第一节 无穷小

例7 证明当 x 时， x2 x 1 x 1 不是无穷小. 2
证 当 x 时, 不妨设 x 0.
有
x2 x 1 x 1 3,
22
所以, 当 x 时, 由定理1.2，
x2 x 1 x 1 不是无穷小, 2
当 x 时， x2 x 1 x 1 不是无穷小 . 2
例如, 数列 1, 1 , 1 , , 1 , ; 23 n
简记为
1
n
2, 4, 8,,2n, ;
简记为 {2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,
;
简记为
1 2n
1,1, 1,,(1)n1,; 简记为 {(1)n1}
2. 数列的几何表示法 数列中的每一个数都可用数轴上的一个点
来表示, 这些点的全体就是数列.
记为
lim
n
xn
0,
或 xn 0 (n ).
N定义:
lim
n
xn
0
0, N N , 当n N 时,有 xn .
几何解释:
a 2 a x2 x1 xN 1 0 xN 2 x3 x
当n N 时, 所有的点 xn 都落在( , )内,
只有有限个 (至多有N 个)落在其外.
1 c
注意到 (1 c)n 1 nc cn,
有(1 c)n nc,
于是 qn
1 (1 c)n
11. cn
因为
1 np
是无穷小,
根据定理1.1及例1,可知上述四个数列都是无穷小.
注:
lim
n
xn
0
lim
n
x2n1
0, 且
lim
n
x2n
0.
例3
设
xn
1
n
,
n 2k 1 ,
则数列{ xn }
为简单起见, 一般可以用 , , , 等
表示无穷小.
如果把 a 的和 有关的邻域记为 U (a),
则有关于无穷小的统一定义形式：
定义1.4 设 f ( x)在点a 的某个空心邻域内有定义，
若 0, 都存在点a 的空心邻域 U (a),
当x U (a)时,有
f (x) ,
则称 f ( x)当x a时为无穷小,
定理1.1 (无穷小比较定理1)
设 { xn }为无穷小, 如果存在正数 C,
使得对于所有正整数 n, 都有| yn | C | xn |,
则 { yn } 也是无穷小.
证
lim
n
xn
0,
由定义,
0,
N N ,
当n N 时,有
xn
C
.
于是当n N 时,有
yn
C
xn
C
C
故 { yn} 也是无穷小.
记作 lim f ( x) 0, 或 f ( x) 0 ( x a).
xa
有了无穷小定义的统一形式, 我们今后讨论无 穷小或一般的极限理论时就可以重点讨论其中最具 代表性的情形 x x0 , 其他情形则可以类似给出， 只是邻域不同而已. 关于无穷小的概念, 有以下几个方面需注意：
1. 无穷小是函数的自变量按照一定的变化趋势变 化时, 函数的一种特殊的变化趋势. 因此, 我们说某个函数 f ( x) 是无穷小时, 必须
(1)
xn
1 2n1
3
n2 1 (3) xn n2 n 1
(2)
xn
1
(1)n1 n n2
(4) xn qn, 1
1, n
1 (1)n1n 1 n
(2)
n2
n2
2 1 n
3
3
(3)
n2 1 n2 n 1
2n 2 n2 n2
2
4 1 n
(4)是(1)的推广. 令 q 1 , 则c 0.
高等数学
北京工业大学
第一章 无穷小与极限
1.1 无穷小
1.1.1 数列无穷小
1. 数列的定义
数列是指定义在正整数集上的函数 xn f (n), (n 1, 2, 3,)
依按自变量增大的次序, 数列的对应值可以排成
x1, x2 , xn ,
数列中的每个数称为数列的一项,
xn 称为数列的通项(或一般项), 数列简记为{ xn }.
所不同的是, 随自变量变化趋势的不同, 不等 式成立的范围(或空心邻域)也不同. 如果把不同情形下的无穷小统一表述为:
f ( x) 0( x a), 或 lim f ( x) 0.
xa
则 a共有七种不同情况：
当函数定义域为正整数时，a ; 当函数定义域为实数集时，a 可以取
x0 , x0 , x0 , , ,
无论给定一个多么小的正数 0, 都可以有
1 1 ,
nn
只要 n 1
即可.
此时我们称当n
无限增大时,
数列
1
n
是无穷小.
定义1.1 (数列无穷小)
设 { xn } 为数列，如果对于任意给定的正数 ,
都存在正整数N, 使得当 n N 时，
不等式
xn
成立， 则称数列 { xn } 是无穷小.
x3 x1 x2 x4 xn
x
x1, x2 ,, xn ,
3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程： 自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程.
n的主动变化过程是 n 1, 2, 3,, 即n 从1开始，
不断增大( 每次加1 ). 遵循这样的变化规则， 一定可以大于每个固定的正数. 我们将n 的这种
有 x x0 p ,
故当 x x0时， x x0 p 是无穷小.
例9
证明
x1 x2 1
1 2
0
(
x
1).
证 因 x 1, 不妨设 x 1 1 . 2
于是
x1 x2 1
1 2
1| x1| 2| x1|
1 | x 1 |, 3
由定理1.3, 有
x1 1 x2 1 2 0 ( x 1)
任意给定的正数 0,
只要 x 1
即可.
我们称 x 时，1 是无穷小.
x
定义1.2 ( x (或) 时函数无穷小) 设 f ( x)在(c,) 有定义, c 为常数 .
如果对于任意给定的正数 , 总存在正数 X, 当 x X时, 有
f (x) 则称当 x 时，f ( x) 为无穷小. 记为 lim f ( x) 0, 或 f ( x) 0 ( x ).
则当 x x0( x0 ) 时，g( x) 也是无穷小.
例8 证明: 如果 p 0, 则当 x x0时, x x0 p
是无穷小.
证 0, 因 ( x x0 ) 是无穷小, 0,
1
当0 x x0 时, 有 x x0 p ,
由幂函数 y t p 在 (0,) 单调增加,
是无穷小.
例6 证明当x 时, x2 x 1 x 1 为无穷小. 2
证 当 x 时, 不妨设 x 0.
因
x2 x 1 x 1 (
x2 x 1)2 x 1 2 2
2
x2 x 1 x 1
3
2
4 x2 x 1 x 1
1 1 xx
2
所以, 当 x 时, x2 x 1 x 1 是无穷小. 2
2. 当 x x0 时, f ( x)为无穷小与f ( x)在 x0 点 是否有定义无关.
当x x0, x x0或 x x0时,( x x0 ) 都是无穷小.
类似于定理1.1和定理1.2, 有 定理1.3 (无穷小比较定理3)
设当 x x0( x0 ) 时， f ( x) 是无穷小.
如果存在常数C 0, 使 得 g( x) C f ( x) ,
例1
证明: 如果 p 0,
则
1 np
为无穷小.
1
证
0, 则 p
0 也是确定数.
因
1 n
是无穷小,
N
N,
数列
1
n
从第N+1项起，有
1
1 1 p,
nn
注意到当 p 0时, 幂函数 y x p 在(0,)单调增加,
所以
1 np
,
即
1 np
是无穷小.
例2 证明下列数列都是无穷小：
1.1.3 x x0 ( x0 0) 时函数无穷小
x x0表示 x x0 , 且 x x0 可以任意小.
特别地, 当 x x0 时, ( x x0 ) 是无穷小.
定义1.3 ( x x0 ( x0 ) 时函数无穷小)
设函数 f ( x) 在点x0 某去心邻域内有定义.
若 0, 0, 当 0 x x0 时,
于是 f (x) 0(x 0 );
当x 0时, f ( x) xex x ,
于是 f (x) 0(x 0 ). 故, f ( x) 0( x 0).
1.1.4 无穷小的统一定义
对于前面的无穷小定义稍加比较就可以发现:
无论哪种情况, 如果对于任意给定的正数 , 函数都可以满足不等式 f ( x) .
因 sin x 是奇函数, 有 lim sin x 0. x0 由定义1.3,有 limsin x 0. x0
例11 设
f
(
x
)
(
x
2
1)sin xex ,
x,
x 0, x0
证明
f ( x) 0( x 0).
证 因 x 0, 不妨设 x 1.
当x 0时, f ( x) ( x2 1)sin x 2sinx 2x,
同时指出自变量 x 的变化趋势.
例如, 当x 0时, x2 是无穷小, 但当x 1时,
x2 就不是无穷小. 2. 零 ( f ( x) 0)是无穷小, 但无穷小不一定等于零. 例如，当x 0时, x2 是无穷小, 但当x 0时, x2 0.
x
0, X 0, 当 x X 时, 有 | f ( x) |
y y f (x)
f ( x)
X O X
x
当 x X 或 x X 时, 函数 y f ( x) 的图形
完全落在带形区域 (,) ( , ) 内.
例4 用 X定义证明: 当 x 时, 1 为无穷小.
x
证 0,
不是
10100 , n 2k
无穷小.
解因
lim
n
x2n
0,
因此, 不是无穷小.
1.1.2 x (或 ) 时函数无穷小
我们用 x 表示 x 无限增大的过程，
即x 可以大于任意给定的正数.
不妨设 x 0, 则 x 等价于 1 0,
x
且
1 x
无限接近0 .
即当 x 时,
1 可以小于 x
有 f ( x) , 则称当 x x0时，f ( x)是无穷小.
记为
lim f ( x) 0,
x x0
或
f ( x) 0 ( x x0 ).
若 0, 0, 当 0 x0 x 时, 有 f ( x) , 则称当 x x0时，f ( x)是无穷小. 记为 lim f ( x) 0, 或 f ( x) 0 ( x x0 ).
例10 证明 limsin x 0.
证
x0
先证 lim sin x 0.
因 x 0 , 不妨设 0 x .
x0
2
作单位圆O, 圆心角AOB x,
B
显然 即
SAOB S扇 形AOB ,
1 12 sin x 1 12 x,
2
2
Ox A
C
于是 sin x x, 所以 lim sin x 0. x0
x x0
如果当 x x0 和 x x0 时, f ( x)都是无穷小,
则称当 x x0 时，f ( x)是无穷小. 记为 lim f ( x) 0
x x0
lim f ( x) 0 的定义可简写为
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时, 有
f (x)
注意： 1. x x0 0表示x x0;
变化过程称为n 趋于无穷大，记为 n . n 表示n无限增大的过程，即n 要多大就有多大,
或者说, n 可以大于任意给定的正数.
如果n 可以大于任意给定的正数, 那么 1
n
就可以小于任意给定的正数. 即 任意小, 我们称 1 无限接近于0.
1 n
与0
的距离可以
n
数列
1 n
的变化趋势可以概述为：
取 X 1,
当 x X 时,有
1 1 ,
xX
1
所以, 当x 时, x为无穷小.
1
同理, 当 x 或 x 时, x 也是无穷小.
类似于定理1.1, 有 定理1.2 (无穷小比较定理2)
设当 x ( x 或 x )时, f ( x)
是无穷小. 如果存在常数C 0, 使 得 g( x) C f ( x) ,
x
如果 0, X 0, 当 x X 时,有 f (x)
则称当 x 时, f ( x)为无穷小, 记为 lim f ( x) 0. x 如果当 x 和 x 时, f ( x) 都是无穷小, 则称当 x 时, f ( x) 是无穷小, 记为
lim f (x) 0
x
lim f ( x) 0 的几何意义:
则当 x ( x 或 x )时, g( x)
也是无穷小.
1 例5 设 p 0, 则当 x 时, x p 为无穷小.
证
0,
因
1 x
是无穷小,
X
0,
当 x X 时,
有
1
1
p,
x
当 p 0 时, 幂函数 y t p 在 (0,) 单调增加,
所以
1 xp
,
故当
x 时,
1 xp