它的反函 y数 f(x)在对应区间
01
用定义只能求出一些较简单的 函数的导数（常函数、幂函数、 正、余弦函数、指数函数、对 数函数），对于比较复杂的函 数则往往很困难。本节我们就 来建立求导数的基本公式和基 本法则，借助于这些公式和法 则就能比较方便地求出常见的 函数——初等函数的导数，从 而使得初等函数的求导问题系 统化，简单化。