2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷4

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
文科数学(四) 【p 259】
(函数的综合问题)
时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)
1．某市统一规定，的士在城区内运营：①1公里以内(含1公里)票价5元；②1公里以上，每增加1公里(不足1公里的按1公里计算)票价增加2元的标准收费．某人乘坐市内的士6.5公里应付车费( )
A ．14元
B ．15元
C ．16元
D ．17元
【解析】由题意可得： 5＋6×2＝17(元)，故选D .
【答案】D
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A ．y ＝x 2＋1
B ．y ＝|lg x|
C ．y ＝cos x
D ．y ＝e x －1
【解析】选项A 中，函数无零点，不合题意，故A 不正确．
选项B 中，函数不是偶函数，不合题意，故B 不正确．
选项C 中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C 正确．
选项D 中，函数不是偶函数，不合题意，故D 不正确．
综上选C .
【答案】C
3．某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是( )
A ．2 000元
B ．2 500元
C ．3 000元
D ．3 500元
【解析】设进价为x 元，得1.4x·0.8－x ＝360，解得x ＝3 000，故选C .
【答案】C
4．函数f ()x ＝⎩⎨⎧－1＋ln x ，x>03x ＋4，x<0
的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
【解析】当x>0时，令－1＋ln x ＝0，故x ＝e ，符合；当x<0时，令3x ＋4＝0，故x ＝－43
，符合，所以y ＝f ()x 的零点有2个，故选B . 【答案】B
5．函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则( )
A ．x 1＜2，2＜x 2＜5
B ．x 1＞2，x 2＞5
C ．x 1＜2，x 2＞5
D ．2＜x 1＜5，x 2＞5
【解析】设g(x)＝(x －2)(x －5)，∴g(x)的零点为2，5，将函数f(x)向下平移1个单位得到g(x)，结合函数图象可知x 1<2，x 2>5.
【答案】C
6．已知定义在R 上的函数f ()x 对任意实数x 满足f ()x ＋2＝f ()x ， f ()2－x ＝f ()x ，且当
x ∈[]0，1时， f ()x ＝x 2＋1，则函数y ＝f ()x 与y ＝12
||x 的图象的交点个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
【解析】由f ()x ＋2＝f ()x 可知函数f ()x 的周期为2，由f ()2－x ＝f ()x 可知f ()x 的图象关于
直线x ＝1对称，根据条件可以画出函数y ＝f ()x 与y ＝12
||x 的图象，如图所示，由图可知，交点共6个．
【答案】C
二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．把答案填在答卷中相应的横线上)．
7．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为__________．
【解析】令f ()x ＝x 3－2x －1, f ⎝⎛⎭⎫32＝278－3－1＝－58
<0, f ()1＝－2<0, f ()2＝8－5＝3>0，故下一步可以断定根所在区间为⎝⎛⎭⎫32，2，填⎝⎛⎭
⎫32，2. 【答案】⎝⎛⎭⎫32，2
8．为促进中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)．该设备购买的总费用为50 000元；使用每年固定维修费为6 000元；前x 年的总保养费y 满足y ＝ax 2＋bx .已知第一年的总保养费为1 000元，前两年的总保养费为3 000元，则这种设备的最佳年限为________年．
【解析】由题意，得⎩⎨⎧1 000＝a ＋b ，3 000＝4a ＋2b ，解得⎩⎨⎧a ＝500，b ＝500，
所以y ＝500x 2＋500x .
设该设备的年平均消耗费用为f (x )，
由题意，可知年平均消耗费用为
f (x )＝50 000x ＋6 000＋500x ＋500＝500x ＋50 000x ＋6 500≥16 500，当且仅当500x ＝50 000x
时，等号成立，此时x ＝10，所以最佳使用年限为10年．
【答案】10
9．设函数f (x )＝⎩
⎨⎧a －2x ，x ≤0，3x ＋1，x >0.若函数f (x )有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是________．
【解析】因为当x >0，f (x )>1，故f (x )在(0，＋∞)上没有零点，所以f (x )在(－∞，0]有且
仅有一个零点．
又当x ≤0时，a －1≤f (x )<a ，所以a －1≤0<a ，故0<a ≤1.
【答案】(0，1]
10．某驾驶员喝了500 mL 酒后，血液中的酒精含量f (x )(mg/mL)随时间x (h)变化的规律
近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧5x －2，0≤x ≤1，
35·⎝⎛⎭⎫13x ，x ＞1.
《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1 h)
【解析】当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝⎛⎭
⎫13x ≤0.02，得x ≥4. 【答案】4
三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
11．(13分)某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f ()x 元，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g ()x 元．
(1)试分别写出f ()x 与g ()x 的解析式；
(2)选择哪家比较合算？请说明理由．
【解析】(1)由题设有f ()x ＝5x ()15≤x ≤40， g ()x ＝⎩⎨⎧90，15≤x ≤30，30＋2x ，30<x ≤40.
(2)令5x ＝90时，解得x ＝18∈[]15，30；
令5x ＝30＋2x ，解得x ＝10(]30，40，所以
当15≤x <18时， f ()x <g ()x ，选甲家比较合算；
当x ＝18时， f ()x ＝g ()x ，两家一样合算；
当18<x ≤40时， f ()x >g ()x ，选乙家比较合算．
12．(13分)已知函数f (x )＝2x －12
|x |. (1)求函数y ＝f (x )的零点的集合；
(2)记函数g (x )＝f (x ＋1)(－1≤x ≤0)的值域为A ，函数h (x )＝lg(a －2x )的定义域为B ，且A B ，求实数a 的取值范围．
【解析】(1)令f (x )＝2x －12
|x |＝0， 则2x ＝2－
|x |x ＝－|x |x ≤0，
函数y ＝f (x )零点的集合为(－∞，0]． (2)g (x )＝f (x ＋1)＝2x ＋
1－1
2|x ＋1|，
∵x ∈[－1，0]，∴g (x )＝2x ＋
1－1
2x ＋1， 易知g (x )在[－1，0]上单调递增，∴g (x )∈⎣⎡⎦
⎤0，32， 即A ＝⎣⎡⎦
⎤0，32， h (x )＝lg(a －2x )，
令a －2x >0x <a 2
，∴B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，a 2， ∵A B ，∴a 2>32a >3，
∴a 的取值范围是a >3.
13．(14分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，若函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．
【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3.
令2x －3＝0，得x ＝32
[－1，1]， ∴f (x )在[－1，1]上无零点，故a ≠0.
(2)当a >0时，f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a
. ①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，应使⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，
即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为
②当－1<－12a <0，即a >12时，应使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f （1）≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，
解得a ≥1，∴a 的解集为[1，＋∞)． (3)当a <0时，
①当0<－12a
≤1， 即a ≤－12时，应使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f ⎝⎛⎭⎫－12a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，－12a
－3－a ≥0， 解得a ≤－3－72或－3＋72≤a ≤5，又a ≤－12
， ∴a 的解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－3－72. ②当－12a >1，即－12<a <0时，应使⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，
∴a 的解集为
综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－3－72∪[1，＋∞)．。