高考数学总复习 第八篇《第50讲 立体几何中的向量方法(1) 证明平行与垂直 》课件 理 苏教版

证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形， ∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、 D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)． → → → ∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，
→ → 设 D(0，y,0)，由 AC⊥CD，得AC· CD＝0，
2 3 2 3 即 y＝ ，则 D0， ， ， 0 3 3 → → 3 3 1 1 1 ∴CD＝－ ， ，0 .又AE＝ ， ， ， 2 6 4 4 2
1 ∴n＝ ，－1，1， 2
1 2 2 n ，－ ， . ∴平面ABC的单位法向量为± ＝± 3 3 |n| 3
答案
1 2 2 ，－ ， ± 3 3 3
考向一 利用空间向量证明平行问题 【例1】►如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是 C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
∴PD⊥AB，又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 AEB. 法二 → → 3 1 1 AB＝(1,0,0)，AE＝ ， ， ， 4 2 4
设平面 ABE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， x＝0， 则1 3 1 x＋ 4 y＋2z＝0， 4 令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
考向二 利用空间向量证明垂直问题 【例2】►如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中， E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中 0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)求证A1F⊥C1E； (2)若E，F，C1四点共面 → 1 → → 求证：A1F＝ A1C1＋A1E. 2
3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔
v1⊥v2 ⇔ v1· v2＝0 v∥u
.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔ . (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔ u1· u2＝0 .
一种思想 向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向 量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规 范，是对向量大小和方向的量化： (1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标； (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标． 得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位 置关系，计算空间成角和距离等问题．
证明
AB、AD、AP 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA ＝ AB ＝ BC ＝ 1 ，则 P(0,0,1)． (1)∵∠ABC＝60° ， △ABC 为正三角形．
1 ∴C 2， 1 3 3 1 ， E ， 0 ， ， 4 . 2 4 2
4．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下 列给出的四个结论． ①a∥ c，b∥ c；②a∥ b，a⊥ c；③a∥ c，a⊥ b；④以上都不 对． 其中正确结论的序号是________． 解析 ∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，
∴a∥ c， 又a· b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥ b. 答案 ③
→ → 5．已知 AB ＝(2,2,1)， AC ＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量 是________． 解 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．
2x＋2y＋z＝0， 即 4x＋5y＋3z＝0.
→ AB· n＝0， 则 → AC n＝0， ·
1 x＝ ， 令z＝1，得 2 y＝－1，
→ → → 设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， t＝2， ∴t－s＝0， －t＝－2，
解得s＝t＝2.
→ → → ∴PB＝2FE＋2FG， → → → → → 又∵FE与FG不共线，∴PB、FE与FG共面． ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.
1 → 1 于是MN＝ ，0， ， 2 2 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．
x＋z＝0， → → 则n· DA1＝0，且n· DB＝0，得 x＋y＝0.
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴ n＝(1，－1，－1)．
1 1 → 又MN· n＝2，0，2· (1，－1，－1)＝0，
3 → → 2 3 ∵PD＝0， ，－1，显然PD＝ 3 n. 3
→ → ∵PD∥n，∴ PD⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
考向三 利用空间向量解决探索性问题 【例 3】►如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PB 与 底面所成的角为 45° ， 底面 ABCD 为直角梯形， ∠ABC＝∠BAD 1 ＝90° ，PA＝BC＝ AD＝1. 2 (1)求证：面 PAC⊥面 PCD； (2)在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE∥面 PAB？若存在，请确 定 E 点的位置；若不存在，请说明理由． [审题视点] (1)可以用几何法，也可以用向量法．(2)利用向量法 一般比较方便．
[审题视点]
本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求
解，要注意找准点的坐标．
证明 (1)由已知条件 A1(1,0,1)，F(1－x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1，x,0) → → A1F＝(－x,1，－1)，C1E＝(1，x－1，－1) → → 则A1F· C1E＝－x＋(x－1)＋1＝0， → → ∴A1F⊥C1E，即 A1F⊥C1E. → → (2)A1F＝(－x,1，－1)，A1C1＝(－1,1,0)， → A1E＝(0，x，－1)， → → → 设A1F＝λA1C1＋μA1E＝(－λ，λ＋μx，－μ)，
证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与 平面的法向量的数量积为零或证明直线的方向向量与平面内的 不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就 把几何的证明问题转化为向量的计算问题．
【训练1】 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方 形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线 段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
1 1 3 3 → → ∴AE· CD＝－ × ＋ × ＝0， 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD，即 AE⊥CD.
→ 2 3 (2)法一 ∵P(0,0,1)，∴PD＝0， ，－ 1 . 3
3 2 3 1 → → 又AE· PD＝ × ＋ ×(－1)＝0， 4 3 2 → → → → → ∴PD⊥AE，即 PD⊥AE.AB＝(1,0,0)，∴PD· AB＝0，
n· a＝0， b＝0. n·
2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) ⇔ v1∥v2 .
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1 和v2，则l∥α或l⊂α⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 . (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α ⇔ v⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔ u1∥u2 .
2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是 n＝(6，－3,6)，给出下列四个P点，则点P在平面α内的是 ________． ①P(2,3,3); ③P(－4,4,0); ②P(－2,0,1)； ④P(3，－3,4)．
解析 ∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量， → → → ∴n⊥ MP，在①中，MP＝(1,4,1)，∴n· MP＝0. 答案 ①
[审题视点] 证明．
直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法
证明
法一
如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直
线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱 长为1，
1 1 则M0，1，2，N2，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
(1)证明 ∵PA⊥面ABCD， ∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA＝45° . ∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90° ， 易得CD＝AC＝ 2， 由勾股定理逆定理得AC⊥CD. 又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥面PAC，CD⊂平面 PCD， ∴平面PAC⊥平面PCD. (2)解 分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系． ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，
D(0,2,0)，设E(0，y，z)， 则P E ＝(0，y，z－1)，P D ＝(0,2，－1)． ∵P E ∥P D ，∴y· (－1)－2(z－1)＝0① ∵A D ＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， 又C E ＝(－1，y－1，z)，CE∥面PAB. ∴C E ⊥A D . ∴(－1，y－1，z)· (0,2,0)＝0，∴y＝1. 1 将y＝1代入①，得z＝ 2.∴E是PD的中点， ∴存在E点使CE∥面PAB，此时E为PD的中点．
－x＝－λ， 1＝λ＋μx， －1＝－μ， 1 解得 λ＝2，μ＝1. → 1 → → ∴A1F＝ A1C1＋A1E. 2
证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向 量垂直， 而直线与平面垂直， 平面与平面垂直可转化为直线与直 线垂直证明．
【训练 2】 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60° ，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中 点．证明： (1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面 ABE.
→ → 3．已知点A，B，C∈平面α，点P∉平面α，则 AP · AB ＝0，且 → → → → AP· AC＝0是AP· BC＝0的________条件． → → AP· AB＝0， 解析 由 → → AP AC＝0， · → → → 得AP· (AB－AC)＝0，
→ → → → 即AP· CB＝0，亦即AP· BC＝0， → → 反之，若AP· BC＝0， → → → → → → → 则AP· (AC－AB)＝0⇒AP· AB＝AP· AC，未必等于0. 答案 充分不必要
第50讲 立体几何中的向量方法(1)——证明平行与垂直
基础梳理 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两 → → 点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意
非零向量 也是直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：可利用方程组求出，设a，b是平面α内两不 共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
→ ∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. → → → 1 → 1→ 法二 MN＝C1N－C1M＝2C1B1－2C1C 1 → 1→ → ＝2(D1A1－D1D)＝2DA1， → → ∴MN∥DA1，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1， 又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD.
三种方法 主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题： 直线与直线平行 (1)平行直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线垂直 (2)垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直
双基自测 1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝ (－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是________． 解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥ v2. 答案 平行