连续函数的l凸性
函数凹凸性对极值的影响分析
函数凹凸性对极值的影响分析函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。
以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。
同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。
●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。
2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。
这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。
●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。
3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。
然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。
●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。
对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。
然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。
●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。
即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。
函数的凹凸性定义
函数的凹凸性定义函数的凹凸性是描述函数曲线在图像上的弯曲程度和凸出程度的性质。
在数学中，凹（concave）和凸（convex）是两个相对的概念，用于描述一条曲线或曲面的形状。
具体来说，凹函数表示曲线向下弯曲，凸函数表示曲线向上弯曲。
凹凸性在优化问题和最优化理论中具有重要的应用。
在函数的凹凸性中，凸函数有许多优良的性质，例如在最优化问题中，任何凸函数的局部极小值就是全局极小值，这为优化问题的求解提供了有效的方法。
一元函数的凹凸性：凹凸性的定义可以通过一元函数的二阶导数来描述。
对于一个二次可导的一元函数f(x)，函数的凹凸性可以通过函数的二阶导数f''(x)的符号来判定。
若f''(x)>0，则函数f(x)在区间内上凸，在该区间内的任意两个点x1和x2，有f(x1)<f(x2)；若f''(x)<0，则函数f(x)在区间内下凸，在该区间内的任意两个点x1和x2，有f(x1)>f(x2)；若f''(x)=0，则函数f(x)在该点的凹凸性无定义，需要通过其他方法来判定。
总结起来，根据函数的二阶导数的符号，可以确定函数的凹凸性。
当f''(x)大于零时，函数是凸的；当f''(x)小于零时，函数是凹的。
多元函数的凹凸性：对于多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，凹凸性的定义和判定需要通过二阶偏导数来描述。
定义：对于定义在凸集上的连续可微函数，如果对于集合上的任意两点x和y，有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，其中0≤λ≤1，则函数f(x)是凸函数。
根据多元函数的定义和凸函数的性质，可以确定一个多元函数的凹凸性：1. 凸函数：如果多元函数的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）是半正定的，则函数是凸的。
即，对于函数的 Hessian 矩阵 H，如果对于任意的向量 v，有v^THv ≥ 0，则函数是凸的。
函数的升降凸性和极值计算
(2) 若 f(x)在 x0不可 , 则 导 x0也可能是 .例极 ,如值 f(x)|x|在x0不可 , 但 导 x0是其极.小值
结论 f(x)的 极 值 点 只 可 能稳是定它点的（ f(x即 )的 零)点
和f(x)不 存 在 的 . 但点 f (x)在 其 稳 定 点 和 不 可
则 ( a ,b ) 内 在 F ( x ) 有 F ( a )或 ,F ( x ) F ( b ).
例3. 证明 x0, ex1x.
证明：
令f(x)ex(1x),则 f(0 )0 , f(x)ex 1 .
当 x 0 时 ,f(x ) 0 ,故 f(x ) f( 0 ); 当 x 0 时 ,f(x ) 0 ,故 f(x ) f( 0 ).
则(a,在 b)内f有 (x)g(x).
y f(x)
yg(x)
f(a)g(a)
Th2几 何 意y义f(x： )在
M
yg(x)之上 .
o a xb
x
证明：令F(x)f(x)g(x), 则在 (a,b)内， F(x)f(x)g(x)0, (或F(x)0) F(x)F(a), (或F(x)F(b)).
Th. 2' 若F(x)满足 (1) 在[a,b]可导; ( 2 )在 ( a ,b ) 内 F ( x ) 有 0 ,或 F ( x ) 0 .
从而得证.
例4. 证明 x0当 时 , six nxx3. 3 !
证明：令 f(x)sixn xx3,则 f(0 )0 , 3 !
f(x)coxs1x2 , 2
f(x)sixn x.
当 x 0 时 ,sx i x n ,故 ( 0 , ) 内 在 f ( x ) 0 ,
凸性与凹性的定义与判定方法
凸性与凹性的定义与判定方法在数学中，凸性与凹性是重要的概念。
它们被广泛应用于优化理论、凸优化、经济学、工程学等领域。
本文将为读者介绍凸性与凹性的定义以及判定方法。
一、凸性的定义与判定方法凸性是指一个函数、集合或者其他数学对象的性质，它有以下两种等价的定义：1. 凸性的定义：设X是一个实数集，f: X → R是定义在X上的函数。
如果对于任意的x1,x2∈X和0≤λ≤1，有：f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)则f是凸函数。
2. 极端点法判定凸性：对于一个连续的函数f(x)，可以通过以下两步判断它是否是凸函数：(1) 寻找函数的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)；(2) 根据f''(x)的符号判断函数是否为凸函数。
- 当f''(x)≥0时，函数f(x)为凸函数；- 当f''(x)≤0时，函数f(x)为凹函数。
二、凹性的定义与判定方法凹性是凸性的一种特殊情况，定义如下：1. 凹性的定义：设X是一个实数集，f: X → R是定义在X上的函数。
如果对于任意的x1,x2∈X和0≤λ≤1，有：f(λx1+(1−λ)x2)≥λf(x1)+(1−λ)f(x2)则f是凹函数。
2. 极端点法判定凹性：与判定凸函数的方法类似，对于一个连续的函数f(x)，可以通过以下两步判断它是否为凹函数：(1) 寻找函数的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)；(2) 根据f''(x)的符号判断函数是否为凹函数。
- 当f''(x)≤0时，函数f(x)为凹函数；- 当f''(x)≥0时，函数f(x)为凸函数。
三、凸性和凹性的应用1. 优化理论：在优化问题中，凸性和凹性是重要的性质。
对于凸优化问题，其目标函数和约束条件一般是凸函数，这保证了优化问题的全局最优解是唯一的。
凸函数的性质及其应用研究论文
凸函数的性质及其应用研究论文凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍凸函数的性质，并探讨其在实际应用中的研究。
首先，凸函数的定义是：如果函数 f（x）在区间上连续，且对于任意的 a 和 b（a<b），都有 f（(1-t)a + tb）≤ (1-t)f(a)+tf(b)，那么 f（x）就是在区间上的凸函数。
其中，(1-t)a + tb 是 a 和 b 的凸组合，t 是一个取值在 [0,1] 的实数。
凸函数具有以下几个基本性质：1.一阶导数和二阶导数的关系：凸函数的一阶导数是严格递增的，而二阶导数是非负的。
这个性质可以通过凸函数的定义来证明。
2.凸函数的局部和全局性质：凸函数在局部和全局上都具有单调性和凸性。
如果一个函数在区间上是凸函数，那么它在该区间上的任意子区间也是凸函数。
3.凸函数的支撑超平面：对于凸函数f（x），在任意一点x0处，存在一个超平面，使得这个超平面与函数图像的接触点就是x0。
这个超平面被称为凸函数在x0处的支撑超平面。
凸函数具有许多应用，下面将介绍几个常见的应用：1.最优化问题：在最优化问题中，凸函数经常被用来建立目标函数和约束条件。
利用凸函数的性质，我们可以推导出最优解的存在性、唯一性和求解方法。
2.经济学：在经济学中，凸函数被广泛应用于建模和分析。
例如，成本函数、效用函数和收益函数都可以用凸函数来描述。
3.控制理论：在控制理论中，凸函数被用来建立系统的性能指标和优化问题。
通过优化这些凸函数，我们可以设计出更好的控制方案。
4.图像处理：在图像处理中，凸函数经常被用来作为图像去模糊、图像分割和图像重建等问题的约束条件或目标函数。
5.金融学：在金融学中，凸函数被广泛应用于资产组合优化、风险管理和衰退模型等问题。
通过研究凸函数的性质，我们可以更好地理解和管理金融风险。
综上所述，凸函数具有一些重要的性质，并且在许多领域中都有着广泛的应用。
对凸函数的研究不仅可以推动数学理论的发展，还可以解决各种实际问题。
凸集和凸函数的性质和应用
凸集和凸函数的性质和应用凸集和凸函数是数学领域中的两个重要概念，分别在几何、优化、概率等领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将会详细讨论凸集和凸函数的性质以及它们的应用。
一、凸集凸集是指满足任意两个点之间的线段都在集合内的集合。
换句话说，如果有一个集合S，那么S是凸集当且仅当对于S中的任意两个点x和y，x和y之间的线段上的所有点都在S内。
对于凸集，我们可以根据其性质进行分类。
首先，全空间和空集都是凸集，这两个极端情况被称为平凸集和空凸集。
而对于非平凸集来说，则可以有以下几种情况。
1.开凸集：对于某个凸集，如果它不包含任何边界点，则被称为开凸集。
2.闭凸集：对于某个凸集，如果它包含所有边界点，则被称为闭凸集。
3.紧凸集：对于某个凸集，如果它是有限的并且紧致的，则被称为紧凸集。
4.凸包：对于一组点，包含这些点的最小凸集，被称为凸包。
凸集不仅仅在数学中有着广泛的应用，还在计算机科学、优化问题等领域中得到广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用凸集来进行边界的处理和剪裁等；在优化问题中，我们可以使用凸集来化简复杂问题，以便更好地对其求解。
二、凸函数凸函数是指函数图像上任意两点的连线不在函数图像下方的函数。
更具体地说，如果一个函数f(x)满足以下不等式：f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)，其中0≤λ≤1则f(x)是凸函数。
这个不等式的意义是，对于函数图像上的任意两点x和y，它们之间线段上的所有点都在函数图像上方，即满足上述不等式。
凸函数的常见形式包括线性函数、指数函数、幂函数、对数函数等。
此外，两个凸函数的和、积和复合函数也都是凸函数。
凸函数的定义和凸集的定义类似，都是指在某一区间（或者全空间）内，满足一定的条件（凸性）。
凸函数的性质包括以下几个方面。
1.凸函数的上确界在左连续下降。
2.凸函数的导函数单调不减，且导函数的左导数和右导数存在并相等。
3.凸函数的一阶导数是凸函数。
函数单调性和凹凸性.完美版PPT
y
f(x 1 )f(x 2 )f(x 3 ) 0 f (x4)不存在, f(x5)0
y f(x)
o ax1 x2 x3
x4 x5 bx
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1). 确定函数 y f(x)的定义域;
(2). 求 f (x),找使 f(x)0的点(驻点),及使 f (x) 不存在的点;
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
f(x) 增
减
增
函数 f ( x) 的单增区间为: (,1] , (2, ). 单减区间为:(1,2]
5
二、函数凸性的判别法
定义3.3.1 (函数的凸性)
设 f (x) 在区间I上连续，若对任意 x1,x2 I
y
f (x1) f (x2)
y
f (x1 x2 )
•2
•2
•
f ( • x1 x2 )
2
f (x1) f (x2) 2
o x1
x2
x
o x1
x2 x
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
图形下凸
图形上凸
6
直观观察
y
内时是上凸的.
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：
的拐点是 (0,0).
o 定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,
1. 求出 f(x),f(x);
2. 找 使 f(x)0的点及 f (x) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
函数的凸性及相关性质
函数的凸性及相关性质设f 是定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-则称f 为区间I 上的凸函数或下凸函数。
上述不等式表明弧在弦下，故曰下凸。
性质 1. f 为区间I 上的凸函数的充要条件是对于I 上任意三点123x x x <<，总有下述不等式成立。
313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---根据这一性质，若函数f 即是凸函数又是凹函数，则不等式变为等式，立即可得f 是一线性函数。
性质2. 开区间上的凸函数必是连续函数。
证明 记开区间为(,)a b ，任取0(,)x a b ∈，不妨设10x x x <<，根据性质1的第一个不等式得到[]001001()()()()x x f x f x f x f x x x --+≤-，又取02x x x <<，根据性质1的第二个不等式得到02022020()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--。
结合这两个不等式得[]00201002012020()()()()()()x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x x ----+≤≤+---两边同时令0x x +→，得00lim ()()x x f x f x +→=，即()f x 在0x 右连续。
同理可证()f x 在0x 左连续。
0x 是任意取的，所以()f x 在(,)a b 内连续。
【注】这一结论在闭区间上有可能不再成立，在开区间上也无法加强为一致连续。
性质3. （詹森不等式）设f 为区间I 上的凸函数，则对于任意i x I ∈，0i λ>，11ni i λ==∑有11()n ni i ii i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑性质4. 设f 为区间I 上的凸函数，则函数()(0)()f x f F x x-=单调递增。
函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。
通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。
图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。
若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f ff x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。
连续函数凸性的插值法描述及应用
２ ｅ ａ ｍ ｎ ｏ ｔｅ ａ ｃ ， ｕ ａｇＵ ｉ ｒ ｔ，ｕｙｎ ５ ０ ５ ．Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｈｍ ｔ ｓＧ ｉ ｎ ｎｖ ｓｙ Ｇ ｉ ｇ５０ ０ ） ｔ Ｍａ ｉ ｙ ｅｉ ａ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｕ ｉｇ ｉ ｔ ｒ ｏａｉｎ ｍｅ ｈ ｄ ｔ ｅ ｃ ｉ ｅ ｔｅ ｃ ｎ ｅ ｉ ｆｃ ｎｉ ｕ ｕ ｕ ｃｉ ｎ ｖ ｅ ｔ ｏ ｏ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｓ ｒ ｃ ： ｓｎ ｎｅ ｐ ｌ ｔ ｔ ｏ ｏ ｄ ｓ ｒｂ ｈ ｏ ｖ ｘｔ ｏ ｏ ｔ ｏ ｓ ｆｎ ｔ ， ｏ ｙ ｎ ｏ ｅ ａ ｎ ｗ ｍｅｈ ｄ ｔ ｒ ｖ ｈ
Ｂ （：
： ）之 间 的弧 段 Ａ ） Ｂ位 于 弦 Ａ 的 下 方 。 Ｂ
参考 文献 ［ ］ １ 中给 出了 函数 凸性 的严 格定 义 ， 给 并 出了几个 判断 函数 凸性 的充分 条件 ， 时给 出了分 同
析 意义上 的证 明方法 。而经典 的插值 理论 ， 了在 除
在插 值理论 中 ， 于两 点一 次插 值有 如下结论 对 引理 ２ 心 函数 厂 ）在 区间 ， 连 续 ， （ 上 在 ， Ｅ，， 且 ，＜ 上 的 函数值 分别 为 ：
的一 条直线段 ， 如果 对 ）在 给定 区间 上 的性 而
同理 可得
—
Ｘｊ ，
ｑ ， ２
质做 出一定 的限制 ， 可 以判 断 函数 的凸性 。 则 下 面利用 引理 ２来 证明引理 １ 。 证 明 不 妨令 ，２分别 为 区 问 ， Ｘ ， 的左 右 两 个
Ｊｎ ０ ０ ｕ ．２ １
连 续 函数 凸性 的 插值 法 描 述 及 应 用
方 秀 男 ， 曾 诚 ，汤凤 香
（ ． 木斯 大学 理学 院 ， １佳 黑龙 江 佳 木斯 １４０ ； ．贵 阳学 院 数 学系 ， ５０７ ２ 贵州 贵阳 ５００ ） ５０５
函数的凹凸性方面的应用
函数的凹凸性方面的应用()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.证 ⇒记3231x x x x λ-=-,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-3221133131()()x x x xf x f x x x x x --=+-- (4)从而有312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-即32221232121()()()()()()()()x x f x x x f x xx f x xx f x -+-≤-+-整理即得(3)式.⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-=-由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,x x x I ∀∈,123x x x <<,有31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点. 应用引理得到．令,则,．显然,上述 L 与中的点无关, 故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x xx '≥+-证 (i)(ii) ,并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数．(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论．(iii)(i),并记,则有,由(iii)可得.注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f 在I 上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<）,x I ∈.f 为严格凸⇔1）()0f x ''≥；2）()f x ''不在I 上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f 为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0f x ''=）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f 凸,则f -凹）. 可导函数f 有如下相互等价的论断：1）f 为I 上凹函数.2）123,,x x x I ∀∈,123x x x <<有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≥--.即割线斜率递减.3）()f x '为I 上递减函数.4）0x I∀∈,有000()()()()f x f x f x x x '≤+-,x I ∈.当f 在I 上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.5）在I 上()0f x ''≤.对严格凹的情形可类似得出等价论断. 二、拐点定义 2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y =x ＝0的情形.定理3（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.综上知：(00,()x f x )的拐点,则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导.定理4 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 内二阶可导,若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.例1 讨论函数()arctan f x x =的凸性与拐点.解222()(1)xf x x ''=-+,因而当0x ≤时,()0f x ''≥；当0x ≥时,()0f x ''≤,从而函数f 为(,0]-∞上的凸函数,在[0,)+∞上为凹函数.而()f x 在原点连续,故原点为曲线()y f x =的拐点例2 若f 在(,)a b 内可导、凸（凹）函数,则0(,)x a b ∈为f 的极小（大）值点⇔0()0f x '=.即x 为f 的稳定点. 证 ⇒）费马定理.⇐）因f 凸,故(,)x a b ∀∈有000()()()()f x f x f x x x '≥+-.因0()0f x '=,故(,)x a b ∀∈总有0()()f x f x ≥.即x 为f 的极小值点.例3 设f 在开区间I 上为凸（凹）函数,证明f 在开区间I 内任一点0x都存在左、右导数.证 只证凸函数f 在0x存在右导数,其它情形同理可证.令120h h <<,记101x x h =+,202x x h =+,则012x x x <<（取2||h 充分小使02x h I+∈）,由(3)'式得：01002012()()()()f x h f x f x h f x h h +-+-≤记 00()()()f x h f x F h h +-=(0)h >则有21()()F h F h ≤即()F h 为单调递增函数.取4x I∈且40x x ≤,则040004()()()()f x f x f x h f x x x h-+-≤-,从而()F h 递增有下界,从而0lim ()h F h +→存在,即0()f x +'存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为∞.由第五章§1习题10知（若f 在0x的左、右导数都存在,则f 在0x连续）,若f 在为开区间(,)a b 内的凸（凹）函数,则f 为(,)a b 内的连续函数.（但不一定可导,如()||f x x =）三、 詹森(Jensen)不等式定理 (詹森(Jensen)不等式) 设f 为[,]a b 上的凸函数,[,]i x a b ∈,0i λ>(1,2,,)i n =且11nii λ==∑,则有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （6）成立.若f 为严格凸函数,(1,2,,)ix i n =不全相等,则上式严格不等式成立.证 用归纳法：2n =时命题由凸函数定义显然成立.假设n k =时命题成立,即0i λ>(1,2,,)i k =,11kii λ==∑，则有11()()kki i i i i i f x f x λλ==≤∑∑. 要证1n k =+时命题成立.设0iλ>(1,2,,,1)i k k =+,111k ii λ+==∑1111111111()()[(1)]1k kki ii i i i k k k k k i i i k x f x f x x f x λλλλλλλ++++++===+=+=-+-∑∑∑（由归纳法可知,当11nii λ==∑,(,)i x a b ∈时1ni i i x λ=∑(,)a b ∈,因为 111kii k λλ==-∑,故 111ki ii k x λλ=+-∑(,)a b ∈ ）11111(1)()()1ki k i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11()k i i i f x λ+==∑⇒结论成立.注 由于(6)式中当时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用．对具体的函数套用Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例4 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y x yx e e e +≤+.例5 设0i x >(1,2,,)i n =,则1212111nn x x x n nx x x +++≤≤+++当且仅当所有i x 全相等时等号成立.证 所有i x 全相等时,等号显然成立.只须证i x 不全等时,有严格不等号成立即可. 取()ln f x x =-,则f 在(0,)+∞上严格凸,由例4知1121211ln (ln )ln()nn i n i x x x x x x x n n -=+++-<-=-∑即12ln nx x x n +++>因ln x 严格增,故有 12nxx x n +++>又i x 不全等⇒1i x 不全等,故11111ln (ln )lnn ni i i i xn n x ==-<-=-∑∑所以 11n i i nx =<∑例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A .解 考虑函数x x x f x x x f s i n . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤++=++∴πC B A f Cf B f A f .233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 ) ( 解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )作业 P153 3⑶,5,8⑴； P158—159 17,18,19.。
(整理)经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
函数的凹凸性
称为拐点 .
ooo
xx11
xx11xx22 22
xx22
xxx
【 知识背景】 函数的凹凸性是高等数学的数学分析中
的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋 势的。
【 高考联接】 在高考中常借助函数的凹凸性来考查基
本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数 的 图 象 与 性 质 的 选 择 填 空 题 中 。经 常 与 高 中 所 学 的 函 数 、 三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有 数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。
例9 求函数 f(x)1(exex)的反函数.
2
解
令 y1(ex ex), 则
2
e2x2yxe10
exy y21 (舍去“-”) xlny ( y21)
将字母x与 y互换,得 ylnx ( x21)
即
f 1(x )ln x (x 2 1 )
x 2
ax2 1
ax2 2
1 2
a(x2 1
x2 2
1 ＝ a(x
21
x )2 2
0 ，
f
x (1
2
x 2
)
1f
2
(x ) 1
f
() 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
k AB
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
显
然
成
立
（
可
以
用
f '( x ) 1 0 ( x 0 ) ） 故 ③ 正 确 x ln 1 0
函数凹凸性的概念及基本性质
,学法指导Ejf函数凹凸性的概念及基本性质〇柳高稳庄浪县万泉中学【关键词】数学教学；函数;凹凸性；概念；性质【中图分类号】G633.6【文章编号】1004-0463(2020)04-0187-01 【文献标识码】C一、函数凹凸性的概念及基本性质探讨定义设/为定义在区间/上的函数，若对任意两点 〜为和实数 0<A<1，总有/0々+( 1-A)*2]=SA/U)+( 1-A)y u)，则称/为/上的凸函数；反之，如果总有不等式/[A^+U- 入\2]彡人/(:):,)+(丨-人)/(:*2),则称/为/上的凹函数.为了讨论和学习简便一些，我们只讨论凸函数的情形. 根据上述定义，若为区间上的凸函数，则有/[A*,+(1-A k2]矣入乂（无1)+(1- A)y*(巧），从而 +(1- A)尤2]為(%i)-(1-A)/ U2),即-/为区间/上的凹函数.从而我们就可以将 凸函数和凹函数统一起来讨论和学习.根据凸函数的定义，我们容易得到：性质设/在区间[<1,/>]±是凸函数，则\/；<：|，：》：26((1，6)，有j.^X i+X2(x2)在上述性质中，如果特殊地取/(;c)=lm:,;t：i=a，*2=6则得到的结果为即几何均值不超过算术均值.我们应用这一性质来证明几道例题.例求证,:t,y e(0, + 〇〇).证明：函数/U)=A；5.由于/(A；)=A：5在（0,+〇〇)上是凸函 数，根据上面的性质，得到（〇%+办)5<a%5+i Sr5(a>0，i S>0，a+/3=1)，取 a=+，；8=+，即得到（f根据凸函数的概念对上述性质进行推广，即得到Jensen不等式设/是[a，6]上的凸函数，；c,e(a，6 )，％>0, n n nS W=1，则/(S%)彡i= 1i = 1i= 1二、复合函数的凸性在我们日常的数学学习过程中，我们常见到的函数多 数都是由两个或多个函数复合得到的.我们只知道他们各自 在一定区间上的凸性（比如说都是凸函数），那么用怎样的 方法才能判定复合函数的凸性呢？事实上，我们只要将函数 的凸性和单调性结合起来讨论便可以得到其判定.性质设/是[a,6】上的凸函数，/X是正常数，则#也是 [a,6]上的凸函数.证明由于/是[a,6]上的凸函数，则对任意的A e(0，1)，*1，；《:2£((1，6)，有/[入；<：1+(1-入)；>：2]矣入/(；1：|)+(1-入)/(^：2)，从而/■/[1-A)*2]^a[A/(»,)+(1-A)/ (尤2)]=\p f(*,)+( 1-A)fj/ (x2)所以/V也是[a,6]上的凸函数.性质设/、g是[a,6]上的凸函数，则/+g■也是[a,6]上的 凸函数.(证明略）性质设/^/(*)是卜，6]上的凸函数,#(«)是递增的凸 函数，则g (/■(*))也是[a,6]上的凸函数.(证明略）三、函数的凸性与奇偶性的关系在学习过程中，我们常见到奇偶函数的问题，函数的奇 偶性与函数的凸性之间存在着怎样的关系呢？性质（1)若函数/U)是奇函数，且当G O时,/U)是凸 (凹）函数，则当W0时/U)是凹（凸）函数;（证明略）(2)若函数/U)是偶函数，且当尤為0时，/U)是凸（凹）函数，则当W0时/U)是凸（凹）函数.(证明略）四、反函数的凸性下面我们来看一下互为反函数的两个函数之间凸性的 关系.对此，我们有如下性质：性质设是(a,6U：的连续递增的凸函数，则#(7)是 递增的凹函数.证明：因为/是凸函数，所以对任意A e(0,1)，u2e(a,6)有/〇,+(1彳)々]矣乂/(:«：1)+(1-人)/(*2)，又因为/是连续递增的，且反函数的单调性不变，则有/-' [A/(xt)+(1-A)/ (x2)]^f~'[f(A^.+C1-A)x2]=A*i+( 1-A)x2=\f^'[f(x j]+(1-A)/"'[/ (a c2)].即广1U)是递增的凹函数.如果在学习过程中，我们能够像学习复合函数的凸性一 样，则我们也能得到一个关于互为反函数的两个函数凸性 之间关系表(见下表）：y-f (x)凸，递增凸，递减凹，递减凹，递增y=f~x (r)凹，递增凸，递减凹，递减凸，递增对于这样一个表我们可以总结为：当原函数为增（减）函数时,互为反函数的两个函数的凸性相反（同）.编辑：谢颖丽187。
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
函数的凸性与拐点解读
函数的凸性与拐点解读第一篇：函数的凸性与拐点解读九江学院理学院《数学分析》教案§ 5 函数的凸性与拐点一．凸性的定义及判定：1．凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数f(x)在区间I上连续.若对∀x1,x2∈I 和λ∈(0,1)恒有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线 y=f(x)在区间I的凸函数, 反之, 如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线y=f(x)在区间I的凹函数.若在上式中, 当x1≠x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是严格凸(或严格凹)的.引理 y=f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: x1<x2<x3 , 总有f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x2)≤x2-x1x3-x2定理6.13 设函数f(x)在区间I 上可导, 则下面条件等价:(i)为I上凸函数(ii)为I上的增函数(iii)对I上的任意两点x1,x2 有f(x2)≥f(x1)+f'(x1)(x2-x1)2．利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 6.14 设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内⑴ f''(x)<0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格上凸;⑵ f''(x)>0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对∀x1,x2∈(a,b), 设x0=x1+x2, 把f(x)在点 2九江学院理学院《数学分析》教案x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有f(x1)=f(x0)+f'(x0)(x1-x0)+f''(ξ1)(x1-x0)2, 2f''(ξ2)(x2-x0)2.2f(x2)=f(x0)+f'(x0)(x2-x0)+其中ξ1 和ξ2在x1 与x2 之间.注意到x1-x0=-(x2-x0), 就有f(x1)+f(x2)=2f(x0)+1f''(ξ1)(x1-x0)2+f''(ξ2)(x2-x0)2, 2[]于是, 若有f''(x)<0, ⇒上式中[Λ]<0, ⇒ f(x1)+f(x2)<2f(x0), 即 f(x)严格上凸.若有f''(x)>0, ⇒上式中[Λ]>0, ⇒f(x1)+f(x2)>2f(x0), 即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f''(x)>0, 则有f'(x)↗↗.不妨设 x1<x2, 并设 x0=x1+x2, 分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用2Lagrange中值定理, 有∃ξ1∈(x1,x0), ∍f(x0)-f(x1)=f'(ξ1)(x0-x1), ∃ξ2∈(x0,x2), ∍f(x2)-f(x0)=f'(ξ2)(x2-x0).有x1<ξ1<x0<ξ2<x2, ⇒f'(ξ1)<f'(ξ2), 又由x0-x1=x2-x0>0，⇒f'(ξ1)(x0-x1)⎛x1+x2⎫⎪，f(x)严格下凸.⎝2⎭九江学院理学院《数学分析》教案3．凸区间的分离: f''(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数f(x)=xe-x的上凸、下凸区间和拐点.解f的定义域为(-∞, +∞)，f'(x)=e-x(1-2x2), f''(x)=2x(2x2-3)e-x.令f''(x)=0, 解得x1=-2223 , x2=0 , x3=23.2在区间(-∞ , -3333),(- , 0),(0 ,),(, +∞)内f''的符号依次为 222233⎛⎛333-2⎫32⎫⎪⎪- , + , - , +，⇒Λ.拐点为: -2 , -2e⎪ ,(0 , 0), 2 , 2e⎪.⎝⎭⎝⎭倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设函数f(x)为区间[a,b]上的凸函数, 则对任意 xi∈[a,b], λi>0,i=1,Λ,∑λi=1, 有Jensen 不等式: i=1nf(∑λixi)≤∑λif(xi)，i=1i=1nn且等号当且仅当x1=x2=Λ=xn 时成立.1n证令x0=∑xk, 把f(xk)表为点x0处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿nk=1前述定理的证明，注意∑(xk=1nk-x0)=0, 即得所证.九江学院理学院《数学分析》教案例2 证明: 对∀x,y∈R, 有不等式 ex+y2≤1x(e+ey).2例3 证明均值不等式: 对∀a1,a2,Λ,an∈R+, 有均值不等式a+a2+Λ+an≤na1a2Λan ≤1.111n++Λ+a1a2ann证先证不等式na1a2Λan ≤ a1+a2+Λ+an.n 取f(x)=lnx.f(x)在(0 , +∞)内严格上凸, 由Jensen不等式, 有1n1n⎛1n⎫⎛1n⎫lnn∏xk=∑lnxk=∑f(xk)≤f ∑xk⎪=ln ∑xk⎪.nk=1nk=1 k=1⎝nk=1⎭⎝nk=1⎭由f(x)↗↗ ⇒ na1a2Λan ≤ na1+a2+Λ+an.n对111，Λ,∈R+用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 证明: 对∀x1,x2,Λ,xn∈R, 有不等式22x1+x2+Λ+xnx12+x2+Λ+xn ≤.(平方根平均值)nn222例5 设x+y+z=6，证明x+y+z≥12.2解取f(x)=x, 应用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求证 sinA+sinB+sinC≤33.2解考虑函数f(x)=sinx, 0≤x≤π.f''=-sinx< 0 , 0<x π.⇒ sinx在区间(0 , π)内凹, 由Jensen不等式, 有九江学院理学院《数学分析》教案sinA+sinB+sinCf(A)+f(B)+f(C)π3⎛A+B+C⎫.∴=≤f ⎪=sin=33332⎝⎭⇒sinA+sinB+sinC≤33.2例7 已知a,b,c∈R+, a+b+c=1.求证 33a+7+33b+7+33c+7≤6.解考虑函数f(x)=3x, f(x)在(0 , +∞)内严格上凸.由Jensen不等式, 有3a+7+33b+7+33c+7f(3a+7)+f(3b+7)+f(3c+7)=≤≤f 3⎛3a+7+3b+7+3c+7⎫⎪=f(a+b+c+7)=f(8)=38=2.⇒3⎝⎭ 33a+7+33b+7+33c+7≤6.例8 已知α>0 , β>0 , α3+β3≤2.求证α+β≤2.(解函数f(x)=x在(0 , +∞)内严格下凸.由Jensen不等式, 有33332(α+β)3⎛α+β⎫⎛α+β⎫f(α)+f(β)α+β≤=1, ⇒==f≤=⎪⎪2282⎝2⎭⎝2⎭(α+β)3≤8 , ⇒α+β≤2.)第二篇：二阶导数与函数凹凸性证明证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f“(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
导数与函数的凸凹性质归纳
导数与函数的凸凹性质归纳函数的凸凹性质对于数学的研究具有重要的意义，而导数在研究函数的凸凹性质时起着举足轻重的作用。
本文将归纳总结导数与函数凸凹性质的相关知识。
一、导数的定义及计算方法导数是描述函数变化率的重要工具，其定义如下：对于函数 f(x)，如果存在极限lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，称该极限为函数 f(x) 在点 x 处的导数，记作 f'(x) 或 dy/dx。
导数的计算方法主要有以下几种：1. 基本导数法则：根据常见函数的导数公式进行计算，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的四则运算法则：根据导数的线性性质，可对两个函数进行求导后再进行加减乘除运算。
3. 高阶导数：通过对导数再次求导，可得到函数的高阶导数。
二、函数的凸性与凹性在介绍导数与函数凸凹性质的关系前，先来了解一下函数的凸性与凹性的概念。
1. 凸函数：对于定义域上的函数 f(x)，如果对于任意的 x1、x2 ∈ D，以及任意的 t ∈ [0, 1]，都有 f(tx1 + (1 - t)x2) ≤ tf(x1) + (1 - t)f(x2)，则称函数 f(x) 是凸函数。
2. 凹函数：对于定义域上的函数 f(x)，如果对于任意的 x1、x2 ∈ D，以及任意的 t ∈ [0, 1]，都有 f(tx1 + (1 - t)x2) ≥ tf(x1) + (1 - t)f(x2)，则称函数 f(x) 是凹函数。
三、导数与函数的凸凹性质导数与函数的凸凹性质之间存在着密切的关系。
下面分别介绍导数与函数凸性、凹性的判定方法：1. 函数凸性与导数的关系：（1）若函数 f(x) 在区间 I 上连续，并且在 I 内具有二阶导数，则： - 若 f''(x) > 0，则 f(x) 在 I 上为凸函数；- 若 f''(x) < 0，则 f(x) 在 I 上为凹函数；- 若 f''(x) = 0，则 f(x) 在 I 上可能为凸函数、凹函数，或者是拐点处的非凸非凹函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初数方圆酝矿４７连续函数的Ｚ凸性
３２４００２浙江省衢州市教育局教研室李世杰
在研究函数的性态时，笔者发现如下定义的Ｚ凸函数，它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象．
定义：设厂（ｚ）是定义在实数集Ｄ上的实值函数，常数Ｚ∈Ｒ，若对Ｖｚ＾∈Ｍ（∈Ｄ），Ａ≥ｏ，愚＝ｌ，２，…，佗，（，ｌ∈Ｎ，咒≥２），∑ｐ＆一１，都有
厂（∑Ａｚｉ＋ｚ）≤∑ｐｉ厂（ｚｆ）
则称，（ｚ）为Ｍ上的ｚ凸函数；当一，（ｚ）为ｚ凸函数时，称，（ｚ）为Ｍ上的Ｚ凹函数．
下面给出连续函数具有ｚ凸性的两个判定定理：
定理１：设，（ｚ）是定义在［口，口＋２明（Ｚ＞ｏ）上的连续的增函数，则，（ｚ）是［ｎ，ｎ＋ｚ］上的ｚ凹函数，也是［口＋ｚ，口＋２幻上的（一ｚ）凸函数．证明：设ｚ￡∈［口，口＋ｚ］（ｉ—ｌ，２，…，行），ｚ１≤砣≤…≤而，则蕊＋ｚ∈［口＋ｚ，日＋２ｚ］，且，（ｚ１）≤，（ｚ２）≤…≤，（ｚ。
），且对任意的Ａ≥ｏ（ｉ一１，２，…，行），∑ｍ＝１，有
ｚ１一∑ｐ鳓≤∑户Ⅲ≤∑夕协＝ｚ。
，
｛一ｌ｛１１
厂（田）一∑Ａ，（司）≤∑Ａ厂（忍）≤∑Ａ厂（ａ毛）
ｉ－ｌ
一弛）又确《＋扛∑纰＋《∑Ａｚｉ＋ｚ
ｉ－ｌ
≤∑Ａ（玉＋Ｄ≤∑Ａ∞＋２Ｄ＝口＋型，所以∑ｐｆ厂（ｚｉ）≤，（ｚ。
）≤，（∑夕ｍ＋ｚ）
故，（ｚ）是［口，口＋归上的ｚ凹函数．
若ｚｆ∈［ｎ＋ｚ，口＋２ｚ］（ｆ＝１，２，…，竹），ｚ１≤ｚ２≤…≤ｚ。
，则ｚｉ—ｚ∈［口，口＋ｚ］，且，（ｚ１）≤厂（ｚ２）≤…≤厂（ｚ。
），且对任意的ｍ≥ｏ，愚＝１，２，…，咒，且∑ｍ一１，有
ｎ≤ｚｌ—ｚ一∑户ｉ（ｚｌ—ｚ）≤∑户ｉ（ｚ￡一ｚ）≤∑Ａ（ｚｉ—ｚ）一∑Ａｚｉ—ｚ≤ｚ。
一１≤口＋ｚ≤ｚｌ≤口＋２ｚ，所以厂（∑ｐｉｚｉ—ｚ）≤，（ｚ１）
≤∑ｐｆ，（ｚｉ），故，（ｚ）是［口＋ｚ，口＋２口上的（一Ｚ）凸函数．
定理２设厂（ｚ）是定义在［口，口＋２妇（Ｚ＞ｏ）上的连续的减函数，则，（ｚ）是［口，ｎ＋Ｚ］上的ｚ凸函数，也是［ｎ＋ｚ，口＋２明上的（一ｚ）凹函数．证明：与定理１类似，略去．
从上面两个定理可见，函数的Ｚ凸性函数的凸性一样，是任何连续函数（在其定义域或定义域的子区间）都具有的，是自然界的客观规律在数学中的反映．
Ｚ凸（凹）函数是内涵非常丰富的一个函数类，我们已对其作了较为深入的研究，得到了不少一般化的结论，将在另文中再叙．
参考文献
［１］李世杰．对函数的几何凸性若干问题的理论研究［Ｊ］．浙江万里学院学报（自然科学版）．２００５（１）．
万方数据
连续函数的l凸性
作者：李世杰
作者单位：324002,浙江省衢州市教育局教研室
刊名：
上海中学数学
英文刊名：SCHOOL MATHEMATICS IN SHANGHAI
年，卷(期)：2005，""(3)
被引用次数：2次
1.李世杰对函数的几何凸性若干问题的理论研究[期刊论文]-浙江万里学院学报(自然科学版) 2005(01)
1.张敬政.汪文贤.李世杰<l1,l2>凸函数[期刊论文]-宁波职业技术学院学报 2007(2)
2.李世杰.石焕南《l,t》凸函数初探[期刊论文]-北京联合大学学报（自然科学版） 2005(3)
本文链接：/Periodical_shzxsx200503025.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：8fa8e4f5-f8b3-459d-9fbc-9dce00bb6287
下载时间：2010年8月10日。