专题68 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(原卷版)

专题68离散型随机变量的均值与方差、正态分布
最新考纲
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．
2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
3.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题.
基础知识融会贯通
1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
(1)均值
称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差
称D (X )＝∑n
i ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .
(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )22
()2
x μσ−−，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们
称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点
①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值
1
σ2π
；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃb aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
重点难点突破
【题型一】离散型随机变量的均值、方差
命题点1求离散型随机变量的均值、方差
【典型例题】
X是离散型随机变量，E（X）＝6，D（X）＝0.5，X1＝2X﹣5，那么E（X1）和D（X1）分别是（）A．E（X1）＝12，D（X1）＝1 B．E（X1）＝7，D（X1）＝1
C．E（X1）＝12，D（X1）＝2 D．E（X1）＝7，D（X1）＝2
【再练一题】
已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是（）
A．B．C．D．
命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值
【典型例题】
设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak+b，又X的数学期望为E（X）＝3，则a ﹣b（）
A．B．0 C．D．
【再练一题】
已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X），则n＝，p＝．
思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．
(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．
(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．
【题型二】均值与方差在决策中的应用
【典型例题】
2018年11月1日，习总书记在民营企业座谈会上指出，“我国民营经济只能壮大、不能弱化”．某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产A种产品；项目二使用乙种机器生产B种产品．甲种机器每台2万元，乙种机器每台1万元，当甲、乙两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为2500元/台和1000元/台．该企业调查了甲、乙两种机器各200台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：
以这各200台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替1台相应机器需要维修次数的概率．（1）若该企业投入100万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；
（2）该企业现有资金1110万元，计划只投资一个项目，其中100万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产．
据统计：当投入项目一的生产专用资金为a万元时，生产A产品获利的概率是，且一年获利a 万元；亏损的概率是，且一年亏损a万元．当投入项目二的生产专用资金为a万元时，生产B
产品获利的概率是，且一年获利a万元；亏损的概率是，且一年亏损a万元．你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由．
【再练一题】
某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），
[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅱ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；
（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（1）的概率为，选择方案（2）的概率为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案（1）的概率；
（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【题型三】正态分布的应用
【典型例题】
已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N （1，4），从中随机取一件，其尺寸落在区间 （3，5）的概率为 （附：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545）（ ） A ．0.3174 B ．0.2718
C ．0.1359
D ．0.0456
【再练一题】
某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩X ～N （100，σ2）．统计结果
显示数学考试成绩X 在80分到120分之间的人数约为总人数的，则数学成绩不低于120分的学生人数约为 ．
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.
基础知识训练
1．设ξ是随机变量，且(5)20D ξ=，则()D ξ=（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．4
D ．20
2．设随机变量(3,)B p ξ:，若19
(1)27
P ξ≥=，则D ξ=( ) A ．
13 B ．2
3
C ．1
D ．2
3．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，其中1
5
P =，则方差()53D X +等于( ) A ．15
B ．20
C ．50
D ．60
4．已知随机变量X 的分布列如下表所示则()25E X −的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知随机变量X 服从正态分布2()N μσ，，且(22)0.9544P X μσμσ<≤－＋＝，
0().6826P X μσμσ<≤－＋＝ ，若41μσ＝，＝，则()56P X <<等于( )
A ．0.1358
B ．0.1359
C ．0.2716
D ．0.2718
6．已知随机变量ξ服从正态分布()
2
2018,(0)N σσ>，则(2018)P ξ<等于（ ）
A ．
11009
B ．
1
2018
C ．
14 D ．12
7．已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==−=，若121
12
p p <<<，则（ ） A ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X < B ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X < C ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X > D ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X > 8．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在(0,1)内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小
B ．()E ξ减小，()D ξ增大
C ．()E ξ增大，()
D ξ减小 D ．()
E ξ增大，()D ξ增大 9．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在()0,1内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小
B ．()E ξ减小，()D ξ增大
C ．()E ξ增大，()
D ξ减小 D ．()
E ξ增大，()D ξ增大
10．已知离散型随机变量ξ的分布如下，若随机变量31ηξ=+，则η的数学期望为（ ）
A ．3.2
B ．3.4
C ．3.6
D ．3.8 11．设01p <<，随机变量ξ的分布列为
那么，当p 在(0,1)内增大时,()D ξ的变化是（ ） A ．减小 B ．增大 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小
12．在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩ξ服从正态分布()
2
100N σ，，
且()801000.4P ξ<=….若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取（ ）
A ．20份
B ．15份
C ．10份
D ．5份
13．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则1ξ=的概率是_______；()E ξ=_______．
14．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是1
.3
则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为____ .（用分数表示）
15．已知X 是服从正态分布2(,)N μσ的随机变量，设2~(1,)X N σ，(3)0.2P ξ≥=,则(11)P ξ−<<＝______．（用数字作答）
16．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(100,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件. 附：若2(,)X
N μσ，则()0.6826P X μσμσ−<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ−<<+≈.
17．东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：
（视样本频率为概率）
（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望 （2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？
18．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．
（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选
择科目与性别有关？说明你的理由；
（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
附参考公式及数据:2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ−=
++++, 其中n a b c d =+++
19．某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：
将频率作为概率，解答下列问题：
(1)当15,25a b ==时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率； (2)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个，求,,a b c 的值(每组数据以中点值代替)；
(3)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C级；达到200但未达280的员工为B级；其他员工为A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X的分布列和期望．
20．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X表示抽到“很幸
E X．
福”的人数,求X的分布列及()
21．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计这200名学生健康指数的平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X 近似服从正态分布()
2
,N μσ，其中μ近似为样本平均
数x ，2σ近似为样本方差2s . ①求(63.498.2)P X <<；
②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间()63.4,98.2的人数为ξ，试求E ξ.
1.16≈，
若随机变量X 服从正态分布()
2
,N μσ，则()0.683P X μσμσ−<<+≈，
(22)0.955P X μσμσ−<<+≈,(33)0.997P X μσμσ−<<+≈.
22．每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点"以及“性别”作出调查，得到的情况如下表所示:
(1)完成上述
列联表；
(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有的把握说明“用餐地点”与“性别"有关；
(3)若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取人，再在人中抽取人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为，求的分布列和数学期望. 附：
能力提升训练
1．从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设表示抽到的次品件数，则方差
__________．
2．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X 表示投进的次数，则()D X =______. 3．设随机变量
，且
，则
_____．
4．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=_____.
5．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望
______．
6．2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛（简称RMM ）于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.而在分量极重的国际数学奥林匹克（IMO ）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，也已经有连续4年没有拿到冠军了.人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会热点.某重点高中培优班共50人，现就这50人“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：
若采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？请说明你的理由；
（2）现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
参考公式与数据：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
−
=
++++
7．为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中体重在[50,55]的有5人.
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）从该校报考飞行员的体重在[65,75]学生中任选3人，设X表示体重超过70kg的学生人数，求X的分布列和数学期望.
8．新个税法于2019年1月1日进行实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中4
a b
=.
（Ⅰ）估计被调查的员工的满意程度的中位数；（计算结果保留两位小数）
（Ⅱ）若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取4人，记分数在[60,70)的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）以频率估计概率，若该研究人员从全国国企员工中随机抽取n人作调查，记成绩在[60,70)，[90,100]
D X ，求n的最大值.
的人数为X，若() 2.2
9．2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：
（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师
傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望. 附：临界值表
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d −=++++，n a b c d =+++.
10．有两种理财产品A 和B ，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）： 产品A ：
产品B ：
注：0,0p q >>
（1）若甲、乙两人分别选择了产品,A B 投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于3
4
，求实数p 的取值范围；
（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.。