高中数学人教新课标B版 选修4-4： 2.2.1 直线的参数方程 (共23张PPT)

1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
(t
为参数),
经过定点
(2, - 1，)
倾斜角为 110°
2
直线
x
31t 2
(t 为参数)方程中，t 的几何意义是
（
y
1
3t 2
B）
（A） 一条有向线段的长度
（B） 定点 P0（ 3 ，1）到直线上动点 P(x，y)的有向线段的数量 （C） 动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的线段的长 （D） 直线上动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的有向线段的数量
(2)若 L 上一点 M 满足M0M=2，求 M 的坐标 (3)若 L 与直线 y=x + 4 3 交与点 M，求M0M
解
（1）直线 L 的参数方程是
x 4
3t
2 （t 为参数）
y
1 2
t
（2） ∵M0M=2 ∴t=2 t= 2
当 t=2 时
x 4 3 y 1
M（ 4 3 ，1）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
x x0
y
y0
a ( a2 b2 t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin ; a2 b2 t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
t cos t sin
(t是参数）
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
uu解uuu:ur 在直线上任取一点M(x,y),则
设Mr er0是M直（ 线x,ly的) 单(x位0 方y向0)向(量x ，x0则, y y0y)
e (cuuousuuur,sirn )
t2、t2 ,则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）
A.t1 t2 B. t1 t2 C.|t1 t2 | D. | t1 t2 |
2
2
2
2
3.直线
x
y
t t
cos
sin a
(t为参数）与圆xy
4 2 cos
2 sin
(为参数）相切，则直线倾斜角为( )
A. 或 5
66
B. 或 3
基础训练
3
已知直线
x
y
3 4
4t 3t
(t
为参数),下列命题中错．误．的是
（ D）
(A) 直线过点（7，1）
(B) 直线的斜率为 3/4 (C) 直线不过第二象限 (D) | t |是定点 M0（3，4）到该直线上对应点 M 的距离
例1
已知直线 L 过点 M（0 4，0），倾斜角为
6
(1)求直线 L 的参数方程
2
练习
1.直线
x=x0
y
y0
t cos
t sin a
(t为参数）上有参数分别
为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为
A.t1 t2 B. t1 t2 C. t1 t2 D. t1 t2
2.在参数方程
x
y
a b
t t
cos sin
(t为参数）所表示
的曲线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为
当 t= 2 时
x 4 3 y 1
M（ 4 3 ，1）
∴M（ 4 3 ，1）或 M（ 4 3 ，1）
例 1 已知直线 L 过点 M0（4，0），倾斜角为 6
(3)若 L 与直线 y=x + 4 3 交与点 M，求M0M
（3）解一
由
y
3 (x 4) 3
y
x
4
3
得交点 M（4( 3 +1),4）
求这条直线的方程.
解: 直线要的注普通意方:程为y
把进它一x变步0数,y成整,0 ty都理才数，是是y0得常参：csyoinsy0(
y0 tan x x0 ) x x0
(
x
x0
)
sin cos
令该比例式的比值为t,即 y y0 x x0 t sin cos
整理，得到
x=x0
y
y0
直线的参数方程
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
k y2 y1 tan
x2 x1
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
就总会向上。 M0重合.
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式
x y
x0 y0
t cos t sin
（t为参数，
[0,）)
改写为： xy
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:
x y
x0 y0
在直线上.
3
M(-1,2)
易知直线的倾斜角为 4
所以直线的参数方程可以写成
B
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
4
(t为参数）
O
x
即x 1
2t 2 (t为参数）A
y
把它代入抛y物 线2 y=x222的t 方程,得
M(-1,2)
B
t2 2t 2 0
O
x
解得t1
2 2
10 ，t2
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
此时我们可以认为a cos,b sin;
若 [0,），则为倾斜角。
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1时，t没有上述的几何意义，
我们称起为非标准形式。
x
x0
y
y0
如何将其化为
标准形式?
a ( a2 b2 t）
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M
(x
x0 M0 ,
te,即
y y0 )
t
(cos
,
sin
)
M0(x0,yr0) e
即所，以xxxx00
t
t
cos ,
cos ,
y
y
y0
y0
t sin
t sin
(cos , sin )
所以，该直线的参数方程的标准形O式为xx yFra bibliotekx0 y0
t cos t sin
（t为参数）
思考uuuuuur r
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
解参: Q数Mutu的u0ruMu几ur 何 t意er 义吗Muuu0？uMuur
r
r te
y M
又Q e是单位向量， e 1
uuuuuur r
M0M t e t
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
例2.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入直线方
y
程后,符合直线方程,所以点M A
| M0M | (4 3 4 4)2 (4 0)2 8
解二 将( 1 )代入 y=x+4 3 得:
1 t 4 3 t 4 3 (1 3 )t 4 3 4
2
2
22
t 8
| M0M || t | 8
例2.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
当b 0时，t有上述的几何意义。
例：求下列直线的倾斜角
（1）
x y
3 t cos 20o 2+t sin 20o
(t为参数）
（2）
x y
3 2
t sin 20o t cos 20o
(t为参数）
（3）
x y
3-t cos 20o 2+t sin 20o
(t为参数）
基础训练
44
C. 或 2
33
D. 或 5
66
4.如直线
x
y
4 bt
at
(t为参数）与曲线x2
y2
4x
1 0相切，则这条直线的倾斜角等于 或 2
33
感谢各位领导和老师们的指导!
2 2
10
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10
MA MB t1 t2 t1t2 2
探究
直线与曲线y
f
(
x)交于M1
,
M
两点，对应的参数
2
分别为t1 , t2 .
(1)曲线的弦M
1M
的长是多少？
2
（2）线段M1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M1M 2 t1 t2 (2)t t1 t2
M0
r
所以,直线参数方程中
e
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
O
x
???我们是否可以根据这t就的是值t来的确几何定意向量Muuu0uMuur
的方向呢?r
义,要牢记
我们知道e是直线l的单位方向向量，那
么它的方向应该是向上还是向下的？还
是有时向上有此时时向,若下t呢>？0,则 分析Q又 那:么Q是ers的直 in终线 表点的Mu示就Mu倾uuu0ueur会0Mu斜 的uMuurur都角 纵的若若的在， 坐方tt方第标 =<当向一向00，0,,向<，向则则er的二 上<下M纵象;与时 ; 坐限,点标，s都iern的大方>于0向0