冀教版七年级上册数学《角的和与差》PPT教学课件

如图，如果∠AOC=∠DOB，那么∠AOD与∠COB相等吗？说明理由．
相等．
A
C
因为∠AOC=∠DOB，
所以∠AOC+∠COD=∠DOB +∠COD．
D
所以∠AOD=∠COB．
O
B
如图，如果∠AOD=∠COB，那么∠AOC与∠DOB相等吗？说明理由．
相等．
因为∠AOD=∠COB，
所以∠AOD -∠COD=∠COB-∠COD．
注意：两个角的和与差仍是一个角． 两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角．它的度数等于 这两个角的度数的和（或差）.
在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张纸折叠，使角的两边OA
与OB重合，然后把纸展开，画出折痕OC．问∠AOC与∠BOC之间有
怎样的大小关系？ ∵折叠时∠AOC与∠BOC重合，
类似地，∠AOC－∠AOB= ∠BOC .
知识讲解
1. 如图，∠AOB=∠__A_O_C__+_∠__C_O_D__+__∠__B_O_D_， ∠AOD=_∠__A_O_C__+_∠___C_O_D_=_∠__A_O_B__-__∠__B_O_D_.
2.如果∠AOB=∠COD， 那么∠AOC与∠DOB相等吗？ 解：相等. 因为∠AOB=∠COD，由等式的性质，得 ∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.
（4）互补的两个角不可能相等。
（ ）
（5）钝角没有余角，但一定有补角。（
）
（6）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（ ）
（7）互补、互余的两角一定有公共顶点或公共边（
）
知识讲解
4 余角和补角的性质
探究一 余角的性质
A
D
1
O
2
B
C
如图，∠AOB = 90 °，∠COD = 90 °， 则∠1与∠2是什么关系？ 分析： ∠AOB = 90 °，则__∠__1__+ ∠BOD = 90 °；
5.如图，已知AOB是一条直线，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∠AOF＝∠BOF＝90°．则 （1）∠AOC的补角是 ∠COB ； （2）∠AOC的余角是∠3,∠4； （3）∠COF的补角是 ∠AOE ； （4）∠EOF的余角是∠3,∠4．
随堂训练
6.如图，∠AOC是直角，OD平分∠AOC，∠BOC＝60° 求： （1）∠AOD的度数； （2）∠AOB的度数； （3）∠DOB的度数．
（2）∠CBD=∠
∠
C D
20°
=∠ABD – _∠__A_B_C__．
随堂训练
1．如图用一副三角板可以画出15°的角，用它们还可以画出其他一些特殊角 ，不能利用这副三角板直接画出的角度是（ A）
A．55° B．75
C．105° D．135°
2．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝138°，那么∠BOC等于（ A ）
A．22° B．32
C．42°
D．52°
你能计算出50 °+20 °吗？89 °15’－32 °10’呢？
在∠AOB的内部作射线OC．图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角．
A
它们的关系有: ∠AOC+∠BOC=∠AOB；
C
∠AOB－∠BOC=∠AOC；
O
B
∠ AOB－∠ AOC=∠BOC．
一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数之和，那么这个角叫做另两个 角的和； 如果一个角的度数是另两个角的度数之差，那么这个角叫做另两个角的差．
∠COD = 90 °，则 __∠_2__+ ∠BOD = 90 ° 答：∠1 = ∠2与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
∠2 =∠４
结论：等角的余角相等
知识讲解
探究二 补角的性质
如图，∠1 与∠2互补，∠1 与∠3互补 ，那么∠2与∠3相等吗？为什么？
2
∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．
∵∠AOC=∠BOC， ∠AOC=∠BOC= 1∠AOB，
2
∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC． ∴ OC是∠AOB的平分线．
任意画一个角∠AOB，你有什么方法画出它的平分线？
54° B 27° C
O
A
先用量角器量出这个角的大小，再以这个角的顶点为顶点，一边为始边， 在角的内部画一条射线，使它与始边所成的角的大小是原角的一半，这条 射线就是这个角的平分线．
解：（1）∵∠AOC是直角，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOC=
1 2
×90°=45°.
（2）∵∠AOC＝90°，∠BOC＝60°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+60°＝150°；
随堂训练
（3）∵∠AOC是直角，OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC=
1 2
×90°=45°.
知识讲解
3.(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝ 75 °．
A C
A C
O
B
图①
O
B
图②
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则 ∠AOC＝ 20 °．
知识讲解
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝30或90 °．
提示：无图条件下要分类讨论，全面考虑图形 位置。当两角有公共边时，要考虑两角在公共 边的同侧和异侧。
2.7 角的和与差
学习目标
1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义，并会进行角的 和差运算.(重点) 2.了解角平分线，通过折纸活动，进一步理解角平分线的意义. 3.了解两角互余和两角互补的意义，通过探究，了解同角（等 角）的余角相等，同角（等角）的补角相等. (重点、难点)
复习回顾
比较角的大小方法：
103°24′28″ ＋ 30° 54 ″
133°24′82 ″
(82 ″=1′22 ″)
所以 ∠1＋∠2=133°25′22″．
∠1－∠2＝ 103°24′28″－30°54 ″．
103°24′28″ － 30° 54 ″
73°23′34″
(24′28 ″=23′88 ″)
所以 ∠1－∠2= 73°23′24 ″.
新课导入
B
A
D
E
C
F
DE与AB边重合,则 ∠ABC=∠DEF
知识讲解
1 角的和差
图中有几个角？它们之间有什么关系？ 图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
C B
它们的关系：
O
A
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
数学表达式
1. ∵∠α+∠β=180°， ∴∠α、∠β互补。
2. ∵ ∠α、∠β互补， ∴ ∠α+∠β=180°。
知识讲解
练一练
1.判断下列说法是否正确
（1）90度的角叫余角，180度的角叫补角。 （ ）
（2）若 1 2 3 90 0 , 则1, 2, 3互为余角 （ . ）
（3）如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。（ ）
随堂训练
3.如图所示，∠AOC＝∠BOC＝90°，∠AOD＝∠COE，则图中互为余 角的共有（ B ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
4．看图填空： ∠AOC＝ ∠BOC + ∠AOB ＝ ∠AOD ﹣ ∠COD ； ∠BOC＝ ∠AOC ﹣ ∠AOB ＝ ∠BOD ﹣ ∠COD ．
随堂训练
2
∠COF= 1∠BOC.
2
所以∠EOF=∠EOC+∠COF=
1 2
∠AOC+
1 2
∠BOC=90°.
知识讲解
例2 如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数.
解：设∠AOB=x，则∠BOC=2x，∠AOC=3x. 又OD平分∠AOC，
所以∠AOD=32x.
按下列步骤进行操作: (1)在半透明的纸上画一个角;
(3)把纸展开,以点O为端点,沿折痕画 射线O
(2)折纸,使角的两边重合;
知识讲解
例1 如图所示，∠AOB是一个平角，射线OE平分∠AOC，射线OF平分 ∠BOC，求∠EOF的度数.
解： 因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴ ∠EOC= 1 ∠AOC，
1．用一副三角板不能画出（ D ） A．15° B．135° C．105° D．145° 2．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°， 则∠AOB等于（ C ） A．50° B．75° C．100° D．120°
3．根据图形填空：
（1）∠ABD=∠CBD + _∠__A_B__C__．
1. 度量法
用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.
1
2
∠1>∠2
新课导入
2. 叠合法
1.将两个角的顶点及一边重合;
2.两个角的另一边落在重合一边的同侧;
3.由两个角的另一边的位置确定两个角的大小。
E
A
C
DO
B
∠ECD＞∠AOB
新课导入
D A
E
B
C
F
DE边在∠ABC的外部,则 ∠ABC<∠DEF
互余 ).
如图，可以说∠1 是∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
数学表达式 1. ∵∠1+∠2=90°， ∴∠1、∠2互余。
2. ∵∠1、∠2互余， ∴∠1+∠2=90°。
知识讲解
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角 互补 ).
如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4是∠3 的补角，或∠3 和∠4 互补.
1．结合具体图形，明白两个角的和与差的意义，并会进行两个角的和差运 算． 2．知道角平分线的概念，通过折纸活动进一步明白角平分线的意义． 3．体会简单推理．
同学们，我们已经学习了角的有关知识．请问：你们能用手中三角板画 出30°、45°、60°、90°的角吗？用三角板怎样做出15°、75°、150 °的角呢？ 请同学们动手试一试． 你能拼出大于180 °且小于360 °的角吗？（如210 ° ，270 ° ，195 ° ）
1 3
2
答：∠2与∠3相等。 理由如下： ∵ ∠1 与∠2互补， ∴ ∠2= 180 °－＿＿∠；1 ∵ ∠1与∠3互补 ， ∴＿∠＿3＿=1＿80＿﹣＿∠＿1 。
∴ ∠2=∠3。
结论：同角的补角相等
知识讲解
探究三:余角和补角的性质.
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ， 如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
∵∠BOC＝60°， ∴∠DOB＝∠DOC+∠COB＝45°+60°＝105°．
课堂小结
1.角的和、差、倍分关系
2.角的平分线
3.余角和补角
互余
互补
图形
数学语言 性质
1 2 90 (1 90 2)
同角（等角）的余角相等
1 2 180 (1 180 2)
同角（等角）的补角相等
学习目标
2
1
4 3
∠2＝∠4
结论：等角的补角相等.
知识讲解
例3 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°， 余角是 ( 90－x )° . 根据题意，得180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=
3 2
x-x=14°.
所以x=28°，即∠AOB=28°.
规律总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需 运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
知识讲解
3 余角和补角的概念
2 1
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角
∴ ∠AOC=∠BOC．
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个
相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
温馨提示：角的
平分线是射线．
当∠1 =∠2 时，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，这时OC
叫做∠AOB的平分线，也可以说OC平分∠AOB．
几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线， ∴ ∠AOC=∠BOC， ∠AOC=∠BOC= 1 ∠AOB，
B
B
C
O
A
O
A
C
知识讲解
2 角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，
把这个角分成两个相等的角的射线， B 叫做这个角的平分线.
应用格式：
O
∵ OC 是∠AOB 的角平分线， ∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ 1∠AOB，
2
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
C A
解题时灵活选用
知识讲解
思考：用折纸法能作角的平分线吗？
所以∠AOC=∠DOB．
如图，如果∠AOB=82°，O
A
解：∠
P
因为O
所以∠
1
2
因为OQ是∠COB的平分线，
C Q
O
B
所以∠QOC= 1 ∠BOC．
2
所以∠
1
1
=
1
2
（∠AOC+∠BOC
）=
1∠2AOB
=
1
82=41
．
2
2
2
例 已知∠1＝103°24′28″， ∠2＝30°54 ″，求∠1＋∠2和∠1－∠2的度数． 解：∠1＋ ∠2＝ 103°24′28″＋ 30°54 ″．