数学：第一章《整式的运算》基础知识复习(北师大版七年级下)

第2章： 整式的加减
一、基础知识
定义
单项式：如100t 、6a 2、2.5x 、vt 、-n ，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

例如：单项式100t 、vt 、-n 的系数分别是100、1、-1。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如：在单项式100t 中，字母t 的指数是1，100t 是一次单项式；在单项式vt 中，字母v 与t 的指数的和是2，vt 是二次单项式。

多项式：如2x-3，3x+5y+2z ，2
1ab-πr 2，它们都可以看作几个单项式的和，像这样几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

例如：在多项式2x-3中，2x 和-3是它的项，其中-3是常数项。

多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如：在多项式2x-3中，次数最高的项是一次项2x ，这个多项式的次数是1；在多项式x 2+2x+18中，次数最高的项是二次项x 2，这个多项式的次数是2。

整式：单项式与多项式统称为整式。

例如：单项式100t 、vt 、-n ，以及多项式2x-3，3x+5y+2z ，
21ab-πr 2等都是整式。

同类项：在单项式3ab 2与-4 ab 2，它们都含有字母a ，b 并且a 都是一次，b 都是二次，像3ab 2与
-4 ab 2
这样，所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项想叫做同类，几个常数项也叫做同类项。

把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。

我们可以运用交换律、结合律、分配率把多项式中的同类项进行合并。

整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：
(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．
(3)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．
二、经典例题
例1
下列四组中的两项是同类项的是： （ ） A-51a 2b 与5ab 2 B 0.5ab 与3
1ac C -2x 2y 3与5y 3x 2 D 3a 与2b
判断一组单项式是不是同类项，主要根据同类项的定义，由定义易知，几个单项式是否是同类项与系数及字母顺序无关，只要所含字母及相同字母的指数一样即是同类项。

题中只有-2x 2y 3与5y 3x 2是同类项。

他们都只含有x 、y 两个字母，而且x 、y 的指数都分别是2和3，故选C 。

例2
一条河流的水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和30千米/时，则它们在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？
顺水行驶：船的速度=船在静水中的速度+水流速度
逆水行驶：船的速度=船在静水中的速度-水流速度
在上面的两个关系式中，如果用字母表示船在静水中的速度，那么船的速度就可以用含有字母的式子表示出来。

解：设船在静水中的速度为v 千米/时，则，当船顺水行驶时，船的速度为（v+2.5）千米/时，当船逆水行驶时船的速度为（v-2.5）千米/时，
若甲船在静水中的速度是20千米/时，即v=20，则
V+2.5=20+2.5=22.5
V-2.5=20-2.5=17.5
若乙船在静水中的速度为35千米/时，即有v=35则
V+2.5=35+2.5=37.5
V-2.5=35-2.5=32.5
由上可知，甲船顺水中的速度是22.5千米/时，逆水行驶的速度为17.5千米/时，乙船在顺水中的速度为37.5千米/时，乙船在逆水中的速度为32.5千米/时。

例3
若9x b a y b -a 与2
1x 1-a y 3是同类项，那么 （ ） A a=-1 b=2 B a=1 b=-2
C a=-2 b=1
D a=2 b=-1
第一个单项式x 的指数为a+b ，y 的指数为a-b ，而第二个单项式，x 的指数为a-1，y 的指数为3，根据同类项的定义建立方程组求得a=2 b=-1，故选D 。

例4
如果代数式4y 2-2y+5的值是7，那么代数式2y 2-y+1的值等于（ ）
A 2
B 3
C -2
D 4
利用整体代入法求代数式的值的方法，通过观察题意，所求代数式必定与所给条件的字母有明显规律，适当变形代数式，即可代入求值。

由题意知4y 2-2y+5=7，所以4y 2-2y=2，即2y 2-y=1，代入2y 2-y+1得2y 2
-y+1=1+1=2，故选A 。

例5 下列算式是一次式的是 （ ） A 8 B 4a+3b C 21ab D x
5 单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数，单项式与多项式统称为整式，故选B 。

例6
化简m-n-（m+n ）的结果是 （ ）
A 2m
B -2m
C -2n
D 2n
整式的加减实际上就是合并同类项，遇有括号，先按去括号法则去掉括号，再合并同类项。

原式=m-n-m-n=-2n ，故选C 。

例7
已知等式（2A-7B ）x+（3A-8B ）=8x+10 对于一切实数x 都成立，求A B 的值。

当等式对一切实数x 都成立时，说明等式两边的代数式的一次项与一次项对应相等，常数项与常数项对应相等，即2A-7B=8
3A-8B=10，解得A=
56 B=-5
4 答案：A=56 B=-54
例8
若单项式2x 2y m 与-3
1x n y 3是同类项，则m+n 的值是（ ）
因为同类项中相同字母的指数分别相等，所以n=2 m=3，所以m+n=5。

答案：5。