高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程课件新人教A版选修4_4

M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt，(a、b 为
常数，t 为参数).
跟踪演练 1 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为π3 ，且交直线 x －y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
解析
由题意可得直线 l 的参数方程为xy＝ ＝15＋ ＋122t3，t (t 为参数)，
要点三 直线参数方程的综合应用
例3 已知直线l过定点P(3，2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，
B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.
解
设直线的倾斜角为 α，则它的方程为xy＝ ＝32＋ ＋ttcsions
α α
，
(t 为参数).由 A，B 是坐标轴上的点知 yA＝0，xB＝0，
∴0＝2＋tsin ห้องสมุดไป่ตู้ ，即|PA|＝|t|＝sin2α ，0＝3＋tcos α ，
即|PB|＝|t|＝－cos3 α
，故|PA|·|PB|＝sin2 α
的直线，故直线
l
的倾斜角
α＝π6
.
(2)由(1)知，直线 l 的单位方向向量 e＝cosπ6 ，sinπ6 ＝ 23，12.
∵M0＝(－ 3，2)，M(－3 3，0)，∴M→0M＝(－2 3，－2)＝

－4

23，12＝－4e，∴点
M
对应的参数
t＝－4，
几何意义为|M→0M|＝4，且M→0M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上 点 M0 的左下方).

2
3

2＋y－322＝1，即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0，
x＝－1＋ (2)由y＝12t
23t， (t
为参数)得直线的直角坐标系方程
x－
3y
＋1＝0，圆心到直线的距离
3

d＝
2
3－3 2
2
3＋1＝12，所以|A2B|2＋
d2＝1，解得|AB|＝ 3.
|AB|＝|t′1－t′2|＝ (t1 t2) 4t1t2 ＝ 14.
规律方法 1.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的 距离可用|t1－t2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直 接代入圆的方程求解，忽视了参数 t 的几何意义.2.根据直线的参 数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，t2，则弦长 l＝|t1－t2|； (2)定点 M0 是弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； (3)设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝t1＋2 t2(由此可 求|M1M2|及中点坐标).
x＝－ 3＋ l：y＝2＋12t，
23t (t
为参数).
(1)求直线 l 的倾斜角；
(2)若点 M(－3 3，0)在直线 l 上，求 t 并说明 t 的几何意义.
解
(1)由于直线
l：
x＝－ 3＋tcosπ6 y＝2＋tsinπ6
， (t
为参数)表示过点
M0(－
3，2)且斜率为
π tan 6
规律方法 1.一条直线可以由定点 M0(x0，y0)，倾斜角 α(0≤α ＜ π ) 唯 一 确 定 ， 直 线 上 的 动 点 M(x ， y) 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α (t
为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.
直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点
圆 x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，求|AB|及|AM|·|BM|.
解
l 的参数方程为yx＝＝－2－1＋2222t2 t，2(t 为参数).
令 t′＝ t2，则有yx＝＝－2－1＋22t2′2，t′(t′是参数).
其中 t′是点 M(2，－1)到直线 l 上的一点 P(x，y)的有向线段 的数量，代入圆的方程 x2＋y2＝4，化简得 t′2－3 2t′＋1＝ 0.∵Δ＞0，可设 t′1，t′2 是方程的两根，由根与系数关系得 t′1＋t′2＝3 2，t′1t′2＝1. 由参数 t′的几何意义得|MA|＝|t′1|，|MB|＝|t′2|， ∴|MA|·|MB|＝|t′1·t′2|＝1，
为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α， (t
为参数)，其中
t
表示直线
l
上以定点
M0 为起点，任意一点 M(x，y)为终点的有向线段M→0M的长
度，即|t|＝|M→0M|.
①当 t＞0 时，M→0M的方向向上；②当 t＜0 时，M→0M的方向 向下；③当 t＝0 时，点 M 与点 M0 重合.
[预习导引] 直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 αα ≠π2 的直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，其中参数 t 的几何意义是：|t|是直线 l 上任一点 M(x，y)到点 M0(x0，y0)的距离，即|t|＝|M→0M|.
要点一 直线参数方程的标准形式
例1
已知直线
三 直线的参数方程
[学习目标] 1.掌握直线的参数方程. 2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.
[知识链接]
1.若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？
提示 参数方程为xy＝ ＝xy00＋ . t，(t 为参数).
2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？
提示 过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程
跟踪演练 2 在极坐标系中，已知圆心 C3，π6 ，半径 r＝1. (1)求圆的直角坐标方程；
x＝－1＋ (2)若直线y＝12t
23t， (t
为参数)与圆交于
A，B
两点，求
弦 AB 的长.
解
(1)由已知得圆心
3 C

2 3，32，半径为
1，圆的方程为x－3
代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解得
t＝－6( 3＋1).根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1).
答案 6( 3＋1)
要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长
例2
已知过点 M(2，－1)的直线 l：yx＝＝－2－12＋t ，2t (t 为参数)，与